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1、数学在地学中的应用 中国矿业大学 资源与地球科学学院 杨永国 *1 内容： n时间序列分析及应用 n模糊数学及应用 n数学地质应用前景展望 Date2 1、时间序列分析 1.1 概述 在地学领域有时需要预测,如得到了一组 时间有序的数据x(t1), x(t2), x(tn)，怎么利用 仅有的信息进行预测、预报？ 模型预测 Date3 时间有序的数据 X（x(t1), x(t2), x(tn)）随机过程 研究方法时间序列分析 自七十年代初美国学者Box和Jenkins的著作问世以 来，现已广泛地应用于自然科学的各个领域。如应用时 间序列模型拟合太阳黑子的活动，建立了AR(2)模型； 加拿大山猫捕
2、获量的门限自回归模型等。 时间序列分析应用于地学领域，如研究古气候、古 环境、古地貌以及古生物群的变化等,已有不少成果。 常用的线性时间序列模型是ARMA(p,q) (自回归滑动平 均)模型。 Date4 1.2 时间序列分析及在 全球气候变化预测中的应用 地质过程的变迁是一个漫长的变化过程，这种 变化自然受地球本身运动及周围环境的影响。因此 ，我们观测到的古气候替代性指标时间序列储存了 地球轨道要素长期变化的信息，它记录了相应的天 文周期变化，即古气候替代性指标时间序列具有明 显的周期变化。为了揭示这种既有周期性，又有随 机性的变化过程，我们用时域组合模型来描述它的 变化规律。 Date5
3、1.2.1 时间序列组合模型及建模过程 设yt，t=1,2,N表示古气候替代性指标时间 序列，用如下的组合模型来描述： yt = Pt + xt (1) 其中，Pt为周期项，xt为自回归滑动平均（ ARMA(p, q)）模型。表达式分别为： Date6 式中，M为谐波个数(一般取M(N-1)/2）, 1，2，.，p ；1，2，.，q为对应的模型参数。p，q为模型的阶数， zt为正态白噪声，且E(zt)=0，E(zt2)=2z。 Date7 （1）周期检验及显著谐波个数的确定 对于古气候替代性指标时间序列yt, t= 1, 2,，N，首先确定它的周期项Pt,式(2)中显 著谐波的个数Mo 的确定
4、方法： 从拟合优度的角度，用累积周期图的分析 方法确定显著谐波的个数，即定义一个累积函 数： Date8 画P (i)一i图，存在一个拐点Mo，即为显 著谐波的个数.这样式(2)式的周期项就变为 这里hj为相应显著谐波对应的频数。 Date9 （2）自回归滑动平均(ARMA (p, q )模型的建立 残差序列Xt =Yt-Pt(t= 1, 2,N)一般近似为一 个零均值平稳时间序列，可用ARMA(p.q)模型来 描述.建模方法主要依据BoxJenkins的相关函数 法。最后，得到了组合模型的表达式为： Date10 1.2.2 实际数字例子预测及检验 取100万年来60N6月份太阳辐射量 (W
5、/m2)的变化时间序列(共1001个数据)作 为实际数字预测及检验的例子。取其前989 个数据建立模型，并用其预测后12 个数据 作为检验。首先，取M=(N-1)/2=494计算各 谐波分量，得显著谐波个数M0=10，其结果 见表1-1。 Date11 hj 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 g(hj)0.275 0.224 0.195 0.077 0.062 0.037 0.013 0.007 0.006 0.006 频数 44 42 52 24 43 41 25 53 40 45 周期ka 22.5 23.5 19.0 41.2 23.0 24.1 39.5 18.6 24.4 2
6、1.9 ahj 8.01 15.53 8.81 3.75 7.86 -6.05 3.02 -2.81 -2.55 1.43 bhj-15.53 2.68 11.79 8.46 -2.67 -2.04 -2.31 0.47 -0.63 2.18 a0=983.64 p(10)=90.17% 表1-1 100万年来60N6月份太阳辐射量变化序列周期函数计算结果 Date12 经辨识得xt为 p=4的自回归模型。其中， 1=2.5584，2=-2.0017，3=0.1936，4=0.2421。 从而得100万年来60N6月份太阳辐射变化量时间序 列的组合模型为: Date13 由式(5)拟合1989
7、个数据，并预测9901001个数据 值，结果见图1。由图1显见， 拟合及预测的精度是较 高的。同理，建立了宝鸡黄土粒度时间序列、渭南夏 季风指数时间序列的动态模型，结果如图2和图3。 Date14 Date15 Date16 结论： （1）宝鸡黄土粒度时间序列及夏季风指数时 间序列的时域组合模型预测结果表明，未来气 候有向干冷方向发展的趋势.这个结果与国际 上公认的预测结果相一致。 （2）对几组第四纪气候替代性指标时间序列 进行周期分析，经检验得到了几个与地球轨道 几何参数变化相一致的周期分量，如T = 133, 100, 89, 41, 23, 19 ka等，结果与第四纪沉积 序列的频谱分析
8、一致，这反映出了时域分析与 频谱分析结果理论上的一致性。 Date17 2、模糊数学方法及应用 2.1 概述 “秃头悖论” 在日常生活中，判断一个人是否为秃头是非常容易的 。然而，要对日常生活中这个极其简单的秃与不秃问题进 行精确定义却很难做到。 不妨假设定义一个头发根数的界限n作为判断秃与不 秃的标准，则当某人有n+1根头发时你怎么判断呢？ 承认精确方法，因此判断他是不秃极不合乎情理的 。 承认生活常识，即认为仅一发之差不会改变秃与不秃 的结果，便得到这样一系列命题： 头发为n根者为秃头，头发为n + 1根者为秃头，, 头发为n + k根者为秃头。 “秃头悖论” Date18 1965年查德
