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1、3.2 函数极限的性质 一 .极限的性质 二 . 利用函数极限的性质 计算某些函数的极限 v定理3.2 如果当xx0时f(x)的极限存在 那么这极限是唯一的 证明， x x f B A 时的极限， 当 都是 设 0 , , ) ( 0 , 0 , 0 1 0 1 e d d e - - $ “ A x f x x 时有 当 则 , ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d - - $ B x f x x 时有 当 故有 同时成立 时 则当 取 ， x x ) 2 ( ), 1 ( 0 ), , min( 0 2 1 d d d d - . 2 ) ( ) ( ) ) ( ( ) ) ( (
2、e - + - - - - - B x f A x f B x f A x f B A . . 即其极限唯一 的任意性得 由 B A e (1) (2) 一 函数极限的性质 1.唯一性 2.局部有界性 若极限 存在， 则函数在 的某一空心邻域上有界。 证明 有 使得 则 取 设 ) ; ( , 0 , 1 , ) ( lim 0 0 d d e x U x A x f x x o “ $ . 1 ) ( 1 ) ( + - A x f A x f . ) ; ( ) ( 0 内有界 在 即 d x U x f o 若在某个过程下,有极限,则存在过程的一个时刻, 有界. 定理3.3 在此时刻以后
3、 3. 局部保号性 定理3.4 证明 设A0,对任何 0,使得对一切 这就证得结论.对于A 0的情形可 类似地证明. 推论 v定理3.4(函数极限的局部保号性) 如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么对任何 正数rA (或 r 0 ( 或f(x) -r 0) 证明 , 0 , ), A , 0 ( , 0 d e r A r A $ - “ 使得 则 取 设 . ) ( r A x f - e 有 . 0 的情形类似可证 对于 r 3. 局部保号性 v定理3.5(函数极限的保不等式性) 证明 ). ( lim ) ( lim ), ( ) ( ) ; ( ) ( ), ( 0 0
4、0 0 x g x f x g x f x U x g x f x x x x x x 则 内有 极限都存在且在 时 如果 d o , ) ( lim , ) ( lim 0 0 B x g A x f x x x x 设 ) 1 ( ), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x f A x x - - $ “ e d d e 时有 当 则 ) 2 ( . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ B x g x x 时有 当 于是有 同时成立 与 不等式 时 则当 令 ， x g x f x x ) 2 ( ), 1 ( ) ( ) ( , 0 , , , min 0 2 1
5、- d d d d d , ) ( ) ( e e + - B x g x f A . , 2 B A B A + 的任意性知 由 从而 e e 4 保不等式 推论 于是 v定理3.6 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)A lim h(x)A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)A 证明), ( 0 , 0 , 0 1 0 1 x g A x x ， - - $ “ e d d e 时有 当 按假设 . ) ( 0 , 0 2 0 2 e d d + - $ A x h x x 时有 当 故有 同时成立 时上两不等
6、式与 则当 令 , ) ( ) ( ) ( 0 , , min 0 2 1 x h x f x g x x - d d d d , ) ( ) ( ) ( e e + - A x h x f x g A . ) ( lim ) ( 0 A x f ， A x f x x - 即 由此得 e 5 迫敛性 定理3.7设 , 则 1） 2） 3） 6 四则运算法则 ； ： 定理3.7之3）的证明 只要证 ， 令，由 ， 使得当 时，有 ， 即 , 仍然由 ， . ， 使得当 时，有 . 取 ，则当 时，有 即 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 定理的条件：存在 商的情形还须加上分母的极
7、限不为0 定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商 定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 . . 已证明过以下几个极限： （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ） 这些极限可作为公式用. 利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些“简单 函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。 例 求 . 例 求 . 例 求 . ( 利用极限 和 ) 例4 证明 证 （不妨设1） 例6 求 例5 求 【 利用公式 】 求A和B. 补充题 : 已 知 求极限方法举例 例7 解 小结: 例8 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关
8、系,得 例9 解 (消去零因子法) 例10 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例11 解 先变形再求极限. 由以上几例可见，在应用极限的四则运算法则求 极限时，必须注意定理的条件，当条件不具备时， 有时可作适当的变形，以创造应用定理的条件，有 时可以利用无穷小的运算性质或无穷小与无穷大的 关系求极限。 三、复合函数极限 定理 （复合函数极限运算法则变量代换法则） 证 由极限定义得 此定理表明： 则可作代换 极限过程的转化 注1 可得类似的定理 注2 定理中的限制条件 不能少,例如,令 例12 解 6）极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法： a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 四、小结 1 函数极限的性质 1）唯一性；2）局部有界性； 3. 局部保号性； 4 ） 保不等式；5） 迫敛性； 7).复合函数的四则运算法则 . 作业 P53: 1, 8(1),(3),(5).
