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1、 第二讲：参数方程第二讲：参数方程 曲线的参数方程曲线的参数方程 ？ 救援点救援点 投放点投放点 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处高处100m/s100m/s的速的速 度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区 指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投 放时机呢？放时机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始 投放物资？投放物资？ 如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。 因此因此, ,不易直接建
2、立不易直接建立x,yx,y所满所满 足的关系式。足的关系式。 x x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量， y y表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度， 由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向 上是两种不同的运动，上是两种不同的运动， x x y y 500500 o o 物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成： （1 1）沿）沿oxox作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动； （2 2）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个
3、运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有 什么关系？什么关系？ t t时刻，水平位移为时刻，水平位移为 x=100tx=100t，离地面高度，离地面高度y y，即：，即： y=500-gty=500-gt 2 2 /2/2， 物资落地时，应有物资落地时，应有y=0y=0， 得得x10.10mx10.10m； 即即500-gt500-gt 2 2 /2=0/2=0，解得，解得，t10.10st10.10s， 因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为10101010米时投米时投 放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。 参数方程的概念： 一般地
4、，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一 点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参变数，简称参数。 并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上， 参数是联系变数参数是联系变数x, yx, y的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义 或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的 方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。 例例1:
5、 1: 已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是 （为参数）（为参数） (1)(1)判断点判断点MM 1 1 (0(0，1)1)，MM 2 2 (5(5，4)4)与曲线与曲线C C的位置关系；的位置关系； (2)(2)已知点已知点MM 3 3 （6 6，a a）在曲线）在曲线C C上，求上，求a a的值。的值。 解：解：(1)(1)把点把点MM 1 1 的坐标的坐标(0,1)(0,1)代入方程组，解得代入方程组，解得t=0t=0，所，所 以以MM 1 1 在曲线上在曲线上 把点把点MM 2 2 的坐标的坐标(5,4)(5,4)代入方程组，得到代入方程组，得到 这个方程无解，所以点这个方程
6、无解，所以点MM 2 2 不在曲线不在曲线C C上上 (2)(2)因为点因为点MM 3 3 (6,a)(6,a)在曲线在曲线C C上，所以上，所以 解得解得t=2, a=9 t=2, a=9 所以，所以，a=9.a=9. 练习：一架救援飞机以练习：一架救援飞机以100m/s100m/s的速度作水平直线飞的速度作水平直线飞 行行. .在离灾区指定目标在离灾区指定目标1000m1000m时投放救援物资（不计空气时投放救援物资（不计空气 阻力阻力, ,重力加速重力加速 g=10m/sg=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多）问此时飞机的飞行高度约是多 少？（精确到少？（精确到1m1m） x=100
7、t=1000,x=100t=1000,t=10,t=10, y=gty=gt 2 2 /2=1010/2=1010 2 2 /2=500m./2=500m. 练习练习 1 1、曲线、曲线 与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )( ) B B A(1A(1，4)4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0)B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0) 2 2、方程、方程 所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是( )( ) D D A(2A(2，7)7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1B(1/3, 2/
8、3) C(1/2, 1/2) D(1，0)0) 3 3 已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是 点点M(5,4)M(5,4) 该曲线上该曲线上. .(1)(1)求常数求常数a; a; （2 2）求曲线）求曲线C C的普通方程的普通方程 (1)(1)由题意可知由题意可知: 1+2t=5: 1+2t=5，atat 2 2 =4=4；a=1a=1，t=2t=2； 代入第二个方程得代入第二个方程得: y=(x-1): y=(x-1) 2 2 /4 /4 4 4 动点动点MM作等速直线运动作等速直线运动, , 它在它在x x轴和轴和y y轴方向的速度轴方向的速度 分别为分别为5 5和和12 ,
