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1、 本章内容 3.1 观测数据的最小二乘拟合 3.2 正交多项式 3.3 最佳平方逼近 第3章曲线拟合与平方逼近 问题提出: 插值思想给出了一类确定函数 y = f (x) 的近似函数方法，但该类方法具有 一定的局限性： 1) 实验数据本身难以保证每个数据值都能有好的精确性，而当其中有的 数据存在误差时，由于插值条件的要求，其误差将完全被插值函数进 一步继承。 2) 即使所有的观测数据都较精确，为了插值差值多项式次数过高而产生 Runge现象，必须进行分段处理，而分段插值不具有较好的整体变化趋 势和光滑性。三次样条插值函数虽有好的光滑性，可繁杂的表达式又 在一定程度上限制了进一步的分析应用。 因
2、此,需要讨论近似函数的另一类方法逼近 1.拟合: 寻找函数P(x),使其曲线不必经过已有实验点，但 尽可能接近每个实验点。P(x)称为拟合函数 2.偏差: 称i = P(xi) - yi为xi处的偏差(偏离大小). 注：不要求 i = 0，i=0,1,2,N，但希望i 尽可能小. 考虑 尽可能小.或 尽可能 小， i 0为权系数，其大小反映该数据的重要程度，通常 取其为1 2.1 最小二乘拟合 2.1.1 最小二乘法的基本概念 设有实验数据：(xi,，yi), i=0, 1, 2, , N. 7 数据 拟合 的最 小二 乘法 3. 最小二乘法 . 在函数类=Span0(x), 0(x), ,
3、n(x)中求函数 使 求函数P*(x)的方法称为数据拟合的最小二 乘法，简称最小二乘法，并称P*(x)为最小二乘解 。 为最小二乘拟合多项式。 4. 问题：如何求P*解方程组。 2.1.2 正规方程组求P* 1.问题：设 记 求最小二乘解，即求 的极小值点 (a0*, a1*, , an*) 2. 方法：求 的极小值点(a0*, a1*, , an*) 取极值的必要条件 称(2.7) 为正规方程组（或法方程） (2.7) 定理2.1 正规方程组（2.7）有唯一解。 证明用反证法。 定理2.2 设 为正规方程组（2.7） 的解，则 为最小二乘多项式。 证明略 常用的一次和二次最小二乘法 一次最小
4、二乘多项式P*(x)= a0+a1x ，此时n =1， 其正规方程组为 二次最小二乘多项式 P*(x)= a0+a1x+a2x2 ，此时n =2， 其正规方程组为 例2.1 对于数据表 已知其经验公式为 y = a + bx ,试用最小二乘法 确定待定参数 a , b。 xi12345 f(xi)44.5688.5 21311 解: n=1， N=5，a, b 应该满足正规方程组 将所得计算值代入得 解得 a = 2.5648, b = 1.2037 若经验公式为 y = a + bx2 , 则 a , b 应满足的正规方程组为 同理得 解得 a = 3.9795, b = 0.20497 例
5、2 已知 求x与y的经验公式。 解：描点，图形近似直线 选用一次多项式作拟合函数。 即取0=1，1=x 7 数据 拟合 的最 小二 乘法 n=1, m=6, i 1. 由 法方程组为 得 解方程组得a0=0.843，a1=4.57，从而 P1(x)=0.843+4.57x 利用正规方程组（2.7）求解拟合曲线时，当 n 较大时( ) 问题 正规方程组往往是病态的（有关概念见第六章6.7节）， 因而给求解工作带来了困难 改善正规方程组性态的方法： 解决方法 直接解最小问题（2.5）的正交三角化方法等 如用正交多项式作基函数的最小二乘拟合、 样条最小二乘拟合等 因此下面介绍正交多项式的概念 在-1
6、, 1上带权 (x) 的正交多项式 称为切比雪夫多项式 2.2.1 切比雪夫（Chebyshev）多项式 1. 定义和性质 x -1, 1，n = 0, 1, 2, 切比雪夫多项式的表达式 2.2 正交多项式 切比雪夫多项式的性质： (1)正交性： (3)递推公式： 其中 T0(x) = 1, T1(x) = x，n = 1, 2, (2)奇偶性： cos(n+1) + cos(n-1) = 2cos cosn x = cos n为偶数时是偶函数性，n为奇数时为奇函数 (4) Tn(x) 在 -1,1 上有 n 个不同的实零点: (k = 1, 2, , n) (5) Tn(x) 在 -1,
