应用统计学4讲解

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1、第四章 假设检验 第一节 假设检验的原理 一假设检验的意义 抽样推断 假设检验 参数估计 假设检验： 先假设后抽样 判断先前假设成立与否 参数估计: 先抽样后推断 假设检验就是通过收集样本 数据，利用样本数据对总体进行 验证或者比较。 例如： 先假设 (原假设、零假设 ),本班平均身高 然后抽样 ，样本平均身高 若 ， ，若发生，差异 显著，否定 二假设检验的基本思想 已知，原假设 进行讨论。显然，在成立 下面就以正态总体方差 为例 下，有： 为引入统计量及其分布，将 进行标准化处理，得： 于是，对于给定的小概率 由标准正态分布分位点的定义得， ， 这就确定临界值 即得 与此等价的是： 。 从

2、上式出发，一方面可以定 出偏差限 另一方面，可以清楚地看到，对 于一次试验来讲，事件 ， 发生的可能性是事先给定的小 概率。 按照小概率事件的本意，在 一次试验中是不易发生的。如果 一次试验的结果确实使上式发生 了，则这是与概率论的基本原理 相违背的。因而有理由怀疑 的正确性，从而拒绝 。 在假设检验中称为显著性水平 。 假设检验的基本思想： 先对总体的参数或分布 函数的表达式做出某种假设 ，然后找出一个在假设成立 条件下出现可能性甚小的（ 条件）小概率事件。 如果试验或抽样的结果使该 小概率事件出现了，这与小 概率原理相违背，表明原来 的假设有问题，应予以否定 ，即拒绝这个假设。 若该小概率

3、事件在一次试验或 抽样中并未出现，就没有理由 否定这个假设，表明试验或抽 样结果支持这个假设，这时称 假设与实验结果是相容的，或 者说可以接受原来的假设。 【例】某保险公司投保人的平均 年龄服从正态分布N(40，25） 。今从投保人中随机抽取36人 ，计算出此36人的平均年龄为 38岁，问投保人的平均年龄是 否真的是40岁？ 假设检验示意图 第二节 假设检验的基本概念 一.假设检验中的两类错误 对 拒绝接受 总体真实情况的判断 为真犯弃真（第一类） 错误 正常 不真正常犯取伪（第二类） 错误 假设检验的两类错误： 弃真：原假设为真，但结果检 验拒绝了原假设，称为第一类错 误，犯这种错误的概率为

4、； 取伪：原假设为假，但结果检 验接收了原假设，称为第二类错 误，犯这种错误的概率为； 在实际检验中，应该使、 都很小，但通常是有限度的。一般 情况下，当样本容量固定时，减小 就会导致增大， 减小就会 导致 增大，除非增大样本容量。 通常我们只对犯第一类错误的概率 加以限制，而不考虑犯第二类错 误的概率，这种假设检验称为显著 性检验。 二、显著性水平的确定 三、原假设与备择假设的选择 1.原假设一般代表一种久已存在 的状态,而备择假设则反映改变. 2.样本观测值显示所支持的结论 应作为备择假设. 3.应当尽量使后果严重的错误成 为第一类错误. 四.关于单边和双边假设检验 的说明 在显著性水平下

5、，检验假设 称形如【1】的假设检验为 双边假设检验。 【1 】 需要检验假设 形如【2】的假设检验，称为 右边检验。 形如【3】的假设检验，称为 左边检验。 【3】 【2】 上述三种假设检验的问题，下面给出相关的示意图。 检验问题图 形 提出假设进行判断 原假 设 备择 假设 拒绝接受 有否 显著差异 双边 是否大于 右边 是否小于 左边 例2 某工厂生产的固体燃料推进器 的燃烧率服从正态分布 ， 40cm/s， 现在用新方法生产了一批推进器。 从中随机取n=25只，测得燃烧率的 样本均值为 =41.25cm/s。 2cm/s。 设在新方法下总体均方差仍为2cm/s， 问这批推进器的燃烧率是否

