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1、齐齐哈尔大学毕业设计（论文）摘 要条件极值问题是一个非常普通的数学问题，它不仅在理论上有重要的作用，而且在其他学科及有关实际问题中有着广泛的应用.本文首先介绍了极值的相关理论；然后对求解条件极值的方法做了详细的归纳与总结，从中得到不同的条件极值问题可以有不同的求解方法，如有些问题可以通过变形转化为均值不等式或柯西不等式的形式进行求解. 对于二元二次函数的条件极值问题，有时可以借助二次曲线的图像进行求解. 而在求多个限制条件下的极值问题时，一般考虑用拉格朗日乘数法和梯度法；最后通过一些实例研究了条件极值在物理学、不等式证明、渠道设计及最优销售方案等实际问题中的应用.关键词：条件极值；拉格朗日乘数
2、法；梯度法AbstractConditional extremum problem is a very common Mathematical problems, it not only plays an important role in theory, but also has a wide application in other subjects and the related regions. In this paper, we first introduce the related theory of extremum. Then we give a detailed induct
3、ion and summary which is the metheds of solving conditional extremum, for different conditional extremum problems can have different solving. Such as some problems can be solved through transformation of Mean Value Inequality or Cauchy Inequality. Sometimes conditional extremum problems of binary qu
4、adratic function is solved depending on image of quadratic carve. We generally used Lagrangian Multipliers and Gradient Method to solve extremum problems of multiple constraints. Finally we study the applications of conditional extremum in physics, inequality proof, channel design and optimal sale p
5、lan and other practical problems through examples.Key words: Conditional extremum; Lagrangian Multipliers; Gradient Method 不要删除行尾的分节符，此行不会被打印- II -目 录摘要IAbstractII绪论1第1章 基础知识21.1 隐函数的概念21.2 隐函数定理21.3 极值31.3.1 无条件极值31.3.2 条件极值4第2章 条件极值的解法52.1 拉格朗日乘数法52.2 不等式法102.2.1 均值不等式102.2.2 柯西不等式112.3 梯度法132.4 三
6、角函数法152.5 对称函数法162.6 数形结合法172.7 比较法17第3章 条件极值的应用203.1 在物理学中的应用203.2 在不等式证明中的应用213.3 在渠道设计中的应用213.4 在生产销售中的应用223.4.1 生产成本最小化方案233.4.2 利润最大化方案23结论26参考文献27致谢28千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行绪 论条件极值问题是一类应用较强的问题，现实生活中诸多问题均可转化为条件极值问题进行研究. 拉格朗日乘数法是解决条件极值问题的一种重要方法，
7、对拉格朗日乘数法的研究可以为相关理论应用到集值分析、优化等领域奠定理论基础. 另一方面，对条件极值问题解法的研究为我们运用数学知识解决实际问题（如工农业生产、经济管理）提供了理论依据与工具，使许多实际问题找到一个最优的解决方案. 同时对解法适用情形的分析可以提高我们解决实际问题的效率. 由此可见，条件极值问题的研究具有极高的理论与应用价值，同时对数学和其它学科的发展也起着至关重要的作用.国内外，有许多学者在研究条件极值，取得了丰硕的成果. 在国内，2000年，王延源1阐述了解决条件极值问题的几种有效方法. 2003年，查中伟2介绍了在生产中利用条件极值理论的经济意义. 2009年，侯亚红3通过