7、1 上有 n+1 个极值点: (k = 0, 1, , n) (6) Tn(x)是 n 次多项式，其首项系数为 2n-1 (7)在 -1, 1 上所有首项系数为1的一切多项式中与0 偏差最小的多项式是 且偏差为 即在上述极值点处轮流取最大值1和最小值-1 2 插值余项的近似极小化 (1) 以n次chebyshev多项式的n个零点 作为插值节点，由Lagrange插值方法可得一个n-1次的 插值多项式 ，其余项为 由chebyshev多项式的性质2.7知，在区间-1，1上， 是与零偏差最小的首项系数为1的n次多项式 （2.14） (2) 若插值区间是a,b，不是-1,1，则做变换 ： t在区间-
8、1,1上变化，于是 它的最高项系数为 ，则 此时只要选插值节点为 相应地 这时 （2.15） (2.16) 3. Taylor级数项数的节约 函数 f (x) 的Taylor展开容易计算，因此它的部分和 常常被用于 f (x)的近似，且此时误差界容易给出。 设f (x)在区间-1,1上的Taylor展开式的 n项部 分和 若有 chebyshev多项式可以表示成不超过k次的x的幂函数 的线性组合，反过来，x的幂函数可以表示成chebyshev 多项式的组合如下： (2.17) 因此可以利用chebyshev多项式将P(x)重新组合以 降低近似多项式的次数，此时 如果 而 可以把 (2.18)式
9、后 m 项去掉，得到新的 n-m 次近似多项式 （2.18） 使误差 例 求 在 上的近似多项式，要求偏差小于 解 将 在 处Taylor展开，由于 故应取n=6，满足偏差要求的、以Taylor级数的 部分和所作的近似多项式为 其误差 又由于 则 用 做 的近似多项式，其误差 例 求 在 上的近似多项式，要求偏差小于 解 若用chebyshev多项式的零点作插值多项式来逼近f(x) 故也应取n=5. 若用chebyshev多项式的零点作插值多项式来逼近f (x) 由(2.14)式，误差为 故也应取n=5，即用T5(x)的5个零点做一个4次插值 多项式L4(x)才能使误差满足要求 2.2.2 一
10、般正交多项式 对首项系数 的n次多项式序列 如果满足 则称多项式序列在区间a,b上带权 正交。 表2-2 常用的正交多项式 它们与Chebyshev正交多项式类似，有递推关系式，正交性等 2.3 最佳平方逼近 定义 设 ， ， 积分 称为函数 与 在区间a,b上的内积 性质 C为常数 当且仅当f为0时等式成立 (2.21) 定义 设 ， ，, 在区间a,b上连续，若 仅当 成立，则 ， ，, 在区间上线性无关 。否则 为线性相关。 性质：正交函数系是线性无关的 设函数关系式 有如下线性关系 分别用 乘之，并积分得 （2.22） 系数矩阵的行列式为 记 为函数系 的Gramer行列式 定理 2.
11、3 函数 在区间a,b上线性相关 的充分必要条件： 线性无关的充分必要条件： 2.3.2 最佳平方逼近 定义 对 找到一个函数 使 最小，即 式中 是确定的线性无关的函数系。 (2.23) 根据多元函数极值原理，方程的解必须满足 于是有正规方程 （2.24） 定理 2.4 正规方程组（2.24）有唯一解。 定理 2.5 设 是正规方程组（2.24)的解，则 是式（2.23）的解。 例 2.3 设 求 使 最小。 解 设 即取 则，a,b,c应满足正规方程组 于是 解之得 所以 平方误差 在实际问题中正规方程组（2.24）的阶数较高时， 其系数矩阵常常是病态的，为了避免解病态的正规 方程组，办法之一就是取为区间上带权函数正交的 函数系，这时正规方程组简化为 （2.25） 例 2.4 设 求 使 最小。 解 设 取 为k次的Legendre多项式，即 由正交性(2.20) 则 所以
