《应用统计学4讲解》由会员分享,可在线阅读,更多相关《应用统计学4讲解(100页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 假设检验 第一节 假设检验的原理 一假设检验的意义 抽样推断 假设检验 参数估计 假设检验: 先假设后抽样 判断先前假设成立与否 参数估计: 先抽样后推断 假设检验就是通过收集样本 数据,利用样本数据对总体进行 验证或者比较。 例如: 先假设 (原假设、零假设 ),本班平均身高 然后抽样 ,样本平均身高 若 , ,若发生,差异 显著,否定 二假设检验的基本思想 已知,原假设 进行讨论。显然,在成立 下面就以正态总体方差 为例 下,有: 为引入统计量及其分布,将 进行标准化处理,得: 于是,对于给定的小概率 由标准正态分布分位点的定义得, , 这就确定临界值 即得 与此等价的是: 。 从
2、上式出发,一方面可以定 出偏差限 另一方面,可以清楚地看到,对 于一次试验来讲,事件 , 发生的可能性是事先给定的小 概率。 按照小概率事件的本意,在 一次试验中是不易发生的。如果 一次试验的结果确实使上式发生 了,则这是与概率论的基本原理 相违背的。因而有理由怀疑 的正确性,从而拒绝 。 在假设检验中称为显著性水平 。 假设检验的基本思想: 先对总体的参数或分布 函数的表达式做出某种假设 ,然后找出一个在假设成立 条件下出现可能性甚小的( 条件)小概率事件。 如果试验或抽样的结果使该 小概率事件出现了,这与小 概率原理相违背,表明原来 的假设有问题,应予以否定 ,即拒绝这个假设。 若该小概率
3、事件在一次试验或 抽样中并未出现,就没有理由 否定这个假设,表明试验或抽 样结果支持这个假设,这时称 假设与实验结果是相容的,或 者说可以接受原来的假设。 【例】某保险公司投保人的平均 年龄服从正态分布N(40,25) 。今从投保人中随机抽取36人 ,计算出此36人的平均年龄为 38岁,问投保人的平均年龄是 否真的是40岁? 假设检验示意图 第二节 假设检验的基本概念 一.假设检验中的两类错误 对 拒绝接受 总体真实情况的判断 为真犯弃真(第一类) 错误 正常 不真正常犯取伪(第二类) 错误 假设检验的两类错误: 弃真:原假设为真,但结果检 验拒绝了原假设,称为第一类错 误,犯这种错误的概率为
4、; 取伪:原假设为假,但结果检 验接收了原假设,称为第二类错 误,犯这种错误的概率为; 在实际检验中,应该使、 都很小,但通常是有限度的。一般 情况下,当样本容量固定时,减小 就会导致增大, 减小就会 导致 增大,除非增大样本容量。 通常我们只对犯第一类错误的概率 加以限制,而不考虑犯第二类错 误的概率,这种假设检验称为显著 性检验。 二、显著性水平的确定 三、原假设与备择假设的选择 1.原假设一般代表一种久已存在 的状态,而备择假设则反映改变. 2.样本观测值显示所支持的结论 应作为备择假设. 3.应当尽量使后果严重的错误成 为第一类错误. 四.关于单边和双边假设检验 的说明 在显著性水平下
5、,检验假设 称形如【1】的假设检验为 双边假设检验。 【1 】 需要检验假设 形如【2】的假设检验,称为 右边检验。 形如【3】的假设检验,称为 左边检验。 【3】 【2】 上述三种假设检验的问题,下面给出相关的示意图。 检验问题图 形 提出假设进行判断 原假 设 备择 假设 拒绝接受 有否 显著差异 双边 是否大于 右边 是否小于 左边 例2 某工厂生产的固体燃料推进器 的燃烧率服从正态分布 , 40cm/s, 现在用新方法生产了一批推进器。 从中随机取n=25只,测得燃烧率的 样本均值为 =41.25cm/s。 2cm/s。 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s, 问这批推进器的燃烧率是否
