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1、几何：GAODBECQPNM2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：OQPBDECNMA设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q求证：APAQ（初二）ODBFAECP4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD（初三）2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB（初二）PADCBEDCBA4、如
2、图，ABC中，ABCACB800，D、E分别是AB、AC上的点，DCA300，EBA200，求BED的度数1. ABC的顶点B在O外，BA、BC均与O相交，过BA与圆的交点K引ABC平分线的垂线，交O于P，交BC于M。求证：线段PM为圆心到ABC平分线距离的2倍。2.在ABC中，AP为A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BHAP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQAB。3.菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。求证：MQNP。4.ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点
3、，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证：KPAB。5.以ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AMBC。6.ABC内接于O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。7.已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：O1AO2=M1AM2。5.如图，已知BAC=90,ADBC, 1=2,EFBC, F
4、MAC,说明FM=FD的理由6.如图，已知ABD和ACE是直角三角形，ABD=ACE=90，BAD=CAE，连接DE，点M为DE边中点，求证：BM=CM。7.如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，点M为EC边中点，求证：BMD为等腰直角三角形。22.如图，在平行四边形ABCD内有一点E满足EDAD于D，EBCEDC，ECB45，请在图中找出与BE相等的一条线段，并予以证明11如图，ABC为等腰三角形，AP是底边BC上的高，点D是线段PC上的一点，BE和CF分别是ABD和ACD的外接圆直径，连接EF. 求证： 20以ABC的边AB、AC为边向形外作等边ABM、CAN，BN和CM交于一点P。
5、试判断：APM、APN的大小关系，并加以证明。1、已知：如图，O1和O2两个等圆，过O1、O2的中点M的直线交圆O1于点A、点B，交O2于点C、点D。求证：AB=CD 2、已知：如图，ABC是O的内接三角形，AB=AC，点D在BC的延长线连结A、D交O于点E。求证：ABCE=AECD。3、已知：如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD，DC的延长线与AB的延长线相交于点E，如果AC=CE，求证：AD=BE。5、已知：如图，AB是O的直径，E是AB延长线上一点，过E作O的切线ED，切点为C，ADED交ED于点D，交O于点F，CGAB交AB于点G。求证：BGAG=DFDA。6、如图，四边形AB
6、CD内接于O，AC是O的直径，DEAC于E，DE的延长线与CB的延长线相交于F。求证：CD2=CBCF。7、已知：如图，ABC内接于O，BAC的平分线交O于点D，交O的切线BF于点F，B为切点。求证（1）BD平分CBF；（2）ABBF=AFCD。8.凸四边形ABCD的对角线AC、BD的交点为M，过点M作AD的平行线分别交AB、CD于E、F，交CB的延长线于点O，解答图求证：4、在ABC中,ACB=90，D是AB上一点，M是CD的中点，若，求证：。18如图，在RtABC中，C=90，A的平分线AD交BC边于D，求证：【例1】 （2007年北师大附中试题）如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于
7、点，求证：.【巩固】（河南省初三数学竞赛题）如图，点在上，是的中点，于，点是的中点，连接。求证：。【巩固】（2001青岛市中考题）已知，如图正方形内接于，在斜边上，于。求证：（1）；（2）。【习题1】 如图，在直角梯形中，对角线，垂足为，过的直线交于 ， 23（1）如图，四边形ABCD中，AB=AD，ABD=60，BCD=120，证明：BC+DC=AC(1) 如图，四边形ABCD中，AB=BC，ABC=60，P为四边形ABCD内一点，且APD=120，证明：PA+PD+PCBD (江苏省竞赛题)18如图，ABC中，ABC=1000，ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使CBD=200，
8、连结DE求CED的度数20如图，P是ABC的BAC的外角平分线上一点(1)求证：PB+PCAB+AC；(2)若P是ABC的BAC的平分线上一点且ACAB，画出图形，试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系?如图，ABC和AlBlC1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D求证：AA1CC1(重庆市竞赛题)18如图，正方形ABCD中，M为AD中点，以M为顶点作BMN=MBC，MN交CD于N，求证：DN=2NC20如图，ABC中，ACB=2ABC，求证：AB2=AC2+ACBC21如图，AB是等腰直角三角形的斜边，若点M在边AC上，点N在边BC上，沿直线MN将MCN翻折，使点C落在AB上，
9、设其落点为点P (1)当点P是边AB的中点时，求证：； (2)当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立?请证明你的结论 (2001年北京市宣武区中考题) 22如图，若，求证：(武汉市选拔赛试题)【例1】 已知：如图，、都是等边三角形，且、共线，求证：也是等边三角形16、如图9，ABC中，A=2B，由顶点C作A的平分线AD的垂线CF，垂足为F，求证：CF经过ABC的外心。初中数学竞赛培训讲义第十三讲 相似三角形 相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法，本讲即探究该问题. 一 竞赛知识回顾 1、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对
10、应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定方法 （1）三边对应成比例的两个三角形相似 （2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 （3）两组角对应相等的两个三角形相似. 3、相似三角形中几个的基本图形 4、由相似三角形得到的几个常用定理 定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. 如图，若,则,或. 定理2 平行切割定理 如图，分别是的边上的点，过点的直线交于,若,则 定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若，则 , 定理4（角平分线性质定理） 如图，分别是的内
11、角平分线与外角平分线，则.定理5 射影定理直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似.定理1 角平分线的的性质定理 二 赛题讲解1 利用相似证明角相等例1 如图，中，,是边的中点，垂足为,交于点. (1) 求证：(2) 若,求的面积.练习 在中，于点，于点，于点，求证：.2 利用相似证明线段相等例2 已知点分别在矩形的边上，分别交于点，求证：.练习 1、如图，梯形中，对角线交于点，过点作的平行线分别交于点，求证.2、如图，中，于，分别是的中点，于，求证:.3 证明比例（等积）线段例3 如图，为的两条角平分线，过点作直线分别交于点，若，求证： 例4 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与及的延长线分别交于点和，求证：练习1、如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点.求证:2、是的高线，过作的垂线，垂足为，与及的延长线分别相交于，求证：3、是的角平分线，求证：4 求线段比例5 是正方形，是的中点，联接交于，求.练习 1、梯形中，,对角线于点，若，求的值. 2、如图，在平行四边形中，过点的直线顺次与及的延长线相交于点,若求的长.5 证明线段（线段比）和差例6 如图，已知分别是和的中点，过的直线依次交于点.求证:.练习 如图，是内一点，分别与对边交于点，求证：. 6