6、较以 往生产的推进器的燃烧率有显著的 提高？取显著性水平0.05。 解：按题意需检验假设 （即假设新方法没有提高燃烧率） （即假设新方法提高了燃烧率） 右侧检验 这是右边检验问题，其拒绝域如 式所示，即为 而现在 ， 的值落在拒绝域中。 【2】 所以我们在显著性水平0.05下 率较以往生产的有显著的提高。 拒绝 ，即认为这批推进器的燃烧 五、假设检验的步骤 （一）根据具体问题， 提出原 假设 及备择设 ； 一般把问题陈述的否定作为原一般把问题陈述的否定作为原 假设，而把陈述本身作为备择假设，而把陈述本身作为备择 假设；假设； （二） 确定检验统计量； （三）根据所要求的显著性水平 查概率分布临

7、界值表，确定 临界值与拒绝域； （四）计算出该统计量的值，若 该值落入拒绝域，则拒绝原假设 ，否则接受原假设 第三节 关于总体均值与方差 的假设检验 一、单个正态总体均值的假设检验 1 已知，关于的检验 检验用统计量 拒绝域 （ 检验） 例3 已知某厂使用自动包装机包装 药品，按设计要求，每袋药品的重量 。 今在一天生产的药品中，抽样8袋测 得重量（单位：毫克）：152.2， 147.0，150.5，154.4，153.6， 155.9，149.8，148.6。在显著性水 平 0.05下，试问这一天包 装机工作是否正常？ 解：包装机工作正常与否主要 看这一天生产的药品平均重量 与 著差异。故本

8、题是关于均值的 显著性检验问题。 150（毫克）是否有显 提出假设 ， 双侧检验 选择检验用统计量并建立拒绝域 由于题设中 为已知，故检验用 统计量为： 由 0.05，查标准正态分布表 得临界值 于是，拒绝域为 。 计算统计量观测值 经计算得：151.5，又已知 150，4，8，故 做出统计判断 因为 ，所以拒绝 ， 这就是说这一天生产的药品平均重量 与 包装机工作不正常。 有显著差异，从而认为 例：某厂商声称其新开发的合 成钓鱼线的强度服从正态分布 ，且平均强度为8千克，标准差 为0.5千克。现从中随机抽出50 条该种钓鱼线，测试结果是平 均强度为7.8千克，问：能否接 收该厂商的声称？(=

9、0.01) 双侧检验 例：某厂商声称其新开发的合成钓 鱼线的强度服从正态分布，且平均 强度为8千克，标准差为0.5千克。 现从中随机抽出50条该种钓鱼线， 测试结果是平均强度为7.8千克， 问：测试能否说明新钓鱼线的平均 强度低于该厂商的声称？ (=0.01) 左侧检验 2 未知，关于 的检验 （ 检验） 作为检验 采用 统计量。 拒绝域： 例4 某食品厂生产一种罐头， 今在某天生产的一批罐头中随 机地抽测五个，记录每个罐头 中所含防腐剂的重量（单位： 毫克）为：1.95，1.73，2.03 ，1.81，1.79。 假定这一天生产的罐头中防腐 剂含量，（ 为未知参数）的假定下，采用 这一天生产

10、的罐头中含防腐剂 含量是否合格？ 0.10的显著性水平。试问 解：提出假设 ， 选择检验用统计量并建立拒 绝域 由于题设中 为未知， 故检验用统计量为： 双侧检验 由 0.10，查 分布表 得临界值 于是，拒绝域为 即 ， 计算统计量观测值 经计算得： 又已知 ， 故 。 做出判断 因为 ，所以拒绝 这就是说这一天生产的罐头中 防腐剂含量是不合格的。 ， 例5 某种电子元件的寿命 （以 小时计）服从正态分布， 、 均未知。现测得16只元件的寿命如 下：159，280，101，212，224，379 ，179，264，222，362，168，250， 149，260，485，170 问是否有理由

11、认为元件的平均寿命 大于225（小时）？ 右侧检验 解：按题意需检验 ， 取 问题，且 检验问题的拒绝域为 0.05，由于是右边检验 未知，则由表7-2知此 现在 ， 又算得 ， 即有： ， 不落在拒绝域中，故接受 不大于225小时。 ，即认为元件的平均寿命 例：某乡统计员报告，其所在乡 平均每户农民的家庭年收入为 5000元。为核实其说法，县统计 局从该乡随机抽取25户家庭，计 算得到平均年收入为4650元，标 准差为150元，假设农民年收入 服从正态分布，请问该乡统计员 的说法是否正确？(=0.05) 双侧检验 例：某乡统计员报告，其所在乡 平均每户农民的家庭年收入为 5000元。为核实其

