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1、第3章 电阻电路的一般分析 3.1电路的图 3.2KCL和KVL的独立方程数 3.3支路电流法 3.4网孔电流法 3.5回路电流法 3.6结点电压法 首 页 熟练掌握电路方程的列写方法： 支路电流法 (网孔)回路电流法 结点电压法 返 回 本章重点 对于结构较为简单的电路，应用第二章介绍的等效变换的 方法来求解通常是有效的。但对于结构较为复杂的电路则要 先选择一组合适的电路变量（电压或者电流），再根据KCL、 KVL及元件的VCR建立该组变量的独立方程组、通过求解电路 方程从而得到所需的响应。根据列方程时所选变量的不同可 分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。 元件的电压、电流关
2、系（元件约束）元件VCR 电路的连接关系（几何约束）KCL，KVL定律 l方法的基础 下 页上 页返 回 1.网络图论 BD A C D C B A 哥尼斯堡七桥难题 图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和 应用极为广泛的一门学科。 下 页上 页 3.1 电路的图 返 回 2.电路的图 抛开元 件性质 元件的串联及并联 组合作为一条支路 5 4 3 2 1 6 有向图 下 页上 页返 回 R4 R1 R3 R2 R6 uS + _ i R5 图的定义(Graph)G=支路，结点 电路的图G是具有给定连接关系的支路和结点 的集合，图中的支路和结点与电路的支路和结点一 一对应。 图中的结点和支路各自
3、是一个整体。 移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因 此允许有孤立结点存在。 如把结点移去，则应把与它联 接的全部支路同时移去。 下 页上 页 结论 返 回 从图G的一个结点出发沿着一些支 路连续移动到达另一结点所经过的 支路构成路径。 (2)路径 (3)连通图 当图G的任意两个结点之间至少存 在一条路径时，就称之为连通图， 非连通图至少存在两个分离部分。 下 页上 页返 回 (4)子图 若图G1中所有支路和结点都是图 G中的支路和结点，则称G1是G 的子图。 树(Tree)树是连通图的一个子图，且满足 下列条件： a.树是连通的； b.包含图中所有结点； c.不包含回路。 下 页上 页
4、返 回 树支：构成树的支路连支：图G中除了树支以外的支路 树支的数目是一定的 连支数： 不 是 树 树 对同一个图有很多的树 下 页上 页 明确 返 回 回路(Loop) 如果一条路径的起点和终点重合，且经 过的其它结点不出现重复，则这条闭合 路径就构成图G的一个回路。 1 2 3 4 5 6 7 8 2 5 3 1 2 4 57 8 不 是 回 路 回路 2）基本回路的数目是一定的，为连支数； 1）对应一个图有很多的回路； 3）对于平面电路，网孔数等于基本回路数。 下 页上 页 明 确 返 回 基本回路(单连支回路) 1 2 3 45 6 5 1 2 31 2 3 6 支路数树支数连支数 结
5、点数1基本回路数 结点、支路和 基本回路关系 基本回路具有唯一的一条连支 下 页上 页 结论 返 回 例 8 7 6 54 32 1 图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应 的基本回路。 8 7 6 5 86 4 3 8 2 4 3 下 页上 页 注意 网孔为基本回路。 返 回 3.2 KCL和KVL的独立方程数 1.KCL的独立方程数 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 1 4 3 2 4123 0 任意具有n个结点的电路, 其独立的KCL方程为n-1个。 下 页上 页 结论 返 回 2.KVL的独立方程数 下 页上 页 1 3 2 12 - 6 5 4 3 2 1 4 3 2 1 对
6、网孔列KVL方程： 可以证明通过对以上三个网孔方程进行加 、减运算即可以得到其它回路的KVL方程。 注意 返 回 KVL的独立方程数=基本回路数=b(n1) 对于具有n个结点、b条支路的电路, 其独立的 KCL和KVL方程数分别为： 下 页上 页 结论 返 回 3.3 支路电流法 对于具有n个结点、b条支路的电路，要求解支 路电流,未知量共有b个。只要列出b个独立的电路 方程，便可以求解这b个变量。 1. 支路电流法 2. 独立方程的列写 下 页上 页 以各支路电流为未知量列写 电路方程分析电路的方法。 从电路的n个结点中任意选择n-1个列写KCL方程； 选择基本回路列写b-(n-1)个KVL
7、方程。 返 回 例： 1 3 2 有6个支路电流，需列写6个方 程。KCL方程: 取网孔为独立回路，沿顺时 针方向绕行列写KVL方程: 回路1 回路2 回路3 1 2 3 下 页上 页 R1 R2 R3 R4 R5 R6 + i2 i3 i4 i1 i5 i6 uS 1 2 3 4 返 回 （1）支路电流法的解题步骤： 选定各支路电流（电压取关联）的参考方向； 选定(n1)个独立结点，列写其KCL方程； 选定b(n1)个独立回路，指定回路绕行方向，结合 KVL和支路元件VCR列写： 求解上述方程，得到b个未知支路电流； 进一步计算支路电压和进行其它分析。 下 页上 页 小结 返 回 （2）支路
8、电流法的特点： 支路电流法列写的是KCL和KVL方程，所以方 程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数 不多的情况下使用。 下 页上 页 例1求各支路电流及各电压源发出的功率。 12 解 n1=1个KCL方程： 结点a： I1I2+I3=0 b( n1)=2个KVL方程： 11I2+7I3= 6 7I111I2=70-6=64 U=US 70V6V 7 b a + + I1 I3 I2 7 11 返 回 下 页上 页 70V6V 7 b a + + I1 I3 I2 7 11 2 1 返 回 例2 结点a： I1I2+I3=0 (1) n1=1个KCL方程： 列写支路电流方程。(电路中含有
