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1、1 5.5 定轴转动中的功能关系 一. 力矩的功 力矩的空间积累效应： 力矩的功： d z x 轴 r F 2 二. 定轴转动动能定理 令转动动能： 刚体定轴转动 动能定理： （飞轮储能） 3 三. 刚体的重力势能 四. 应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能 C hC hi Ep= 0 mi 守恒定律仍成立。 4 【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到 角时的角加速度，角速度，转轴受力。 5 解：刚体定轴转动 1、受力分析 2、关于O轴列 转动定理 6 由求w ： 7 （1） 平动：质心运动定理 3、求转轴受力 8 （2） 转动：关于质心轴列转动定理 为什么？ 9 用机械能守恒重解： 转
2、轴光滑，初态静止，求下摆到角 时的角加速度，角速度。 10 解：杆机械能守恒 比用转动定律简单！ 势能零点 绕固定轴 转动动能 11 杆动能的另一种表达：科尼西定理 势能零点 质心动能绕过质心轴 转动动能 12 两个同样大小（R），同样质量（M）的球（或圆柱）， 一个空心对称（金），一个实心（银），外观上无差别 ，怎样在不破坏外观的前提下区分出它们？ 让它们滚起来！滚得快的是实心！ 13 5.6 刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 1、平面平行运动 只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。 质心做平面运动绕过质心垂直轴做转动 2、无滑动滚动： R C p w 任意时刻接触点P 瞬时静止 无滑动滚动条
3、件： 【思考】下一时刻P点位置？ 14 转动惯量小的滚得快！ 质心运动定理 过质心轴转动定理 纯滚动条件（运动学条件） 【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？ mg f R C x y 15 3、轴对称刚体无滑动滚动中的瞬时转轴 C p A B D E F 时刻t 接触点P 瞬 时静止； 在时间(tt+t) 内，以P点为原点 建立平动坐标系； 时间(t t+t)内，刚体的运动（质心平动、 绕质心轴转动）可以看成：绕过 P 点且垂直于 固定平面的转轴的无滑动滚动（旋转）。 接触点P ：瞬时转轴瞬时转动中心 16 绕瞬时转轴的转动定理的形式？
4、虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了 力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。 下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。 惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度 方向相反。 关于过p点转轴的转动惯量 轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理： 17 证明： p点相对惯性系的加速度 p点相对质心的加速度 R C p w 按切、法向分解： 无滑动滚动： p点加速度沿半径方向 ap 过p点转轴惯性力矩等于零 18 【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？ 关于瞬转轴列转动定理重解： mg
5、 f R C p 简单多了！ 19 5.7 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律 讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： 对点： 对轴： 刚体： 刚体定轴转动的角动量定理 20 刚体定轴转动的角动量守恒定律： 对刚体系， M外z = 0 时， ， 此时角动量可在系统内部各刚体间传递， 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。 21 滑冰运动员的旋转 22 转 动 正 向 时 动力学分析： O A m 一 单摆 5.8 单摆和复摆 23 令 转 动 正 向 O A m 24 二 复摆 令 * （C点为质心） 转动正向 C O 书P179 25 简谐振动 * （C点为质心） 转动正向 C O 26
6、 5.9 打击中心（center of percussion） 质心质心质心 打击中心打击中心打击中心 向左动向右动静止 在光滑的水平细杆上悬挂一金属棒，用锤子敲击下部，观察其运动 27 例 以水平力F打击悬挂在O点的长l的匀质细杆 ，打击点为P。若打击点选择合适，则打击过程 中轴对细杆的切向力F切为0，该点称为打击中心 。求打击中心到轴的距离d。 F d O P 细杆在水平力矩作用下作定轴转动 质心切向加速度 细杆相对O点的转动惯量 质心切向运动方程 切向力为零 打棒球 锤子 28 5.10 刚体的平衡 29 在某一时刻，刚体静止。 若刚体所受外力之和为零，则刚体的质心不动。 若刚体所受外力
7、矩之和为零，则刚体无转动。 刚体的平衡条件 30 31 旋进： 5.11 旋进 （进动） 如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。 高速旋转的物体，其自转轴绕另一个 32 p2 p1 m2m1 r2 m1 r1 L2 L1 L O z 点的 不平行于 。 若质量对转轴分布对称， 下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称 对转轴不对称， 的刚体的旋进问题。 刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。 例如，图示的情形：质量 则： 则对轴上O 33 M dL mg O L 从而产生旋进运动。 玩具陀螺的旋进： 只改变方向而不改变大小， 34 d L O 旋进角速度： 35 地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴 的
8、旋进，北天极方 向不断改变。 北极星 3000年前 小熊座 现在 小熊座 12000年后 天琴座 （织女） T = 25800年 C1 C2 F1 F2 太阳 赤道平面 黄道平面地球 北 天 极 地轴 L 地球自转角动量 （F1F2 ） M 地球自转轴旋进 36 地轴 旋进 旋进周期25800年 秋分点 春分点 西 分点每年在黄 道上西移50.2 太阳年（回归年） ： 太阳由春分秋分春分 恒星年（时间长） ： 地球绕太阳一周的时间 岁差 （precession） 岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒 北半球 南半球黄道面 赤道面 太阳 东 37 我国古代已发现了岁差： 每50年差1度（约
9、72/年） 前汉（公元前206 23） 刘歆发现岁差。 晋朝（公元265 316 ） 虞喜最先确定了岁差： 将岁差引入历法：391年有144个闰月。 祖冲之（公元429 500）编大明历最先 （精确值为50.2/年） 38 刚体定轴转动与质点一维运动的对比 位移角位移 速度角速度 加速度角加速度 质点一维运动刚体定轴转动 质量转动惯量 力力矩 运动定律 转动定律 动量 动量 角动量 角动量 动量定理 角动量定理 动量守恒定律 角动量守恒定律 39 质点一维运动刚体定轴转动 力的功力矩的功 动能 转动动能 （平动动能 ） 动能定理 转动动能定理 重力势能重力势能 机械能守恒定律 机械能守恒定律