6、较以 往生产的推进器的燃烧率有显著的 提高?取显著性水平0.05。 解:按题意需检验假设 (即假设新方法没有提高燃烧率) (即假设新方法提高了燃烧率) 右侧检验 这是右边检验问题,其拒绝域如 式所示,即为 而现在 , 的值落在拒绝域中。 【2】 所以我们在显著性水平0.05下 率较以往生产的有显著的提高。 拒绝 ,即认为这批推进器的燃烧 五、假设检验的步骤 (一)根据具体问题, 提出原 假设 及备择设 ; 一般把问题陈述的否定作为原一般把问题陈述的否定作为原 假设,而把陈述本身作为备择假设,而把陈述本身作为备择 假设;假设; (二) 确定检验统计量; (三)根据所要求的显著性水平 查概率分布临
7、界值表,确定 临界值与拒绝域; (四)计算出该统计量的值,若 该值落入拒绝域,则拒绝原假设 ,否则接受原假设 第三节 关于总体均值与方差 的假设检验 一、单个正态总体均值的假设检验 1 已知,关于的检验 检验用统计量 拒绝域 ( 检验) 例3 已知某厂使用自动包装机包装 药品,按设计要求,每袋药品的重量 。 今在一天生产的药品中,抽样8袋测 得重量(单位:毫克):152.2, 147.0,150.5,154.4,153.6, 155.9,149.8,148.6。在显著性水 平 0.05下,试问这一天包 装机工作是否正常? 解:包装机工作正常与否主要 看这一天生产的药品平均重量 与 著差异。故本
8、题是关于均值的 显著性检验问题。 150(毫克)是否有显 提出假设 , 双侧检验 选择检验用统计量并建立拒绝域 由于题设中 为已知,故检验用 统计量为: 由 0.05,查标准正态分布表 得临界值 于是,拒绝域为 。 计算统计量观测值 经计算得:151.5,又已知 150,4,8,故 做出统计判断 因为 ,所以拒绝 , 这就是说这一天生产的药品平均重量 与 包装机工作不正常。 有显著差异,从而认为 例:某厂商声称其新开发的合 成钓鱼线的强度服从正态分布 ,且平均强度为8千克,标准差 为0.5千克。现从中随机抽出50 条该种钓鱼线,测试结果是平 均强度为7.8千克,问:能否接 收该厂商的声称?(=
9、0.01) 双侧检验 例:某厂商声称其新开发的合成钓 鱼线的强度服从正态分布,且平均 强度为8千克,标准差为0.5千克。 现从中随机抽出50条该种钓鱼线, 测试结果是平均强度为7.8千克, 问:测试能否说明新钓鱼线的平均 强度低于该厂商的声称? (=0.01) 左侧检验 2 未知,关于 的检验 ( 检验) 作为检验 采用 统计量。 拒绝域: 例4 某食品厂生产一种罐头, 今在某天生产的一批罐头中随 机地抽测五个,记录每个罐头 中所含防腐剂的重量(单位: 毫克)为:1.95,1.73,2.03 ,1.81,1.79。 假定这一天生产的罐头中防腐 剂含量,( 为未知参数)的假定下,采用 这一天生产
10、的罐头中含防腐剂 含量是否合格? 0.10的显著性水平。试问 解:提出假设 , 选择检验用统计量并建立拒 绝域 由于题设中 为未知, 故检验用统计量为: 双侧检验 由 0.10,查 分布表 得临界值 于是,拒绝域为 即 , 计算统计量观测值 经计算得: 又已知 , 故 。 做出判断 因为 ,所以拒绝 这就是说这一天生产的罐头中 防腐剂含量是不合格的。 , 例5 某种电子元件的寿命 (以 小时计)服从正态分布, 、 均未知。现测得16只元件的寿命如 下:159,280,101,212,224,379 ,179,264,222,362,168,250, 149,260,485,170 问是否有理由
11、认为元件的平均寿命 大于225(小时)? 右侧检验 解:按题意需检验 , 取 问题,且 检验问题的拒绝域为 0.05,由于是右边检验 未知,则由表7-2知此 现在 , 又算得 , 即有: , 不落在拒绝域中,故接受 不大于225小时。 ,即认为元件的平均寿命 例:某乡统计员报告,其所在乡 平均每户农民的家庭年收入为 5000元。为核实其说法,县统计 局从该乡随机抽取25户家庭,计 算得到平均年收入为4650元,标 准差为150元,假设农民年收入 服从正态分布,请问该乡统计员 的说法是否正确?(=0.05) 双侧检验 例:某乡统计员报告,其所在乡 平均每户农民的家庭年收入为 5000元。为核实其
