《同济第三版-高数-(76) 第六节 旋转曲面与二次曲面.》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济第三版-高数-(76) 第六节 旋转曲面与二次曲面.（64页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 曲面可看成是动点按一定规律运动形成的曲面可看成是动点按一定规律运动形成的 图形。由于建立了点和有序数组的图形。由于建立了点和有序数组的“ “1-11-1”对对 应关系，可进一步建立曲面与方程的应关系，可进一步建立曲面与方程的“ “1-11-1” ” 对应关系对应关系, ,由此便由此便可通过方程的讨论来研究曲可通过方程的讨论来研究曲 面性质。面性质。 (1)(1) 经典观念经典观念 经典的几何观念将“面”看成是立体与立体的公共 部分，“线”看成是面与面的公共部分。 按照这种观念，曲线方程可通过联立曲面方程，并 由相应的方程组来讨论曲线。这对于 较为简单的曲线，讨论起来相对方便， 如直线、圆锥曲
2、线等，但如果所论曲 线较复杂，按这种观念考察则会产生 困难，讨论起来也不尽方便。 (2)(2) 轨迹观念轨迹观念 轨迹观念是由近代对质点运动的研究产生的对图形 的认识，这种认识是将“曲面”和“曲线”看成是动点 运动形成的轨迹。 按照这种观念，曲线和曲面的方程可通过将运动 轨迹转化为相应的代数形式来讨论。 这种观念对曲线的讨论常较为方便， 但对于曲面的研究则不尽然。因 此轨迹法主要用于讨论曲线。 对于曲面讨论较方便的方法是将曲面看成是给定 曲线按一方式运动形成的图形。 根据这种观念，常可较方便地 由曲线方程导出曲面方程，但这种 观念缺乏一般性，通常仅用于讨 论一些特殊的曲面，如旋转曲面 、柱面等
3、。 (3)(3) 动曲线观念动曲线观念 由一条平面曲线 C 绕该平面内的一条直线 L 旋转一 周而成的曲面 称为旋转曲面。直线 L 称为旋转曲面 的旋转轴，曲线 C 称为旋转曲面的母线。 (1)(1) 旋转曲面的概念旋转曲面的概念 (2)(2) 旋转曲面方程的推导旋转曲面方程的推导 设有 yOz 平面上的曲线 试确定 C 绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面 的方程。 由曲面与方程的对应关系 的讨论知，建立曲面 方程应分两步 进行，即先考虑所论曲面 上的点 坐标所满足的方程 F( x ,y ,z )= 0 的形式，再考察坐标所满足该方程 的点是否都在所论曲面 上。 设 M( x ,y ,z )为旋转
4、曲面 上的任意一点，考虑点 M 所满足的方程。 考察点 M( x ,y ,z ) 坐标满足的方程，应考 虑将点 M 与已知条件 发生联系。 由于旋转曲面 是 曲线 C 绕 y 轴旋转而得 的，故考虑建立点 M 的 坐标与母线 C 的联系。 旋旋转转转转曲面曲面 上的点所上的点所满满满满足的方程足的方程 过点 M 作垂直于 y 轴的平面交曲线 C 于点 M ，交 y 轴于点 P 分别设点 M , P 坐标为 M ( 0 ,y ,z ), P( 0 ,y ,0 ). 由旋转曲 面的性质知 考虑将此几何关系转化为代数条件。 由于 M ( 0 ,y ,z )是曲线 C 上的点 ，故其坐标满足 C 的方
5、程，即有 f( y ,z )= 0 . 将导出的坐标关系式代入该方程便得点 M( x ,y ,z ) 的坐标满足的方程为 设 M( x ,y ,z )为坐标满足方程 的任意一点，考察点 M 是否在旋转曲面 上。 要说明点 M 在 上，可将点 M 绕 y 轴旋转，看其 是否能转至曲线 C 上。 过点 M 作垂直于 y 轴的平面交 y 轴于 点 P，将点 M 在该平 面内绕点 P 旋转至 yOz 平面得点 M 坐坐标满标满标满标满 足足导导导导出方程的点在旋出方程的点在旋转转转转曲面曲面 上上 设点 M , P 坐标分别为 M ( 0 ,y ,z ), P ( 0 ,y ,0 ), 由 M 至 M
