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1、第三章 幂级数展开 意义：1. 利用级数计算函数的近似值； 2. 级数法求解微分方程； 3. 以级数作为函数的定义； 4. 研究奇点附近函数的性质。 3.1 复数项级数 一、复级数概念 1 原级数成为 这样复级数 归结为两个实级数 ， 实级数的一些性质可移用于复级数。 二、收敛性问题 1、收敛定义： 部分和 于 有确定 的极限，便称级数收敛；极限不存在或 ，便称级数发散。 2 2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对于任给的小正数 ，必有 N 存在，使得 n N 时， 式中 p 为任意正整数。 3、绝对收敛级数 若 收敛，则 绝对收敛。 a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变； b.
2、 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为两级数 和之积。 为-N语言叙 述的极限定义！ 3 4 三、函数项级数 1、概念与收敛判据 设 是 z 平面上某区 域 B中的单值解析函数。如果函数项 在 B 中（或某曲线 l 上）所有点上都收敛， 则说级数在B中（或某曲线 l 上）收敛。 5 柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）： 对B内每点 z，任给小正数 0, 必有 N(, z) 存在，使得当 n N(, z) 时， 式中 p 为任意正整数。N一般随 z 不同而不同， 但如果对任给小正数 0, 存在与 z 无关的 N(), 使得 n N() 时，上式成立，便说 在 B 内一致收敛。 为-N语言
3、叙 述的极限定义！ 6 2、一致收敛级数的性质 记级数和为 （1）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一 项 都是 B 内的连续函数，则级数的和 也是 B 内的连续函数。 （2）逐项求积分 在曲线 l 上一致收敛的级数 ，如果级数的每一项 都是 l 上的连续函 数，则级数的和 也是 l 上的连续函数， 而且级数可沿 l 逐项求积分。 7 （3）逐项求导数（外氏Weierstrass 定理） 设级数 在 中一致收敛， 在 中单值解析，则级数的和 也是 中的单值解析函数， 的各阶导数可由 逐项求导数得到，即： 且最后的级数 在 内的任意一个区 域中一致收敛。 8 3、级数一致收敛的外氏（Weiers
4、trass）判别法 ，或优级数判别法，或M判别法 若对于某区域 B (或曲线 l )上所有各点 z, 函 数项级数 各项的模 （ 是与 z 无关的正数)，而正的常数项级数 收敛，则 在区域 B (或曲线 l )上 绝对且一致收敛。 9 3.2 幂级数 一、定义 其中 为复常数。 这样 的级数叫作以z0为中心的幂级数。 二、幂级数敛散性 1、比值判别法（达朗贝尔判别法） 10 按比值判别法（达朗贝尔判别法） 若 则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛。 引入记号 则即：若 ，则（3.2.1) 绝对收敛。 11 另一方面，若 则 级数发散 即： 收敛 发散 R：收敛半径 CR: 收敛圆 收
5、敛发散 R CR z0 12 2、根式判别法： 若 （3.2.2）收敛， （3.2.1）绝 对收敛 级数发散 (收敛半径的另一公式) R：收敛半径 CR: 收敛圆 收敛发散 R CR z0 13 3、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛 作 在 有 对 应用比值判别法 有 幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！ R：收敛半径 CR: 收敛圆 收敛发散 R CR z0 CR1 R1 14 三、例题 例1 求 的收敛圆。t 为复数 若 则 解： 15 例 2 求 的收敛圆。z 为复数. 解： R：收敛半径 CR: 收敛圆 收敛发散 R CR z0 CR1 R1 16 四、幂级数所代表的函数的解析性质 1、幂级数
6、每一项均是z的解析函数，而且在收敛 圆内任一闭区域中一致收敛，据外氏定理，这 级数的和 w(z) 是收敛圆内的一个解析函数 2、幂级数在收敛圆内可逐项积分 3、幂级数在收敛圆内可逐项求导 17 4、幂级数的回路积分表示 18 3.3 解析函数的泰勒（Taylor）级数展开： 定理：设 f (z) 在以 z0 为圆心的圆 CR 内 解析，则 对 圆内的任意 z 点, f (z) 可展为幂级数， 其中展开系数为 为圆CR 内包含 z 且与CR 同心的圆。 19 It was in 1715 that Taylor published (with no consideration of conver
7、gence) his well-known expansion theorem. In 1717, Taylor applied his series to the solution of numerical equations. Recognition of the full importance of Taylors series awaited until 1755, when Euler applied them in his differential calculus, and still later, when Lagrange used the series with a rem