9、12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2), P(1,2), 求点求点MM的轨迹参的轨迹参 数方程数方程. . 解：设动点解：设动点M (M (x,yx,y) ) 运动时间为运动时间为t t，依题意，得，依题意，得 A A 一个定点一个定点 B B 一个椭圆一个椭圆 C C 一条抛物线一条抛物线 D D 一条直线一条直线 D A A B B C C D D 5 5下列在曲线下列在曲线上的点是上的点是 ( )( ) B （4 4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程. . 参数方程求法参数方程求法: : （1 1）建立直角坐标系）建立直角坐标
10、系, , 设曲线上任一点设曲线上任一点P P坐标为坐标为; ; （2 2）选取适当的参数）选取适当的参数; ; （3 3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, , 物理意义物理意义, , 建建 立点立点P P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式; ; 圆的参数方程 y y x x o o r r M(xM(x, y), y) 圆周运动中，当物圆周运动中，当物 体绕定轴作匀速运动体绕定轴作匀速运动 时，物体上的各个点时，物体上的各个点 都作匀速圆周运动，都作匀速圆周运动， 怎样刻画运动中点怎样刻画运动中点 的位置呢？的位置呢？ 那么那么=tt. . 设设|OM|=r|OM
11、|=r，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有 如果在时刻如果在时刻t t，点，点MM转过的角度是转过的角度是 ，坐标是，坐标是M(xM(x, y), y)， 即即 这就是圆心在原点这就是圆心在原点OO，半径为，半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程 参数参数 t t 有物理意义有物理意义( (质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻) ) 考虑到考虑到=tt，也可以取，也可以取 为参数，于是有为参数，于是有 圆心为原点半径为圆心为原点半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程. . 其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是OMOM 0 0 绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针
12、旋转到 OMOM的位置时，的位置时，OMOM 0 0 转过的角度转过的角度 圆心为圆心为 ， 半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程 一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数， 另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。 解：解： x x 2 2 +y+y 2 2 +2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程化为标准方程, (x+1), (x+1) 2 2 +(y-3)+(y-3) 2 2 =1=1 参数方程为参数方程为(为参数为参数) ) 例例1 1 已知圆方程已知圆方程x x 2 2 +y+y 2
13、 2 +2x-6y+9=0,+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。将它化为参数方程。 练习：练习： 例2 如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0) 是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周 运动时，求点M的轨迹的参数方程。 y o x P M Q 解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是(x, y),(x, y), 则点则点P P的坐标是的坐标是(2cos(2cos ,2sin,2sin ). ). 由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得 因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是 例例3 3 已知已知x x、y y满足满足, ,求求 的最大值和最小值的最大值和
14、最小值 解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为 2 2 点点P(xP(x, y), y)是曲线是曲线 为参数为参数) )上任意一点，则上任意一点，则 的最大值为的最大值为( )( ) A 1 B 2 C DA 1 B 2 C D 练习练习 1 1 P(xP(x, y), y)是曲线是曲线(为参数为参数) )上任意一点上任意一点, ,则则 的最大值为的最大值为( )( ) A A A A36 B36 B6 C6 C26 D26 D2525 D D 3 3 圆圆 的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是( )( ) A A圆圆 B B直线直线 C C椭圆椭圆 D D双曲线双曲线 A A ( ( 为参
15、数为参数) )上任意一点上任意一点, ,则则4 4 点点P(xP(x, y), y)是曲线是曲线 的最大值为的最大值为 . . . . 5 5 已知点已知点P P是圆是圆 上一个动点上一个动点, ,定点定点A(12, 0)A(12, 0)， 点点MM在线段在线段PAPA上，且上，且2|PM|=|MA|2|PM|=|MA|，当点，当点P P在圆上运动在圆上运动 时，求点时，求点MM的轨迹的轨迹 解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是(x, y),(x, y), 则点则点P P的坐标是的坐标是(4cos(4cos ,4sin,4sin ). ).2|PM|=|MA|, 2|PM|=|MA|, 由题设由题设 (x-12, y)=(x-12, y)= 因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是 例例4 (1)4 (1)点点P(m,nP(m,n) )在圆在圆x x 2 2 +y+y 2 2 =1=1上运动上运动, ,求点求点Q(m+nQ(m+n,