12、说法,县统计 局从该乡随机抽取25户家庭,计 算得到平均年收入为4650元,标 准差为150元,假设农民年收入 服从正态分布,请问该乡农民年 收入是否比该乡统计员所说的低 ?(=0.05) 左侧检验 例:某食品厂商担心500克的切 片罐头装得太满。为了打消食品 厂商的顾虑,质检部门随机抽查 了50罐这种罐头,测定罐头平均 重量为510克,样本标准差为8克 。问:该食品厂商的担心是否属 实?(=0.05) 右侧检验 二、单一正态总体方差的假设 检验 未知,关于的检验 ( 检验) 检验用的统计量 1、 拒绝域为: 方差的检验 例:某食品商加工一批咖啡罐头 ,罐头的重量服从正态分布,按 规定,重量的
13、方差不能超过3。 现随机抽出15个罐头称其重量, 测得样本方差为3.5。问这批罐 头重量的方差是否偏大 (=0.05) 右侧检验 例6 某厂生产的某种型号的电 池,其寿命长期以来服从方差 5000( ) 的正态分布,现有一批这种电 池,从它的生产情况来看,寿 命的波动性有所变化。 现随机取26只电池,测出其寿 命的样本方差9200 ( )。试问根据这一数 据能否推断这批电池寿命的 波动性较以往的有显著的变 化(取0.02)? 双侧检验 解:由题设知 , 本题要求在水平 验假设 由于 计量为: 0.02下检 未知,故选择检验统 查 分布表得左、右临界 于是,拒绝域为 由观察值9200,得 , 值
14、为: 所以拒绝 池寿命的波动性较以往的有显 著的变化。 ,认为这批电 三、双正态总体均值差的 假设检验 例:某厂某原料来自甲、乙两个厂 家,根据过去的经验,甲乙两个厂 家的原料均服从方差为10的正态分 布。为了估计这两个厂家该原料的 差异,从甲厂家随机抽取了25个样 品,从乙厂家抽取了16个样品,测 试结果甲厂家原料的平均重量为22 千克,乙厂家原料的平均重量为20 千克,问甲乙两个厂家该原料重量 的差别是否明显?(=0.05) 双侧检验 例:为调查某市远郊和近郊地区农民 的年末手存现金之间的差异,从近郊 和远郊地区各自独立随机抽取了样本 容量都是50的两个样本,计算得到近 郊地区农民平均每户
15、手存现金为650元 ,标准差为120元, 远郊地区农民平 均每户手存现金为480元, 标准差为 106元, 问两地区农民平均手存现金 是否存在差异?(=0.05) 双侧检验 例:某厂某原料来自甲、乙两个厂家 ,根据过去的经验,甲乙两个厂家的 原料均服从正态分布,且方差相等。为 了估计这两个厂家该原料的差异,从 甲厂家随机抽取了25个样品,从乙厂 家抽取了16个样品,测试结果甲厂家 原料的平均重量为22千克,样本方差 为9,乙厂家原料的平均重量为20千克 ,方差为8。问甲厂家该原料重量是否 比乙厂家的重?(=0.05) 右侧检验 四、总体成数的假设检验 总体比率的假设检验 例:某电视台声称其每日
16、“晚间 新闻”栏目的收视率超过70%。 为证实这种说法,随机抽取了 400人进行调查,结果表明有 71.2%的人观看此节目,该电视 台的说法是否可靠?(=0.05) 右侧检验 例7 一项调查结果声称某 市老年人口比重14.7,该 市老年人口研究会为了检验 该项调查是否可靠,随机抽 选了400名居民,发现其中 有57人年龄在65岁以上。 调查结果是否支持该市老年人口 比重为14.7的看法?(取 0.05) 解:提出假设 , 由 表得临界值 0.05,查标准正态分布 双侧检验 计算统计量观测值: 经计算得: 又已知 故 因为 ( 值落在接 受区域内),所以,接受 可以认为调查结果支持该市老年人 口比重为14.7的看法。 ,即 五、双总体比率差的假设检验 两个总体比例之差的比较 例:某调查机构认为城市居民对 某项政策的赞成比例要低于近郊 居民。