6、 的旋转过程知 故点 M ( 0 ,y ,z )的 坐标满足曲线 C 的方程 因此点 M ( 0 ,y ,z )在曲线 C 上。由于点 M 是点 M 绕 y 轴旋转而得的点，故可知点 M 在旋转曲面 上。 由上讨论讨论 求得旋转转曲面 的方程为为： 方方 程程 转转 化化 规规 则则 绕轴 y 旋转一周，y 不变， 由上旋转曲面方程的推导可见，旋转曲面的方程不 仅具有明显的代数形式特点，且旋转曲面方程与相应的 母线方程在形式上也有着密切的联系。因此，旋转曲面 的讨论主要涉及两个方面的基本问题： 对于给定的母线方程及旋转轴， 如何写出相应的旋转曲面方程。 对于给定的曲面方程，如何 判别其是否为旋
7、转曲面及相 应的母线及旋转轴。 (1)(1) 由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程 母母线为线为线为线为 yozyoz 平面上的曲平面上的曲线线线线 绕 z 轴旋转，z 不变 绕 y 轴旋转，y 不变 母母线为线为线为线为 xozxoz 平面上的曲平面上的曲线线线线 绕 z 轴旋转，z 不变 绕 x 轴旋转，x 不变 母母线为线为线为线为 xoyxoy 平面上的曲平面上的曲线线线线 绕 y 轴旋转，y 不变 绕 x 轴旋转，x 不变 (2)(2) 由方程判别曲面是否为旋转曲面由方程判别曲面是否为旋转曲面 此处主要考虑简单旋转曲面的判别，即母线为坐标 面上的曲
8、线，旋转轴为坐标轴的情形。对于这类旋转曲 面的判别关键是考察方程中的变量形式及系数。 对于给定的曲面方程形式 :F( x ,y ,z )= 0 ，若其 有两个变量为二次幂且它们的系数相同，则可判别其为 旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0 的方程所表示的就是旋转曲面。 判别方程是否表示旋转曲面的基 本原理依然是截口法原理，只是将这 一原理转化为相应的代数运算。 对方程 f( y ,z 2 + x 2 )= 0，判别的代数运算过程为 令 y = k，相当于用平行于 xOz 坐标面的平面与曲面相 截，截口方程可化为 z 2 + x 2 = g( k )的形式，它是 y =
9、 k 平面上的圆，因而该曲面可认为是由 yOz 或 xOy 平面 上的曲线绕 y 轴旋转而成的旋转曲面。 (1)(1) 圆锥面的定义圆锥面的定义 圆锥面是一类特殊旋转 曲面，它是由一条直线 L 绕 另一条与之相交的直线旋转 一周所得的旋转曲面。 两直线的交点叫做圆锥 面的顶点，两直线的交角 叫做圆锥面的半顶角。 (2)(2) 圆锥面方程的推导圆锥面方程的推导 为讨论简单化，仅考 虑顶点在原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥 面方程。 为直观起见，可认为 所求圆锥面是由 yOz 平面 上的直线 L: z = y cot 绕 z 轴旋转一周而成的。 由旋转曲面方程规则 直线 L: z = y
10、cot ，绕 z 轴旋转一周而成的旋转曲 面 的方程满足 z 不变， 于是可写出其方程为 令 cot 2 = a，则有 例：将 xOz 平面上的曲线 分别绕 x 轴、z 轴 旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。 母线方程：xOz 平面上的曲线 绕绕绕绕 x x 轴轴轴轴旋旋转转转转所得旋所得旋转转转转曲面方曲面方 程程 按方程按方程转转转转化化规则规则规则规则 写出按旋写出按旋转转转转曲面方程曲面方程 绕 x 轴旋转，x 不变 母线方程：xOz 平面上的曲线 绕绕绕绕 z z 轴轴轴轴旋旋转转转转所得旋所得旋转转转转曲面方曲面方 程程 绕 z 轴旋转，z 不变 用动曲线形成曲面的观
11、点来研究曲面确实可较方便 地讨论某些曲面，但这种方法缺乏一般性，因为并非任 何曲面都可看成是由曲面运动形成的。作为曲面研究的 一般方法还是依据曲面与方程的对应 关系，即通过方程来讨论曲面性质。 通过方程讨论曲面性质既可通 过截痕法研究曲面的几何性质，也 可由已知曲面导出未知曲面性质。 (1)(1) 用归纳法定义曲面用归纳法定义曲面 曲面总对应于三元 F( x ,y , z )= 0，为讨论方便而 不失一般性，可讨论较简单的情形，即三元二次方程所 对应的曲面，称之为二次曲面。 三元二次方程的一般形式为 Ax 2 + By 2 + C z 2 + D x y + E x z + F y z + G
