《材料力学第四章 弯曲应力综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《材料力学第四章 弯曲应力综述（94页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 4 章 弯曲应力 对称弯曲的概念及梁的计算简图 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图 平面刚架和曲杆的内力图 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件 梁的合理设计 等直杆 杆轴线由直线弯成曲线曲线 以弯曲为主要变形的杆 梁梁 4-14-1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图 在包含其轴线的纵向平面内纵向平面内 承受垂直于杆轴线的横向外力横向外力或外力偶外力偶作用 弯 曲 一、弯曲的概念 长江三峡工程长江三峡工程 上海南浦大桥上海南浦大桥 体育馆体育馆 梁在工程上 有着广泛的应用 各横截面的对称轴对称轴所连成的面 纵向对称面纵向对称面 轴线轴
2、线 对对 称称 轴轴 F F q q ( ( x x ) ) MM 对称弯曲 纵向对称面纵向对称面 梁 外力作用在 纵向对称面内 变形后梁轴线 在纵向对称面内 弯成曲线 非对称弯曲 1 1简支梁简支梁 一端是固定铰支座固定铰支座， 另一端是活动铰支座活动铰支座的梁 。 二、梁的计算简图 等截面直梁 对称弯曲 计算简图常用梁的轴线轴线来表示 梁 静定梁、超静定梁 跨跨跨长跨长 2.外伸梁 一端是固定铰支座固定铰支座， 另一端是活动铰支座活动铰支座，且在 两端或一端有外伸部分有外伸部分（外外 伸段伸段）的梁。 3.悬臂梁 一端固定固定，另 一端是自由自由的梁。 B A q q 剪力剪力 F F S
3、 S 弯矩弯矩 MM F1F2 AB x a F FS S MM F1 A FA C C m m F FA A F FB B 4-24-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 一、梁剪力和弯矩 右段梁： 正负号规定： 剪剪 力力 剪力以绕梁段顺时针顺时针转为正正 F FS S 左段梁： F F F F F FS S + 弯弯 矩矩 弯矩以使得梁段向下凸下凸为正正 + 左段梁：右段梁： MMMM MM MM 正负号规定： FSFAF1MFA xF1( xa ) F1F2 AB x a F FS S MM F1 A FA C C m m F FA A F FB B 梁任一截
4、面上的剪力，等于该截面该截面 一侧一侧梁上所有外力的代数和所有外力的代数和 （使剪力绕 梁段顺时针顺时针转者为正正）。 梁任一截面上的弯矩，等于该截面该截面 一侧一侧梁上所有外力对该截面形心矩的代所有外力对该截面形心矩的代 数和数和 （使梁段下凸下凸者为正正）。 计算规则计算规则 例1：求指定截面上的剪力和弯矩。 1 1 1 1 MM e e = = 4 4F F a a F F AB aaa 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 解： FA = 2F ， FB = F FS1 = 2F 2-2 截面：FS2 = F 1 1 1 1 MM e e = = 4 4F F a a F F
5、 AB aaa 3 3 3 3 2 2 2 2 4 4 4 4 1-1 截面： F FA A F FB B 3-3 截面：FS3 = F 4-4 截面：FS4 = F M1 = 2F a M2 = 2F a M3 = 3F a M4 =F a 梁上集中力偶集中力偶作用处，左、右截 面上的弯矩值弯矩值有突变突变，突变值就等于该 集中力偶矩的大小，而剪力值不变剪力值不变。 梁上集中力集中力作用处，左、右截面 上的剪力值剪力值有突变突变，突变值就等于该集 中力的大小，而弯矩值不变弯矩值不变； 重要结论重要结论 为了表明梁横截面上的剪力和弯矩随截面 位置变化的规律，可用 x x 表示横截面的位置横截面
6、的位置， 把剪力和弯矩写成 x 的函数，即： FS = FS ( x ) M = M ( x ) 剪力方程剪力方程 弯矩方程弯矩方程 二、剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 以平行梁轴线平行梁轴线的坐标轴为横坐标轴，其 上各点表示横截面的位置； 剪力图：正正的剪力画在横坐标的上方 上方， 负负的画在下方下方。 弯矩图：正正的弯矩画在横坐标的下方 下方（即 梁的受拉侧），负负的画在上方上方。 以垂直梁轴线垂直梁轴线的 纵坐标表示横截面上剪力和弯矩， 画出的图 线即为剪力图剪力图和弯矩图弯矩图。 例2：简支梁受均布力作用，试列出剪 力方程、弯矩方程，画剪力图、弯矩图。 q q AB l P103例
7、4-2 解：1求支座约束力 FA = FB =q l 1 2 2列剪力方程、弯矩方程 FS = q l 1 2 q x（0 x l） （0 x l） M =q l x 1 2 q x 1 2 2 q q AB l F FA A F FB B x x 3画剪力图、弯矩图 q q AB l FS M q q l l 1 1 8 8 2 2 q q l l 1 1 2 2 q q l l 1 1 2 2 例3：简支梁受集中力作用，试列出剪力 方程、弯矩方程，画剪力图、弯矩图。 F F AB l / 2l / 2 C 解：1求支座约束力 FA = FB =F 1 2 F F AB l / 2l / 2