9、（Zadeh）发表的著名论文“模 糊集合”被公认为模糊数学诞生的标志。查德精 确地阐述了模糊性的含义，制定了刻划模糊性的 数学方法（隶属度、隶属函数、模糊集合等）， 为模糊数学作为一门独立的学科建立了必要的基 础。 同样，地学中的很多问题不能用精确数学来 表达模糊数学在地学中得到了广泛的应用。 Date19 2.2 模糊综合判别分析及应用实例 2.2.1 模糊综合评判方法 模糊综合评判是应用模糊变换原理和最 大隶属度原则,考虑被评价事物相关的因素,对 其所做的综合评价. 通常采用： 一级模糊综合评判； 二级及多级模糊综合评判。 一般设抉择评语集合V=v1,v2,vp。 Date20 2.2.2
10、 评价指标体系建立及指标权重的确定 煤层气项目的经济评价是一个复杂的系统， 其评价因素很多，且各因素的属性又分为不同的 类别和层次。对于这样因素众多，具有不同层次 的复杂系统，如果仅用简单的综合评价模型，往 往很难比较系统中各因素之间的优劣次序，从而 得不出有意义的结果。因此，在研究煤层气经济 评价特点的基础上, 建立了煤层气经济评价系统, 采用多层次模糊综合评判模型对这个系统进行综 合评判，最终确定评价项目的经济类型。 Date21 在研究煤层气特点的基础上，确定了有煤 层气项目经济评价的评价指标体系，通过层次 分析法确定指标相对权重。 煤层气项目经济评价递阶层次结构及相对 权重结果见图2-
11、1。图中A为煤层气项目经济评 价总体目标层；准则层为B，包括地质因素、 工艺技术因素和经济因素；C为子准则层；D 为指标层。 Date22 市场需求(0.7370) 基础设施条件(0.1862) 周边经济环境(0.0768) 总投资(0.1932) 生产成本(0.0833) 煤层气价格(0.7235) 图3-1煤层气项目经济评价递阶层次结构及权重 地质因素 (0.2674) 储层几何条件 (0.0493) 含气性条件 (0.2297) 储层物性条件 (0.5965) 盖层条件 (0.1245) 工艺技术因素 (0.0637) 经济因素 (0.6689) 煤层面积(0.6434) 煤层厚度(0.
12、2828) 埋藏深度(0.0738) 资源量(0.2) 含气量(0.8) 渗透率(0.875) 煤储层压力(0.125) 顶板岩性(0.1932) 顶板厚度(0.0833) 顶板物性(0.7235) 生产规模(0.6334) 开采工艺(0.2604) 开采设备(0.1062) 开发环境条件 (0.0445) 投入产出条件 (0.0903) 国民经济评价 (0.5739) 财务评价 (0.2913) 经济净现值(0.5028) 经济内部收益率(0.2602) 经济外汇净现值(0.0348) 社会效益(0.1344) 环境效益(0.0678) 动态投资回收期(0.0738) 财务净现值(0.643
13、4) A层B层C层D层 煤 层 气 项 目 经 济 评 价 财务内部收益率(0.2828) 图2-1煤层气项目经济评价递阶层次结构及权重 Date23 2.2.3研究区煤层气项目经济评价结果 研究区选择目前国内煤层气开发条件较好 的晋城矿区。将煤层气项目经济评价最终结果 分为:经济效益很好、好、较好、中等、差5级. 对各指标评价等级进行归一化处理,经计算得 地质因素、工艺技术因素和经济因素各准则层 对应的模糊综合评判向量: =(0.263,0.346,0.247,0.117,0.026), =(0.356,0.326,0.197,0.099,0.023), =(0.309,0.330,0.21
14、8,0.109,0.034) Date24 由,构成晋城矿区煤层气项目总模 糊综合评判矩阵为: 总=() Date25 由图3-1知，总目标层各准则层的权重 =(0 .267,0.064,0.669),则得到晋城矿区煤层 气项目的模糊综合评判结果为: 因为2=max1,2,5=0 334,因此 根据最大隶属原则,判断晋城矿区煤层气项目 经济评价模糊综合评判结果为经济效益好。 Date26 3、数学地质应用前景展望 马克思曾经说过：“一种科学仅当它成功 地运用数学时，才算达到了完善的程度”。因 此，数学在地质中的广泛应用，将使地质学向 更完善的方向发展，并将促使地质学发生重大 变革。 首先，地学
15、中运用数学，可以从地学现象 中抽象出数学模型，并将各种地学特征和参数 数学化，用数学关系式对客观地学现象作出精 确表达，从而使地学由定性的描述，发展成为 定量研究的科学。 Date27 n其次，多元统计分析、概率模型、模糊数学、 随机过程时间序列分析、非线性数学等运用于 地学，可将复杂的地学现象，通过汇集其丰富 的原始数据信息，较全面地反映各个侧面，找 出其统计规律，从而使地学预测(如矿井灾害预 报和矿产资源预测等)更具有科学性。 n此外，数学与计算机相结合在地学中运用，不 仅能对大量地学数据进行处理和计算，而且能 使地学从观测基础上对地学现象的表征和描述 提高到运用电子计算机进行数学模拟，重现某 一地学过程。 Date28 n数学在地学中的应用范围日益广泛，它已渗透 到地质学的各个领域，如沉积学、地层学、构 造地质学、古生物学、水文地质学、勘探学及 地球物理探矿学等。 n可以预见，随着数学方法在地学中的进一步运 用和发展，传统地学中许多经验性地质规律， 必然被以定量为基础的更确切的地学理论所替 代。 Date29
