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1、第八章 多元函数微分法及其应用一、偏导数的求法1、显函数的偏导数的求法在求时，应将看作常量，对求导，在求时，应将看作常量，对求导，所运用的是一元函数的求导法则与求导公式. 2、复合函数的偏导数的求法设，则，几种特殊情况：1），则2），则，3），则，3、隐函数求偏导数的求法1）一个方程的情况设是由方程唯一确定的隐函数，则 ， 或者视，由方程两边同时对求导解出.2）方程组的情况由方程组两边同时对求导解出即可.二、全微分的求法方法1：利用公式方法2：直接两边同时求微分，解出即可.其中要注意应用微分形式的不变性： 三、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法1）设空间曲线的参数方程为 ，则当时，在曲线上
2、对应点处的切线方向向量为，切线方程为 法平面方程为 2）若曲面的方程为，则在点处的法向量 ，切平面方程为 法线方程为 若曲面的方程为，则在点处的法向量，切平面方程为 法线方程为 四、多元函数极值（最值）的求法1 无条件极值的求法设函数在点的某邻域内具有二阶连续偏导数，由，解出驻点，记，.1）若，则在点处取得极值，且当时有极大值，当时有极小值.2） 若，则在点处无极值.3） 若，不能判定在点处是否取得极值.2 条件极值的求法函数在满足条件下极值的方法如下：1）化为无条件极值：若能从条件解出代入中，则使函数成为一元函数无条件的极值问题.2）拉格朗日乘数法作辅助函数，其中为参数，解方程组求出驻点坐标
3、，则驻点可能是条件极值点.3 最大值与最小值的求法若多元函数在闭区域上连续，求出函数在区域内部的驻点，计算出在这些点处的函数值，并与区域的边界上的最大（最小）值比较，最大（最小）者，就是最大（最小）值.主要:1、偏导数的求法与全微分的求法；2、空间曲线的切线及空间曲面的法平面的求法3、最大值与最小值的求法第九章 重积分积分类型计算方法二重积分平面薄片的质量质量=面密度面积（1） 利用直角坐标系X型 Y型 （2）利用极坐标系 使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含, 为实数 ) （3）利用积分区域的对称性与被积函
4、数的奇偶性当D关于y轴对称时，（关于x轴对称时，有类似结论）计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系 标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离3 确定积分次序 原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限 方法：图示法 先积一条线，后扫积分域5 计算要简便 注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分空间立体物的质量质量=密度面积(1) 利用直角坐标投影（2） 利用柱面坐标 相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标 适用范围:积分区域表面用柱面坐标表示时方程简单；如 旋转体被积函数用柱面坐标表示时变量易分离.如（3）利用球面坐标 适用范围:积分域表面用球面坐标表示时
5、方程简单;如，球体，锥体.被积函数用球面坐标表示时变量易分离. 如，（4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性第十章 曲线积分与曲面积分积分类型计算方法第一类曲线积分曲形构件的质量质量=线密度弧长参数法（转化为定积分）（1） （2） （3）平面第二类曲线积分变力沿曲线所做的功（1） 参数法（转化为定积分）（2）利用格林公式（转化为二重积分）条件：L封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D） P，Q具有一阶连续偏导数结论：应用：（3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件： 与路径无关，与起点、终点有关具有原函数（特殊路径法，偏积分法，凑微分法） （4）两类曲线积分的联系空间第二类曲线积分
6、变力沿曲线所做的功（1）参数法（转化为定积分）（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分）条件：L封闭，分段光滑，有向 P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：应用：第一类曲面积分曲面薄片的质量质量=面密度面积投影法： 投影到面类似的还有投影到面和面的公式第二类曲面积分流体流向曲面一侧的流量（1）投影法：，为的法向量与轴的夹角前侧取“+”，；后侧取“”，：，为的法向量与轴的夹角右侧取“+”，；左侧取“”，：，为的法向量与轴的夹角上侧取“+”， ；下侧取“”，（2）高斯公式 右手法则取定的侧条件：封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧 P，Q，R具有一阶连续偏导数 结论： 应用：（3）两类曲面积分之间
7、的联系转换投影法：所有类型的积分：定义：四步法分割、代替、求和、取极限；性质：对积分的范围具有可加性，具有线性；对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。第十一章 无穷级数无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质 若级数收敛,各项同乘同一常数仍收敛. 两个收敛级数的和差仍收敛.注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散.去掉、加上或改变级数有限项, 不改变其收敛性. 若级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。 推论: 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 注：收敛级数去括号后未必收敛
8、.（必要条件） 如果级数收敛, 则莱布尼茨判别法若且，则收敛则级数收敛.和都是正项级数，且.若收敛，则也收敛；若发散，则也发散.比较判别法比较判别法的极限形式和都是正项级数，且，则若,与同敛或同散;若,收敛,也收敛；如果，发散，也发散。比值判别法根值判别法是正项级数，,则时收敛；()时发散；时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数,缺项级数用比值审敛法求收敛半径的性质在收敛域上连续;在收敛域内可导，且可逐项求导;和函数在收敛域上可积分，且可逐项积分.(不变,收敛域可能变化).直接展开:泰勒级数 间接展开:六个常用展开式 收敛定理 是连续点,收敛于;是间断点,收敛于周期延拓为奇函数，正弦级数
9、，奇延拓；为偶函数，余弦级数、偶延拓.交错级数第十二章 微分方程解微分方程时，先要判断一下方程是属于什么类型，然后按所属类型的相应解法求出其通解.一阶微分方程的解法小结：方程编号类 型一 般 形 式解 法备 注1型可分离变量方程或分离变量法有些方程作代换后可化为1型2型齐次方程或令为1型求解有时方程写成令化为1型求解3型线性方程或1 常数变易法2 凑导数法：同乘有时方程不是关于线性方程，而是关于线性方程4型贝努里方程或令或化为3型求解有时方程不是关于的贝努里方程，而是关于贝努里方程5型全微分方程其中 为原函数有时乘以一个积分因子可化为5型 二阶微分方程的解法小结：类 型特 征 求 解 方 法 备 注缺次积分 求解见上册缺令，降为一阶方程降价后是关于p，的一阶方程缺令，降为一阶方程降价后是关于,y的一阶方程常系数通解见下表 齐次方程的通解为：判别式两特征根情况通 解相异实根，二重实根共轭复根非齐次方程的特解的形式为：的形式特征根情况的形式不是特征根是重特征根不是特征根是特征根