9、理想电流源） 解1 (2) b( n1)=2个KVL方程： 11I2+7I3= U 7I111I2=70-U 增补方程：I2=6A 下 页上 页 设出电流 源电压 返 回 + U _ a 70V 7 b + I1 I3 I2711 2 1 6A 1 解2 由于I2已知，故只列写两个方程 结点a： I1+I3=6 避开电流源支路取回路： 7I17I3=70 下 页上 页返 回 70V 7 b a + I1 I3 I2711 6A 例3 I1I2+I3=0 列写支路电流方程。(电路中含有受控源） 解 11I2+7I3= 5U 7I111I2=70-5U 增补方程：U=7I3 有受控源的电路，方程列
10、写分两步： 先将受控源看作独立源列方程； 再将控制量用未知量表示，并代入所列的方程， 消去中间变量。 下 页上 页 注意 5U + U _70V 7 b a + I1I3 I2711 2 1 + _ 结点a： 返 回 3.4 网孔电流法 l基本思想 为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔 中有一个网孔电流。各支路电流可以用网孔电流 的线性组合表示，进而求得电路的解。 1.网孔电流法 下 页上 页 以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅 适用于平面电路。 返 回 独立回路数为2。选图示 的两个独立回路，支路电 流可表示为： 下 页上 页 网孔电流在网孔
11、中是闭合的，对每个相关结 点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。 因此网孔电流法是对网孔回路列写KVL方程，方 程数为网孔数。 l方程的列写 b im2 + + i1 i3 i2 uS1 uS2 R1R2 R3 返 回 im1 a 网孔1： R1 im1+R2(im1- im2)-uS1+uS2=0 网孔2： R2(im2- im1)+ R3 im2 -uS2=0 整理得： (R1+ R2) im1-R2im2=uS1-uS2 - R2im1+ (R2 +R3) im2 =uS2 2. 方程的列写 下 页上 页 观察可以看出如下规律： R11=R1+R2 网孔1中所有电阻之和， 称为网孔
12、1的自阻。 返 回 im2 + + i1 i3 i2 uS1 uS2 R1R2 R3 im1 b a R22=R2+R3 网孔2中所有电阻之和， 称为网孔2的自阻。 自阻总为正。 R12= R21= R2 网孔1、网孔2之间的互阻。 若将所有网孔电流都取为顺（或逆）时 针方向，则互阻都为负。 uS11= uS1-uS2 网孔1中所有电压源电压的代数和。 uS22= uS2 网孔2中所有电压源电压的代数和。 下 页上 页 注意 返 回 im2 + + i1 i3 i2 uS1 uS2 R1R2 R3 im1 a b 当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取 负号；反之取正号。 下 页上 页 方
13、程的标准形式： 对于具有 m 个网孔的电路，有: 返 回 im2 + + i1 i3 i2 uS1 uS2 R1R2 R3 im1 a b Rjk: 互阻 + :流过互阻的两个网孔电流方向相同； - :流过互阻的两个网孔电流方向相反； 0 :两网孔无关。 Rkk: 自阻(总为正) 下 页上 页 注意 返 回 例1试用网孔电流法求解电流 i。 解 选网孔为独立回路： i1 i3 i2无受控源的线性网络Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。 当网孔电流均取顺（或逆） 时针方向时，Rjk均为负。 下 页上 页 RS R5 R4 R3 R1R2 US + _ i 返 回 （1）网孔电流法的一般步骤：
14、选网孔为独立回路，并确定网孔电流绕行方向； 以网孔电流为未知量，列写其KVL方程； 求解上述方程，得到 l 个网孔电流； 其它分析。 求各支路电流； 下 页上 页 小结 （2）网孔电流法的特点： 仅适用于平面电路。 返 回 3.5 回路电流法 1.回路电流法 下 页上 页 以沿基本回路连续流动的假想电流为未知量列 写电路方程分析电路的方法，它适用于平面和非平 面电路。 回路电流法是针对独立回路列写KVL方程，方 程数为： l列写的方程 与支路电流法相比，方程数减少n-1个。注意 返 回 2. 方程的列写 下 页上 页 例用回路电流法求解电流 i。 RS R5 R4 R3 R1R2 US + _
15、 i 解只让一个回路电流经过 R5支路。 返 回 i1 i3 i2 下 页上 页 方程的标准形式： 对于具有l =b (n1) 个基本回路的电路，有: Rjk: 互阻 + :流过互阻的两个回路电流方向相同； - :流过互阻的两个回路电流方向相反； 0 :两回路无关。 Rkk: 自阻(总为正)注意 返 回 （1）回路电流法的一般步骤： 选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定回路电流绕行方向； 对l 个独立回路以回路电流为未知量列写其KVL方程； 求解上述方程，得到 l 个回路电流； 其它分析。 求各支路电流； 下 页上 页 小结 （2）回路电流法的特点： 通过灵活的选取回路可以减少计算量； 互
16、阻的正负识别难度加大，易遗漏互阻。 返 回 3.无伴电流源支路的处理 l 设出电流源电压，同时引入回路电流和电流源电流 的增补方程。 例 U _ + i1 i3 i2 方程中应包括 电流源电压 增补方程： 下 页上 页 IS RS R4 R3 R1R2 US + _ 返 回 l 合理选取独立回路，使无伴电流源支路仅仅属于一 个回路,该回路电流即为IS 。 例 已知电流，实际减少了一个方程 下 页上 页 IS RS R4 R3 R1R2 US + _ 返 回 i1 i3 i2 4.受控电源支路的处理 当电路中含有受控电压源时，把它作为独 立电压源列于方程的右边，同时把控制量用回 路电流表示。当电路中含有受控电流源时，如 果是有伴受控流源，可以将其等效变换为受控 电压源；如果是无伴受控电
