《江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题解析版.》由会员分享,可在线阅读,更多相关《江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题解析版.(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、江苏省无锡市2015届高三上学期期末考试数学试题一、填空题1.已知复数满足,则的模为 .2.已知集合,则 .3.已知角的终边经过点,且,则的值为 .4.根据如图所示的流程图,则输出的结果为 . 5.将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行,则本数学书相邻的概率为 .6.若一组样本数据的平均数为,则该组样本数据的方差为 .7.已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率为 .8.三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则 .9.将函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于轴对称,则的最小值是 .10.已知菱形的边长为,,点分别在边上,.若,则 .11.已知正实数
2、满足,则的最大值为 .12.已知数列的首项,前项和为,且满足,则满足的的最大值为 .13.已知点位圆外一点,圆上存在点使得,则实数的取值范围是 . 14.已知函数是定义域为的偶函数,当时,若关于的方程有且仅有个不同实数根,则实数的取值范围是 .二、解答题15.(本小题满分14分)已知向量.(1)当时,求的值;(2)设函数,当时,求的值域.16. (本小题满分14分)如图,过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开,得到截面.(1)请在木块的上表面作出过的锯线,并说明理由;(2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形,试证明:平面平面.17. (本小题满分14分)某公司生产的某批产品的
3、销售量万件(生产量与销售量相等)与促销费用万元满足(其中为正常数).已知生产该批产品还要投入成本万元(不包含促销费用),产品的销售价格定为元/件.(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;(2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?18. (本小题满分16分)已知椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,设直线的斜率分别为.(1)若时,求的值;(2)若时,证明直线过定点.19. (本小题满分16分)在数列中,已知,数列的前项和为,数列的前项和为,且满足,其中为正整数.(1)求数列的通项公式;(2)问是否存在正整数,使成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对,若不存在,请说明理由.20.
4、 (本小题满分16分)设函数在点处的切线方程为.(1)求实数及的值;(2)求证:对任意实数,函数有且仅有两个零点.附加题21、A(10分)选修4-1几何证明选讲如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CBCE。(1)证明:DE;(2)设AD不是圆O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边三角形。21、B(10分)选修4-2,矩阵与变换已知矩阵M,试求(I)矩阵M的逆矩阵M1;(II)直线y2x在矩阵M1对应的变换作用下的曲线方程。21、C(10分)选修4-4,坐标系与参数方程已知半圆C的参数方程为(I)在直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,
5、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求半圆C的极坐标方程;(II)在(I)的条件下,设T是半圆C上的一点,且OT,试写出T点的极坐标。21、D(10分)选修4-5,不等式选讲已知函数f(x)x1xa、(I)当a2时,解不等式f(x)4;(II)若不等式f(x)a恒成立,求实数a的取值范围。22、如图,抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(2,1),均在抛物线上。(I)求抛物线的方程;(II)若APB的平分线垂直于y轴,证明直线AB的斜率为定值。23、已知整数,集合的所有含有3个元素的子集记为设中所有元素之和为解析版1已知复数满足,则的模为 【答案】1【解析】试题分析:考点:复数的模2已知
6、集合,则 【答案】【解析】试题分析:因为为奇数集,所以考点:集合的交集3已知角的终边经过点,且,则的值为 【答案】10【解析】试题分析:考点:三角函数定义4根据如图所示的流程图,则输出的结果为 【答案】7【解析】试题分析:第一次循环:,第二次循环:,第三次循环:,第四次循环:,第五次循环:,第六次循环:,第七次循环:,结束循环输出考点:循环根据流程图5将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行,则本数学书相邻的概率为 【答案】【解析】试题分析:将本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行,共有种基本事件,其中本数学书相邻包含种基本事件,所以概率为考点:古典概型概率6若一组样本数据的平均数