8、 C F FA A F FB B 2列剪力方程、弯矩方程 （0 x l / 2） M =F x 1 2 F F AB l / 2l / 2 C F FA A F FB B FS = F 1 2 （0 x l / 2）AC AC 段：段： （ l / 2 x l） M =F（ lx） 1 2 FS =F 1 2 （ l / 2 x l）CB CB 段：段： x x x x 3画剪力图、弯矩图 FS M F F AB l / 2l / 2 C F F l l 1 1 4 4 F F 1 1 2 2 F F 1 1 2 2 q q ( ( x x ) ) F F x x y y xd x 微段微段
9、q q 向上为正向上为正 q q ( ( x x ) ) F FS S ( ( x x ) ) F FS S ( ( x x ) ) + + d d F FS S ( ( x x ) ) MM ( ( x x ) ) + + d d MM ( ( x x ) ) MM ( ( x x ) ) d x 三、弯矩、剪力与荷载集度之间的关系 FS ( x )+ q ( x ) d x= 0 FS ( x ) + d FS ( x ) d FS ( x ) q ( x ) d x = q q ( ( x x ) ) F FS S ( ( x x ) ) F FS S ( ( x x ) ) + + d
10、 d F FS S ( ( x x ) ) MM ( ( x x ) ) + + d d MM ( ( x x ) ) MM ( ( x x ) ) d x 剪力图上某 点的切线斜率等 于梁上与该点对 应处的荷载集度 q q ( ( x x ) ) F FS S ( ( x x ) ) F FS S ( ( x x ) ) + + d d F FS S ( ( x x ) ) MM ( ( x x ) ) + + d d MM ( ( x x ) ) MM ( ( x x ) ) d x M ( x ) + d M ( x ) = 0 d M ( x ) FS ( x ) d x = 弯矩图上
11、某点 的切线斜率等于梁 上与该点对应处的 横截面上的剪力。 q ( x )(d x ) 2 1 2 FS ( x ) d x M ( x ) C d FS ( x ) q ( x ) d x = d M ( x ) FS ( x ) d x = q ( x )= d M ( x ) d x 2 2 梁的某段上若无分布荷载无分布荷载作用，即q ( x ) = 0， 剪力图为水平直线水平直线，弯矩图为斜线斜线。 则该段内 FS ( x ) = 常数常数，M ( x ) 为 x 的一次函数一次函数。 梁的某段上若有均布荷载有均布荷载作用，即q ( x ) =常数， 剪力图为斜线斜线，弯矩图为二次抛物
12、线二次抛物线。 则该段内FS( x )为x的线性函数线性函数，M ( x )为x的二次函数二次函数。 d FS ( x ) q ( x ) d x = d M ( x ) FS ( x ) d x = q ( x )= d M ( x ) d x 2 2 分布荷载向上向上作用时(即 q ( x )0 )， 弯矩图向上凸起向上凸起 弯矩图向下凸起向下凸起 x M q q ( ( x x ) ) 分布荷载向下向下作用时(即 q ( x )0 )， x M q q ( ( x x ) ) q ( x )= d M ( x ) d x 2 2 分布荷载作用的梁段内， FS ( x ) = 0 的截面上
13、，弯矩具有极值极值。 d FS ( x ) q ( x ) d x = d M ( x ) FS ( x ) d x = q ( x )= d M ( x ) d x 2 2 20 20 kN/mkN/m 20 20 kNkN 160 160 kNmkNm 8 m2 m2 m A D BC 例4：画出外伸梁的剪力图和弯矩图。 20 20 kN/mkN/m 20 20 kNkN 160 160 kNmkNm 8 m2 m2 m A D BC 解：1求支座约束力 FB = 148 kN ， FA = 72 kN 2计算控制截面控制截面上的剪力和弯矩 F FA A F FB B FS = 72 kN
14、 ， M = 0A A ： FS = 72 kN ， M = 144 kNmC C ： - - 20 20 kN/mkN/m 20 20 kNkN 160 160 kNmkNm 8 m2 m2 m A D BC FS =88 kN ， M =80 kNm FS = 60 kN ， M =80 kNm FS = 20 kN ， M = 0 B B ： - - B B ： D D ： - - 3画剪力图、弯矩图 F FA A F FB B FS = 72 kN ， M =16 kNmC C ： 20 20 kN/mkN/m 20 20 kNkN 160 160 kNmkNm 8 m2 m2 m A
15、 D BC AC 段：q ( x ) = 0 剪力图为水平线水平线，弯矩图为斜直线斜直线。 CB 段：q ( x ) = 常数， 剪力图为斜直线斜直线，弯矩图为抛物线抛物线。 BD 段：q ( x ) = 常数， 剪力图为斜直线斜直线，弯矩图为抛物线抛物线。 F FA A F FB B 20 20 kN/mkN/m 20 20 kNkN 160 160 kNmkNm 8 m2 m2 m A D BC FS ( kN ) M ( kNm ) 7272 8888 6060 2020 144144 1616 113.6113.6 8080 x x 校核 x3.2 m a2aa q q A B C qaqa 2 2 D 例5：画出图示联合梁联合梁的剪力图和弯矩图。 a2aa q q A B C qaqa 2 2 D C q q B AB qaqa 2 2 D F FD D F FB B FB = FD = qa F FB B 外伸梁AB和悬臂梁BC的受力情况受力情况与原联合梁 的受力情况完全相同完全相同（完全等效完全等效）。 2a C q q B qaqa aa A B qaqa 2 2 D qaqa qaqa FS qaqa qaqa qaqa 2 2 M 0.50.5qaqa 2 2 q q
