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1、计算方法课程设计题 目: 用Newton插值多项式 处理磁化曲线 学 院： 理学院 班 级： 数学 15-1 学 生 姓 名： 陈昌林 学 生 学 号： 2014028281 指 导 教 师： 石瑞银 2017年 06 月 19 日课程设计任务书姓名陈昌林班级数学15-1学号2014028281设计题目用Newton插值多项式求函数的近似值理论要点通过差商及差商的基本性质，推导出牛顿插值多项式，并编写Matlab程序，执行结果既可得到近似值。设计目标分析Newton插值多项式的构造方法及构造过程；编写Newton插值多项式求函数的Matlab程序；解决一个具体的实际问题。研究方法步骤第一步：通
2、过已知数据，构造差商表；第二步:构造牛顿插值多项式，编写程序；第三步：解决实际问题，检查整理。预期结果由给出的插值节点的函数值，构造出差商表，通过程序的执行求出近似的被插值函数的插值多项式，与函数在某点的近似值。计划与进步的安排课程安排一周，分四次完成:第一次：查找质料，并开始考虑设计的方法；第二次：写论文的摘要、理论依据和问题的描述；第三次: 写论文的分析、求解计算以及程序内容；第四次：完成课程设计，老师审核打印。目录摘 要I第1章 前 言11.1 牛顿差值多项式算法在计算方法课程中地位11.2牛顿差值多项式算法的发展状况和具体应用领域11.3本文主要研究思路与结构安排1第2章牛顿差值多项式
3、算法基本原理及Matlab程序12.1 牛顿差值多项式算法的基本原理12.2 牛顿差值多项式算法的构造方法.32.3牛顿差值多项式算法的Matlab程序. .4第3章 利用牛顿差值多项式算法解决实际问题（处理磁化曲线）73.1 问题提出73.2 问题的分析与模型建立73.3 数据处理73.4 结果分析与误差估计9结论11参考文献11附录12摘要在我们生活中，许多实际问题都都可以利用函数来表示某种内在规律的数量关系，但是在很多应用领域，函数有时不能直接写出表达式或者过于复杂不易计算，而只能给出函数在若干个点上的函数值或导数值，通常也是造一张函数表，当遇到要求表中未列出的变量的函数值时，就必须做数
4、值逼近例如给定了函数在几个特定点上的函数值，为了研究函数的变化规律，就要根据这个表，将其公式化寻求某一函数去逼近，在给定点上等于函数值，在其他点上约等于函数值，这样既能反映的函数特性，又便于计算称的插值函数，为被插值函数.我们可以求一个待定函数来近似反映函数的特性，使得待定函数在给定点上等于函数值，在其它点上的函数的值作为函数的近似值，这种方法称为插值法.利用差值函数很容易得到Lagrange插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便.由于公式中的每一项与所有的插值结点有关.因此，如果需要增加一个插值结点，则Lagrange插值公式中的每一项都需要改变计算量大，为了克服这一缺点，于是产生了
5、Newton插值法.有的要求更高需要在某些点处的导数也相同于是前两种方法达不到精度于是产生了Hermite插值法.本文只讨论牛顿插值法，通过均差的推导引出差值公式，建立Matlab程序，意在用牛顿插值法处理磁化曲线。关键词：插值函数，牛顿插值，均差 ，Matlab程序I计算方法课程设计第1章 前言1.1牛顿差值多项式算法在计算方法课程中地位Newton插值法是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了Lagrange插值法,向后引出了Hermite插值法,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。Newton插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。Newton插值公式余项
6、更具有一般性，它对于列表函数或导数不存在的情形也同样适用。1.2牛顿差值多项式算法的发展状况和具体应用领域插值法是一种古老的数学方法，他来自生产实践，早在一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也逐步增多。特别是在计算机软件中，许三多库函数.等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。在工程的实际问题中，由于航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，插值方法在实践上和理论上显得更为重要，并得到了进一步的发展和广泛的应用。因此我们希望能够得到一个“简单函数”逼近被计算函数的函数值.于是就得到了一种方法。叫做插值逼近或者插值法