7、为,则该组样本数据的方差为 【答案】2【解析】试题分析:由题意得,该组样本数据的方差为考点:方差7已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为,则该双曲线的离心率为 【答案】【解析】试题分析:由题意得考点:双曲线的离心率8三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则 【答案】【解析】试题分析:考点:三棱锥体积9将函数的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于轴对称,则的最小值是 【答案】【解析】试题分析:,所以向左平移个单位长度后变换为,由题意得因此的最小值是考点:三角函数图像与性质10已知菱形的边长为,,点分别在边上,.若,则 【答案】【解析】试题分析:,因为,所以考点:向量数量积11已知
8、正实数满足,则的最大值为 【答案】【解析】试题分析:,当且仅当时,取等号考点:基本不等式求最值12已知数列的首项,前项和为,且满足,则满足的的最大值为 【答案】9【解析】试题分析:由,得,两式相减得,又,所以数列为首项,公比为的等比数列,的最大值为9考点:等比数列13已知点为圆外一点,圆M上存在点T使得则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析:由题意得,所以考点:直线与圆位置关系14已知函数是定义域为的偶函数,当时,若关于的方程有且仅有个不同实数根,则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析:当时, 所以而函数是定义域为的偶函数,所以因此方程在上有两个不同的实根即,解得实数的取值范围考点
9、:函数图像,一元二次方程实根分布15已知向量.(1)当时,求的值;(2)设函数,当时,求的值域.【答案】(1)-7, (2) 【解析】试题分析:(1)由向量共线得到等量关系,求出角的正切值,再利用两角差正切公式求解: (2)先根据向量数量积,利用二倍角公式及配角公式得到三角函数关系式,再从角出发研究基本三角函数范围:试题解析:(1), 3分 6分(2) 8分 11分,的值域为 14分考点:向量平行坐标表示,三角函数性质16如图,过四棱柱形木块上底面内的一点和下底面的对角线将木块锯开,得到截面.(1)请在木块的上表面作出过的锯线,并说明理由;(2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形,试证明:平
10、面平面.【答案】(1)如图 (2)详见解析【解析】试题分析:(1)本题实质为确定截面与上底面的交线,这利用面面平行性质定理,可得交线相互平行:即由平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD,平面BDFE平面A1B1C1D1=EF,得EF/BD,又 B1B/D1D,从而EF/ B1D1 (2)证明面面垂直,一般利用其判定定理,即证线面垂直:由BDA1A,BDAC得到BD平面A1C1CA,从而平面BDFE平面A1C1CA试题解析:(1)在上底面内过点P作B1D1的平行线分别交A1D1,A1B1于F,E两点,则EF为所作的锯线. 2分在四棱柱中,侧棱B1B/D1D,B1B=D
11、1D,所以四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1/BD 4分又平面ABCD/平面A1B1C1D1,平面BDFE平面ABCD=BD,平面BDFE平面A1B1C1D1=EF,所以EF/BD,从而EF/ B1D1 7分 (2) 证明:由于四边形BB1D1D是矩形,所以BDB1B,又A1A/B1B所以BDA1A 9分又四棱柱的底面为菱形,所以BDAC因为ACA1A=A,AC平面A1C1CA, A1A 平面A1C1CA所以BD平面A1C1CA 12分因为BD平面BDFE所以平面BDFE平面A1C1CA 14分考点:面面平行性质定理,面面垂直判定定理17某公司生产的某批产品的销售量万件(生产量与销售量相
12、等)与促销费用万元满足(其中为正常数).已知生产该批产品还要投入成本万元(不包含促销费用),产品的销售价格定为元/件.(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数;(2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大?【答案】(1) (2)当时,促销费用投入2万元时,该公司的利润最大;当时,促销费用投入万元时,该公司的利润最大【解析】试题分析:(1)根据利润等于销售额减去促销费用及投入成本,列出函数关系式: 再将代入化简得 (2)利用基本不等式求最值,要注意其等号取法,本题需结合定义域进行讨论:当且仅当时,取等号.当时,促销费用投入2万元时,该公司的利润最大;当时,函数在上单调递增,促销费用投
13、入万元时,该公司的利润最大试题解析:(1)由题意得: 3分将代入化简得 5分(2) 当且仅当时,取等号 8分当时,促销费用投入2万元时,该公司的利润最大 9分当时,此时函数在上单调递增所以当时,函数在上单调递增 11分所以时,函数有最大值,即促销费用投入万元时,该公司的利润最大 12分综上,当时,促销费用投入2万元时,该公司的利润最大;当时,促销费用投入万元时,该公司的利润最大 14分考点:函数实际应用,利用基本不等式及导数求最值18已知椭圆的上顶点为,直线交椭圆于两点,设直线的斜率分别为.(1)若时,求的值;(2)若时,证明直线过定点.【答案】(1) (2)详见解析【解析】试题分析:(1)求斜率关系,通法为从坐标出发:将直线方程代入椭圆方程得:解出 从而因此(2)动直线过定点,关键研究出动直线方程中不变的量:由直线特殊情况分析可得m必为常数:由知即因此利用韦达定理代入化简:所以所以直线过定点试题解析:(1)将直线方程代入椭圆方程得: 2分解得 4分所以 6分所以 8分(2) 设将直线方程代入椭圆方程得: 10分则由知 12分化简得将代入化简得所以 14分所以直线过定点 16分考点