五无穷级数二幂级数

《五无穷级数二幂级数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五无穷级数二幂级数（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 第二节 幂级数 函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛区间 幂级数的运算 函数展开成幂级数 函数的幂级数展开式的一些应用 1 1 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 一 函数项级数的一般概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数列, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 2 2 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 为级数的和函数 ,

2、并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 3 3 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例如, 等 比级数 它的收敛域是 它的发散域是或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 4 4 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 二 幂级数及其收敛区间 形如 的函数项级数称为其中 称 为幂级数的系数 . 的幂级数, 称 为的幂级数. 5 5 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 发 散发 散收 敛 收敛发散 定理 1.

3、 ( Abel 定理 ) 若幂级数 则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设收敛,则必有于是存在 常数 M 0, 使 6 6 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当时该幂级数发散 ,下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 7 7 第二

4、节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 几何说明 收敛区域 发散区域发散区域 推论如果幂级数不是仅在 一点 存在, 收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 定的正数 则必有一个完全确 它具有下列性质: 当时,幂级数绝对收敛; 当时,幂级数发散; 当时,幂级数可能收敛也可能发散. 8 8 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称 为幂级数的收敛区间.收敛区间为下列四种形式之一 规定(1) 幂级数只在处收敛, 收敛区间 收敛半径 (2) 幂级数对一切都收敛,收敛半径 收敛区间 说明幂级数如果在处条件收敛， 则 一

5、定是该幂级数收敛区间的端点， 即该幂级数的收敛 半径 9 9 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 问题如何求幂级数的收敛半径? 定理2. 的系数满足 1) 当 0 时, 2) 当 0 时, 3) 当 时, 则 若 如果幂级数如果在处收敛，而在 处发散, 则一定是该幂级数收敛区间的端点， 即该幂级数的收敛半径 1010 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 证: 1) 若 0, 则根据比值审敛法可知: 当原级数收敛; 当原级数发散. 即时, 即 时, 2) 若则根据比值审敛法可知, 3) 若则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 对

6、任意 x 原级数 因此 因此级数的收敛半径 1111 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 的收敛半径为 说明:据此定理 对端点 x =1, 的收敛半径及收敛区间. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数收敛; 级数为发散 . 故收敛区间为 例1.求幂 级数 1212 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 1313 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例 3 . 的收敛半径 . 解

7、: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 1414 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例 4 . 的收敛区间 . 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数为此级数发散; 当 t = 2 时, 级数为此级数条件收敛; 因此级数的收敛区间为故原级数的收敛区间 即 1515 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例 5 . 的收敛半径、收敛区间. 解当时， 因为所以收敛，原级数绝对收敛 当时，由于 所以原级数发散，所以级数的收敛半径收敛 区间 1616 第二节第二节

8、 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 三 幂级数的运算 定理3. 及 的收敛半径分别为 令则有 : 其中 以上结论可用部分和 的极限证明 . 设幂级数 1.代数运算性质: 1717 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 2.和函数的分析运算性质: (1)幂级数的和函数在收敛区间 内连续, (2)幂级数的和函数在收敛区间 内可积,可逐项积分. (收敛半径不变) 即 在端点收敛,则在端点单侧连续. 且对 1818 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 (3)幂级数的和函数在收敛区间 内可导, 并可逐项求导任意次. 即 (收敛半径不变

9、) 1919 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例6. 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发 散, 2020 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 解 两边积分得 例7 求级数 的和函数. 2121 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 解 收敛区间(-1,1), 例8 求的和. 2222 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 四 函数展开成幂级数 1 函数的幂级数展开式泰勒级数 问题: 2) 如果能展开， 3) 展开式是否唯一? 1) 在什么条件下才能展开成

10、如何计算？ 的冪级数： 4) 在什么条件下 收敛到 2323 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 如果函数在内具有任意阶导数, 且在有 2424 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 定义 设在 的某个领域内有任意阶导数, 则幂级数 称为 在处的泰勒(Taylor)级数， 而系数 称为泰勒系数。 特别当时，幂级数 2525 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 称为的麦克劳林(Maclaucin)级数。 综上所述可以展开成幂级数 的必要条件是在的某个领域内有任意阶 导数，且此幂级数必是在处的泰勒级数， 即的幂级数展

11、开式是唯一的。 2 的泰勒级数收敛于的充要条件 定 理 4 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 2626 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 证明: 令 3 函数展开成幂级数(直接展开法) 步骤1) 求 2) 求 3) 写出x-x0幂级数并求其收敛半径R 2727 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 4) 在收敛区间上考察当时，的泰勒公式 余项是否趋向于 零，若是则所求的幂级数在收敛区间上收敛于 2828 第二节第二

12、节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例9将函数展开成的幂级数。 解 的麦克劳林级数 收敛区间为 所以 2929 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例 10 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 3030 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 类似可推出: 3131 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例11 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对

13、任意常数 m, 3232 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 推导 则 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 3333 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 由此得 3434 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 对应的二项展开式分别为 3535 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 4 函数展开成幂级数(间接展开法)

14、利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例12 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成, 得 将所给函数展开成 幂级数. 3636 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例13 将函数展开成x的幂级数. 解 3737 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例14 将函 数 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 得 定义且连续, 区间为 上式右端的幂级数在 x 1 收敛 , 所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛 3838 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 特别取x =1可

15、得 因此 3939 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例15 将 函数 展开成 x 的幂级数. 解: 4040 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例 16 将 展成 x1 的幂级数. 解: 4141 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 五 函数的幂级数展开式的一些应用 1 近似计 算 两类问题: 1.给定项数,求近似值并估计精度; 2.给出精度,确定项数. 关健:通过估计余项,确定精度或项数. 常用方法: 1.若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数,则放大余和中的各项,使之成为等 比级数或其它易求和的级数,从而求出其和. 4242 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例17 解 余和: 4343 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例18 计算的近似值, 精确到 解: 4444 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 例19 解 其误差不超过 . 4545 第二节第二节 幂级数幂级数 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数 2 求数项级数的和 (逐项积分、逐项求导) 4646 第二节第二