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1、线性代数赖宝锋 线性代数六大类考点l 行列式l 矩阵l 向量l 方程组l 特征值和特征向量l 二次型第一讲 行列式1.基础知识回顾1.行列式的定义(1)二阶与三阶行列式的对角线法则(2)阶行列式的逆序法定义即不同行不同列元素乘积的代数和。2.行列式的性质 经转置后行列式的值不变。 两行(列)互换，行列式变号。 某行(列)有公因数，可把提取到行列式之外。 某两行(列)成比例(包括相等)，行列式为0。 某行(列)的所有元素都可以写成两个数的和，则该行列式可以写成两个行列式的和。 某行(列)的倍加到另外一行(列)，行列式的值不变。3.行列式的按行(列)展开(1)余子式和代数余子式的定义设，将所在行和
2、列元素全部划去之后剩下的元素按照原来的相对顺序组成的行列式，称为的余子式，记为。为的代数余子式。(2)余子式和代数余子式的性质元素的余子式及代数余子式与元素所在行和列元素都无关。(3)行列式按行(列)展开定理(4)代数余子式的线性和(替换法则)设，则是将的第行元素依次用替换所得到的行列式，是将的第列元素依次用替换所得到的行列式。(5) 一个代数余子式线性和的重要结论设，则，。4.行列式的拉普拉斯展开(按行按列展开为其特例)(1)行列式的子式，余子式，代数余子式 设，任取的行和列，它们的交叉点元素按原相对顺序所组成的行列式，称为的一个阶子式。将该子式所在的行与列元素全部划去，剩余元素按原相对顺序
3、所组成的行列式，称为该子式的余子式。余子式乘以符号，称为代数余子式。(2)行列式的拉普拉斯展开设，则5.克莱姆法则设有方程组(*)其系数行列式为 若，则方程组(*)有唯一解，且，为的第列元素分别用常数项代替所得到的行列式。 如果，方程组(*)为齐次线性方程组，此时(*)有非零解当且仅当。2.考点分析 行列式部分重要考查知识点l 行列式的定义l 行列式的性质l 行列式的按行(列)展开l 行列式的计算l 证明l 行列式的应用3.例题解析【题型一 数值型行列式的计算】数值型行列式的求解方法(1) 逆序法 零元素很多时可以考虑(2) 初等变换法 特别是三角化(3) 按行(列)展开(4) 利用常见行列式
4、(5) 递推法 行列式有自相似结构时可以用(6) 归纳法 经常将各种方法结合起来使用。数值型行列式的重要公式l 上(下)三角行列式l 拉普拉斯展开设分别为阶和阶矩阵，则，l 范德蒙行列式l “剥洋葱”行列式例1.1 _【解答】例1.2 _【解答】爪(箭)形行列式如果，则上式对成立，然将其展开，则无需这样限制也成立。其它类型的爪形行列式类似处理。例1.3 _【解答】例1.4 _【解答】行(列)和相等型行列式行和相等型行列式，常将各列加到第一列；列和相等型行列式，常将各行加到第一行。例1.5 _【解答】例1.6 _【解答】高阶行列式的计算例1.7 _【解答】高阶行列式的计算，若有自相似结构，则常用
5、递推法。其明显有递推公式，这样，由此，若，则若，则，也适合上述公式。于是，例1.8 _【解答】三对角行列式 形如的行列式称为三对角行列式。一般的三对角行列式也不好算，不过，如下的三对角行列式可以用递归法计算：求解递归方程就可以得到。这类递归方程解法可参考本人考研预备知识小册子。例1.9 设是阶矩阵，证明：。【解答】法一 数学归纳法记，则，。设时，总有。则时，因此，对任意，都有，即。法二 直接求记，则，。特征方程为，其有两相等根。若，则显然有。若，则。由得到。这样，。 行列式中如果有未知数的幂，则展开后应该是多项式，此时可以考查下次数和零点问题。例1.10 设，则方程的根的个数为_【解答】因此，
6、的根的个数2。例1.11 若，则_【解答】因此，或或。例1.12 若，则_【解答】 矩阵的特征值为，因此，或10。【备注1.1】 以上两例实为矩阵的特征值问题，例1.12我们采用秩1矩阵特征值的结论求解。【题型二 抽象型行列式的计算】l 重要公式(1) 是阶矩阵，则(2) 若均为阶矩阵，则(3) 若为阶矩阵，则(4) 若是阶可逆矩阵，则(5) 若是矩阵的全部特征值，则(6) 若，则例1.13 为4维列向量，,，则_【解答】例1.14 设矩阵，矩阵满足，其中，为的伴随矩阵，是单位矩阵，则_【解答】，例1.15 已知为4阶矩阵，均不可逆，且的主对角线元素之和为4，求。【解答】 根据题意，均为的特征
7、值，的特征值之和为，另一个特征值为，因此，。例1.16 已知为3阶矩阵，均不可逆，是的转置矩阵，则_【解答】根据题意，的特征值为。的特征值为，因此，。例1.17 设为3阶矩阵，为线性无关的3维列向量，且，则_【解答】为可逆矩阵，因此，。例1.18 设为3维列向量，已知，则_【解答】【题型三 代数余子式的线性和问题】例1.19 ，求(1) 第3行元素代数余子式的和(2) 第4行元素余子式的和【解答】(1) 第3行元素代数余子式的和为(4) 第4行元素余子式的和【题型四 证明】证明的方法(1) 有非零解(2) 反证法，利用找矛盾(3) (4) 0是的特征值(5) 例1.20 已知为阶矩阵，满足，且，证明：。【解答】，。若可逆，则,。但，矛盾！因此，不可逆，即。例1.21 设为矩阵，为矩阵，且，证明：。【解答】，故不可逆，即。15