12、 x + H y + I z + J = 0 . 通过不改变图形形状的坐标变换(正交变换)可消去 方程中的乘积项使其化为如下形式 A x 2 + B y 2 + C z 2 + G x + H y + I z + J = 0 . 下就此方程中系数的不同情形讨论曲面性质。 (2)(2) 二次曲面的一般概念二次曲面的一般概念 (3)(3) 已知方程确定曲面图形的方法已知方程确定曲面图形的方法 已知曲面方程 F( x ,y ,z )= 0，如何讨论并确定方 程所表示的图形及其性质呢？ 由于三元方程所表示的图形一般是空间图形，而描 绘空间图形却只能在平面上进行。因此，讨论方程所表 示的空间图形通常采用
13、“截口法”， 即用一些特殊平面与所论曲面相 截，通过对截口曲线形状的研究 来了解曲面形状。 (1)(1) 椭圆锥面椭圆锥面 椭圆锥面的归纳定义为 考虑用截痕讨论该曲面的形状。 用垂直于 z 轴的平面 z = t 与此曲面相截，考察相应 截痕的形状： 当 t = 0 时，得一点 O( x ,y , z )； 当 t 0 时，得 z = t 平面上的椭圆 (2)(2) 椭球面椭球面 椭球面的归纳定义为: 容易看出，若 a = b，则该曲面就是旋转椭球面， 由旋转曲面讨论知，该旋转椭球面可看成是由 xOz 平面上的椭圆 绕 z 轴旋转一周而成的。 当 a b 时，相应的曲面与该旋转椭球面相差不大 ,
14、 只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此只需将该旋转椭球面 沿 y 轴方向伸缩 b/a 倍即可。 单叶双曲面的归纳定义为: 易看出，若 a = b，则该曲面就是单叶旋转双曲面 由旋转曲面讨论知，该单叶旋转双曲面可看成是由 xOz平面上的双曲线 绕 z 轴旋转一周而成。 当 a b 时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差 不大，只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此只需将该单叶 旋转双曲面沿 y 轴方向伸缩 b/a 倍即可。 (3)(3) 单叶双曲面单叶双曲面 双叶双曲面的归纳定义为: 易看出，若 b = c，则该曲面就是双叶旋转双曲面 由旋转曲面讨论知，该双叶旋转双曲面可看成是由 xOz平面上的双曲线
15、绕 x 轴旋转一周而成。 当 b c 时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差 不大，只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此只需将该单叶 旋转双曲面沿 y 轴方向伸缩 b/c 倍即可。 (4)(4) 双叶双曲面双叶双曲面 椭圆抛物面的归纳定义为: 考虑用截痕讨论该曲面的形状。 用垂直于 z 轴的平面 z = t 与此曲面相截，考察相应 截痕的形状： 当 t = 0 时，截得一点 O( x ,y , z )； 当 t 0 时，得 z = t 平面上的椭圆 当 t 0 时，截痕为 xOy 平面上方的平面 z = t 上以 平行于 x 轴的直线为虚轴，以平行于 y 轴的直线为实轴 的双曲线 当 t 0 时，即截面在 xOy 平面上方时，双曲线的 实轴沿 y 轴方向，虚轴沿 x 轴方向。 当 k 0 时，即截面在 xOy 平面下方时，双曲线的 实轴沿 x 轴方向，虚轴沿 y 轴方向。 令 y = k，联立方程有 研究截口形状： 曲面截口为平 面 y = k 上以平行于 z 轴的直线为对称 轴，开口向下的抛 物线。 用平行于用平行于 xOzxOz 坐坐标标标标面的平面与曲面相截面的平面与曲面相截 用平行于用平行于 yOzyOz 坐坐标标标标面的平面与曲面相截面的平面与曲面相截 令 x = k，联立方程有 研究截口形状： 曲面截口为平面 x = k 上以