8、例题详细介绍了判定多元函数条件极值的几种方法. 2010年，赵德勤、殷明4讨论了如何用构建函数条件极值的方法证明不等式. 2011年，孙海元、孙永妃5结合具体实例介绍了几种特殊的求解条件极值问题的方法，并给出了各方法的适用范围.在国外，2000年，E.M.Safro6介绍了条件极值理论在最优化方面的相关应用. 2007年，Karamzin与D.Yu7讨论了条件极值的必要条件在优化领域中的应用. 2008年，Tikhomirov8简单地叙述了解决条件极值问题的几种常见方法. 2011年，V.A.Samgin9阐述了如何求解在一定条件下的极值问题.本文主要研究条件极值及其应用. 第一章对条件极值的
9、理论作简单的介绍，为下文奠定理论基础. 第二章重点对条件极值的解法进行探讨，本部分将结合具体实例，采用由易到难，归纳总结的方法. 针对不同问题的特点给出求不同类型条件极值问题的常用方法，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并通过对方法的比较研究，总结各方法的优缺点与适用范围. 第三章主要阐述如何应用函数的条件极值理论解决一些实际问题，分别介绍条件极值在数学、物理学等学科中的应用，及在优化方面的实际应用.第1章 基础知识1.1 隐函数的概念隐函数是表示函数变量间对应关系的一种方法，它与我们平时接触的函数有所区别，也就是对应关系不明显地隐含在方程中. 由于隐函
10、数在条件极值问题中占有非常重要的地位，因此，这一节将简略地介绍隐函数的相关概念.定义1.110 设有两个非空数集与. 若，由二元方程对应唯一一个，则称此对应关系（或写成）是二元方程确定的隐函数.例如，二元方程在上确定一个隐函数.类似地将二元方程所确定的隐函数推广到含个变量的方程中.若存在点的邻域，通过上面的方程存在唯一一个与之对应，假设，则有就可称元函数是由方程确定的隐函数.1.2 隐函数定理在上一节中介绍了隐函数的概念，那么给定一个方程，满足什么条件时，此方程才存在隐函数呢？在本节我们将继续讨论隐函数的存在性.定理1.111 若二元函数在以点为心的矩形区域（边界平行坐标轴）满足下列条件：1)
11、 与在连续(从而在连续)，2) ，3) ，则 ) 与，存在唯一一个(隐函数)，使，且) 在区间连续.) 在区间有连续导数，且其中，我们用、表示关于、的偏导数，也可简记为、.类似地，我们可以推出由方程所确定的含有个自变量的隐函数.定理1.211 若函数在以点为心的矩形区域满足下列条件：) ,在连续(从而在连续)，) ，) ，则存在点的邻域，在内存在唯一一个有连续偏导数的元(隐)函数，使且 1.3 极值极值的概念源自于日常生活中的最值问题，可根据自变量是否受到其它条件的限制，把条件极值问题分为无条件极值与条件极值两类. 本节我们将分别介绍无条件极值与条件极值的基础知识.1.3.1 无条件极值定义1
12、.212 设元数值函数在点邻域有定义. 如果存在，使得, 那么我们就说函数在点取得极小值(极大值). 极小值和极大值统称极值.1.3.2 条件极值然而在计算函数的极值时，所求函数的自变量往往要受到一些条件的限制. 如求曲面与原点的距离时，就可转化为求函数的最小值，而其中的自变量、并不是独立存在的，要满足这一条件，这种问题称为条件极值问题.定义1.313 实值函数在满足以下函数方程组 (1-1)的极值称为条件极值. 式(1-1)称为函数的约束条件，函数常称为约束条件下极值问题的目标函数.第2章 条件极值的解法条件极值的求解方法有很多种，本章采用结合具体例子的方法，归纳总结出几种求解条件极值的方法
13、，如拉格朗日乘数法、不等式法、梯度法、三角函数法、对称函数法、数形结合法. 并比较得出各方法的难易程度、适用条件以及注意事项.2.1 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解条件极值问题时常用的方法. 我们先从最简形式的二元函数说起，即求目标函数在约束条件下取得极值，如果目标函数在取到极值，那么就应该满足. 若、在的某领域内都有一阶连续偏导数，且，根据满足隐函数存在的条件,可设由方程所确定的隐函数是，则点成为函数的极限点，因此有根据隐函数的求导公式可得则有即，故由此可见，向量与向量正交，而向量与向量也正交，可得向量与向量相性相关，故可知存在实数，使得即 由以上的讨论我们可以得出，函数在约束条件下的条
14、件极值点是以下方程组的解.由上述讨论产生一个重要的思想：通过引入辅助函数的方法，把条件极值的相关问题转化为关于所构建函数的一般极值问题.对目标函数和约束函数，我们可以引入辅助函数上述函数称为拉格朗日函数，称为拉格朗日乘数.定理2.114 设，在以点为内点的区域内连续可微，是满足条件且使函数取得极值的点，若矩阵的秩为，则存在个常数，可使是拉格朗日函数的稳定点，则为以下个方程组的解 (2-1)以上求解条件极值的方法称为拉格朗日乘数法，用它求解条件极值问题的一般步骤是：1) 根据上述拉格朗日乘数法，构建辅助函数2) 求辅助函数的稳定点，即方程(2-1)的解. 设解是，在求解的过程中可以消去，从而求得满足方程组的稳定点.3) 根据问题的实际意义，如果条件极值存在，且方程组只有唯一的一个稳定点，则该点一定是函数的极值点.例2.1抛物面被平面截得一椭圆，求该椭圆上的点与坐标原点的最短和最长距离.解 本问题实际为求函数在约束条件，下的最值问题.根据拉格朗日乘数法，构建函数其中、为参数，令函数的每个一阶导数均为. 即前两个方程作差，可求得，那么或. 如果，则可知，不满足方程组. 所以，把代入方程组中，得解出两个稳定点为和. 根据本题的实际意义可知，必存在最短距离与最长距离，所以上述两点即为所求的极值点，从而求得距离函数的最小值和最大值.在应用拉