7、.1.3本文主要研究思路与结构安排文思路是通过均差的定义及性质，导出牛顿插值公式及其误差公式，建立关于牛顿差值的Matlab程序。在通过具体实际数学问题，用牛顿插值法磁化曲线和铁损曲线。通过本文的研究既加深了对Newton插值法的理解，同时又了解它的的优缺点。第2章牛顿差值多项式算法基本原理及Matlab程序2.1牛顿差值多项式算法的基本原理 2.1.1差商的定义：设函数在互异节点上的值为, ,等，定义(1)在上的1阶均差为 (2)在上的2阶均差为(3) 递推地，在上的阶均差为： 同时规定在上的零阶均差为2.2.2差商的基本性质性质1 阶均差可以表示成个函数值的线性组合，即或记为 证明：用数学
8、归纳法。当时由均差定义有故上式成立。现假设时已成立，对由均差定义及归纳假设有 性质2均差对其节点是对称的，即节点按任意顺序排列，其值不变。性质3如果 是的次多项式，则其1阶均差 是的次多项式，且由此递推可得阶均差为零阶均差，阶均差为零。证明：按均差定义，的1阶均差为由假设，上式等号右端分子为的次多项式，且当时为零，可知分子会有因子,它与分母同时约去，则得等号右端为次多项式。 零阶均差 1阶均差 2阶均差 3阶均差 2.2.3Newton差值基本原理在两点直线公式中有：（点斜式）（两点式）我们考虑点斜式，两点为，则直线方程为：那么，在此基础上增加一个节点，则过这三点的插值多项式就是：应该是一个二
9、次多项式。根据插值条件有，所以根据插值条件：可以求出：重新写： 其中设插值节点为，函数值为，插值条件为设插值多项式具有如下形式其中为待定系数2.2 牛顿差值多项式算法的构造方法假设有n+1个不同的节点及函数在节点上的值（x，y），（x，y），插值多项式有如下形式：（1）其中系数（i=0,1,2n）为特定系数，可由插值样条（i=0,1,2n）确定。根据均差的定义，把x看成a,b上的一点,可得 f(x)= f（）+f（） fx, = f+fx, （） fx, ，x= fx, ，x+ fx, ，x(x-x)综合以上式子，把后一式代入前一式，可得到： f(x)= f（）+f（）+ f（）（）+ fx,
10、 ，x（）(x-x)+ fx, ，x= N（x）+其中N（x）= f（）+f（）+ f（）（）+ fx, ，x（）(x-x)（2）= f(x)- N（x）= fx, ，x（3）=（）(x-x)Newton插值的系数（i=0,1,2n）可以用差商表示。一般有 （k=0,1,2，n ）（4）把（4）代入（1）得到满足插值条件N（i=0,1,2，n）的n次Newton插值多项式N（x）=f（）+f（）+f（）（）+f（）（）（）.其中插值余项为： 介于之间。2.3牛顿差值多项式算法的Matlab程序2.3.1牛顿插值的程序实现方法：第一步：计算。第二步：计算牛顿插值多项式中，得到n个多项式。第三步：
11、将第二步得到的n个多项式相加，得到牛顿插值多项式。第四步：利用所得到的插值多项式，估算取其它值时的值。第五步：作出所求多项式在插值结点周围的函数图像。2.3.2牛顿插值法的程序实现% newton.m% 求Newton插值多项式、差商、插值及其误差估计的Matlab主程序4% 输入的量：X是n+1个节点(x_i,y_i)(i=1,2,.,n+1)横坐标向量，Y是纵坐标向量% x是以向量形式输入的m个插值点，M在a,b上满足|f(n+1)(x)|M% 注：f(n+1)(x)表示f(x)的n+1阶导数% 输出的量：向量y是向量x处的插值，误差限R，n次Newton插值多项式L及其系数向量C%差商的
12、矩阵AFunctiony,R,A,C,L = newton(X,Y,x,M)n = length(X);m = length(x);for t = 1:m z = x(t); A = zeros(n , n); A(: , 1) = Y; s = 0.0 ; p = 1.0 ; q1 = 1.0 ; c1 = 1.0 ; for j = 2 : n for i = j : n A(i , j) = (A(i , j-1) - A(i-1 , j-1) / (X(i) - X(i - j + 1); end q1 = abs ( q1* ( z - X ( j - 1 ) ; c1 = c1 *
13、 j ; end C = A(n , n) ; q1 = abs ( q1 * ( z - X ( n ) ; for k = ( n - 1 ) : -1 : 1 C = conv ( C , poly ( X ( k ) ; d = length ( C ) ; C ( d ) = C ( d ) + A ( k , k ) ;（详细代码见附录一）第3章利用牛顿差值多项式算法解决实际问题3.1问题提出武钢公司在1998年3月向用户发布了新的晶粒取向磁化钢带(片)的磁化曲线和铁损曲线。对于设计人员来讲,查曲线是一件麻烦的事情,不但要拿尺子打准坐标,还要进行估算。尤其是单位铁损曲线,是每次设计都要查的。这样不仅工作量大,而且容易出错。因此,有必要对磁化曲线和铁损曲线进行一些数值处理,让使用者可以根据硅钢片的型号和磁感应强度,方便地找到磁场强度或单位铁