8、ainder as the foundation of his theory of functions. Taylor was educated at St. Johns College of Cambridge University and early showed great promise in mathematics. He was admitted to the Royal Society and became its secretary, only to resign at the age of thirty- four so that he might denote his ti
9、me to writing. Brook Taylor (Englishman, 1685-1731) 20 证明: 作 展开 由柯西公式 （3.3.1） 其中 21 将（3.3.3）代入（3.3.1）逐项积分 即 是以 z0 为中心的泰勒级 数，展开是唯一的。 （3.3.3） 22 例1、求 ez 在 邻域的 Taylor 展开。 解：因为 故 收敛半径 23 例2、求 ez 在 z0=1 邻域的 Taylor 展开。 解：因为 故 收敛半径 24 例3、求 和 在 z=0 邻域 的 Taylor 展开。 解： 故 25 收敛半径 类似 收敛半径 26 例4、求 1/(1-z)2 在 z=0
10、 邻域的 Taylor 展开。 解：因为 而 所以 27 收敛半径 ，级数在 |z|1时收敛 ！ 一般而言, 收敛半径为展开中心至最近奇点之距 离。 此例收敛半径 R=1。 事实上，该函数的奇 点为 z =1, 等于 z = 0 与 z =1 两点间的距离。 28 二、多值函数的 Taylor 展开 多值函数在确定了单值分支后，可象单值函数 那样在各单值分支上作泰勒展开。 例5、在 展开 29 收敛半径 R=1。 n=0的那一支为 主值分支。 1 o y x 30 例6、求 在 邻域的 Taylor 展开（m不是整数）。 解： 31 从而 m 不是整数!此为非整数二项式定理 32 收敛半径 R
11、=1。式中 n=0为主值分支。 三、无穷远点邻域内的泰勒展开 若存在R, 使 f (z) 在以 z=0 为圆心，R为半径 的圆外（包括 ）解析， 作变换 有 33 3.4 解析延拓 解析延拓是解析函数理论中的一个重要概念 34 一、解析延拓的定义： 设已知一个函数 f1(z) 在区域 B1 中解析。如果在 与 B1 有重叠部分b(可以是 一条线)的另一区域 B2 内存 在一个解析函数 f2(z), 在 b 中 称 f2(z) 为 f1(z) 在 B2中的解析延拓；反 过来， f1(z) 也是 f2(z) 在 B1 中的解析延拓。 B2 B1 b f1(z) f2(z) 35 通常在两类问题中用
12、到解析延拓: (1)已知在某区域中有定义的解析函数，例如 用级数、积分或者其他表达式来表达的函数， 用解析延拓的方法扩大其定义域和解析范围。 ex, sin x, cos x ez, sin z, cos z (2)已知数学问题的解是某区域 B 内(除了个别 奇点外)的解析函数。但求解的方法只能给出 在B的某一子区域 B 内才有效的函数表达式， 利用解析延拓的方法，可以从这个表达式推算 出解在 B 的其他子区域中的表达式。 36 二、延拓方法：原则上讲，可通过泰勒展开进 行。例： x y i/2 C1 C2 37 在上面的例子中，我们用函数的幂级数 表达式作解析延拓照那样做下去，将得到 有不同
13、收敛圆的许多幂级数，这些幂级数的 全体代表一个解析函数F(z)每一个幂级数 常称为 F(z) 的一个元素，在它自己的收 敛圆内代表 F(z) 的泰勒展开。 解析延拓是唯一的 解析延拓唯一性的证明（略） 38 3.5 解析函数的洛朗（Laurent）展开 一、双边幂级数 正幂部分有收敛半径 引入新变量 负幂部分成为 有收敛半径， 其在 内部收敛， 即在 的外部收敛。若 级数 39 正幂部分 收敛域 负幂部分收敛域(白色) 收敛环 R2 R1 40 在 内绝对且一致收敛。 称为级数的收敛环。若 级数发散。 二、洛朗展开定理 设 f (z) 在环形区域 的内部单值 解析，则对环域上任一点 z, f
14、(z)可展为幂级数 其中 路径C 是位于环域内按逆时针方向绕内圆一周 的任一闭合曲线。 41 证：作 z0 R2 R1 CR1 CR1 CR2 CR2 z C 证明请见本章ppt21页 4线构成复联通区域 42 z0 R2 R1 CR1 CR1 CR2 CR2 z C 43 代入积分 第二和式换求 和指标后成为 换 向 改 号 44 从而 其中 C 是环区域内按逆时针方向绕内圆一周的 任一闭合曲线。 函数在R1、R2围成 的闭区域内解析， R1 R2间同向积分环 路半径可以任意变 化！ 45 妈妈开了个淘宝店，欢迎前来捧场 妈妈的淘宝点开了快半年了，主要卖的是毛绒玩具、坐垫、抱枕之类的 ，感觉妈妈还是很用心的，花了不少功夫，所以我也来出自己的一份力，帮 忙宣传一下。 并且妈妈总是去五亭龙挑最好的玩具整理、发货，质量绝对有保证。 另外我家就在扬州五亭龙玩具城旁边，货源丰富，质量可靠，价格便宜 。 欢迎大家来逛逛【扬州五亭龙玩具总动员】 个人小广告： 46 1、正幂部分 称为 Laurent 级数的解析部分，在 圆内绝对且一致收敛； 2、负幂部分 称为 Laurent 级数的主要部分，在 圆外绝对且一致收敛
