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1、一、复习积分公式(22个) 幂2个 指2个 三角10个 有理式4个 无理式4个 1 二、复习积分方法 1.直接积分法：(恒等变形后用公式) 2.换元积分法： 第一类换元法(也称凑微分法) : 第二类换元法: (易积) (易积) 问题： ？ dx 令 d 2 第三节 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 分部积分法 第四章 化难为易 注： 1.左端的被积表达式为两部分;右端为两部分. 2.公式的作用： 3 例1. 求积分 解（一）令 显然, 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令 注意： 应合理地选取u和dv， 使 du 比 dv易求. 4 例2. 求积分 解: 1) v 容易求得 ; 容易计
2、算 . 注：可连续使用分部积分法. 经验1:可设幂函数= 5 ？ 分析: 例3. 解 : 6 例4. 分析: ？ 解: 7 经验2:可设对数(反三角)= 例5. 解: u v 熟悉以后,可以去掉假设u,dv的过程,只要记在心中即可. 8 把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 用分部积分法解题技巧: 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 dx 例6 . 解: u v 经验1:可设幂函数= 经验2:可设对数(反三角)= 9 解: dx 例7. d dx dx 10 例8. 解: 11 例9. 把类似于解方程求积分的方法(有
3、区别), 叫回归法. 解: 说明: 也可设为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 12 例10. 求 解: 13 例11. 证明所满足的递推公式 证明: 14 说明:分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 15 揉合在一起使用； 实际解题中，往往是第一、第二换元法与分部积分法 例12. 解: 令 原式 先换元后分部 16 例13. 求 解： 则 故 (先换元,再分部) 17 解： (先换元,再
4、分部) 令则 18 例15. 已知 解： 由已知 说明: 此题若先求出再求积分反而复杂. 19 解： 例16. 例17. 解： 20 内容小结 分部积分公式： 1. 使用原则 : 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 递推公式. 4. 计算格式 : 21 多次分部积分的规律 快速计算表格: 特别: 当 u 为 n 次多项式时,计算大为简便 . 22 例18. 求 解： 原式 原式 = 23 思考与练习下述运算错在哪里? 应如何改正? 得 0 = 1 答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 . 作业:P212T 3,5,8,10,12,14,16,18, 20,21,24 . 预习：P213-218 24