12、说法，县统计 局从该乡随机抽取25户家庭，计 算得到平均年收入为4650元，标 准差为150元，假设农民年收入 服从正态分布，请问该乡农民年 收入是否比该乡统计员所说的低 ？(=0.05) 左侧检验 例：某食品厂商担心500克的切 片罐头装得太满。为了打消食品 厂商的顾虑，质检部门随机抽查 了50罐这种罐头，测定罐头平均 重量为510克，样本标准差为8克 。问：该食品厂商的担心是否属 实？(=0.05) 右侧检验 二、单一正态总体方差的假设 检验 未知，关于的检验 （ 检验） 检验用的统计量 1、 拒绝域为： 方差的检验 例：某食品商加工一批咖啡罐头 ，罐头的重量服从正态分布，按 规定，重量的

13、方差不能超过3。 现随机抽出15个罐头称其重量， 测得样本方差为3.5。问这批罐 头重量的方差是否偏大 (=0.05) 右侧检验 例6 某厂生产的某种型号的电 池，其寿命长期以来服从方差 5000（ ） 的正态分布，现有一批这种电 池，从它的生产情况来看，寿 命的波动性有所变化。 现随机取26只电池，测出其寿 命的样本方差9200 （ ）。试问根据这一数 据能否推断这批电池寿命的 波动性较以往的有显著的变 化（取0.02）？ 双侧检验 解：由题设知 ， 本题要求在水平 验假设 由于 计量为： 0.02下检 未知，故选择检验统 查 分布表得左、右临界 于是，拒绝域为 由观察值9200，得 ， 值

14、为： 所以拒绝 池寿命的波动性较以往的有显 著的变化。 ，认为这批电 三、双正态总体均值差的 假设检验 例：某厂某原料来自甲、乙两个厂 家，根据过去的经验，甲乙两个厂 家的原料均服从方差为10的正态分 布。为了估计这两个厂家该原料的 差异，从甲厂家随机抽取了25个样 品，从乙厂家抽取了16个样品，测 试结果甲厂家原料的平均重量为22 千克，乙厂家原料的平均重量为20 千克，问甲乙两个厂家该原料重量 的差别是否明显?（=0.05） 双侧检验 例：为调查某市远郊和近郊地区农民 的年末手存现金之间的差异，从近郊 和远郊地区各自独立随机抽取了样本 容量都是50的两个样本，计算得到近 郊地区农民平均每户

15、手存现金为650元 ，标准差为120元， 远郊地区农民平 均每户手存现金为480元， 标准差为 106元， 问两地区农民平均手存现金 是否存在差异？(=0.05) 双侧检验 例：某厂某原料来自甲、乙两个厂家 ，根据过去的经验，甲乙两个厂家的 原料均服从正态分布,且方差相等。为 了估计这两个厂家该原料的差异，从 甲厂家随机抽取了25个样品，从乙厂 家抽取了16个样品，测试结果甲厂家 原料的平均重量为22千克，样本方差 为9，乙厂家原料的平均重量为20千克 ，方差为8。问甲厂家该原料重量是否 比乙厂家的重?（=0.05） 右侧检验 四、总体成数的假设检验 总体比率的假设检验 例：某电视台声称其每日

16、“晚间 新闻”栏目的收视率超过70%。 为证实这种说法，随机抽取了 400人进行调查，结果表明有 71.2%的人观看此节目，该电视 台的说法是否可靠？(=0.05) 右侧检验 例7 一项调查结果声称某 市老年人口比重14.7，该 市老年人口研究会为了检验 该项调查是否可靠，随机抽 选了400名居民，发现其中 有57人年龄在65岁以上。 调查结果是否支持该市老年人口 比重为14.7的看法？（取 0.05） 解：提出假设 ， 由 表得临界值 0.05，查标准正态分布 双侧检验 计算统计量观测值： 经计算得： 又已知 故 因为 （ 值落在接 受区域内），所以，接受 可以认为调查结果支持该市老年人 口比重为14.7的看法。 ，即 五、双总体比率差的假设检验 两个总体比例之差的比较 例：某调查机构认为城市居民对 某项政策的赞成比例要低于近郊 居民。