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1、12 曲率、挠率 第五章 多元函数微分学 定义：如果曲线的参数表示式 或 是 阶连续可微的函数，则把这类曲线称 为 类曲线。当 时, 类曲线又称为光滑 曲线。 自然参数：我们知道曲线有不同的参数表示，能 否找一种参数使研究曲线很方便呢？回答是肯定 的这就是以弧长s为参数（自然参数） 对于光滑曲线 1、 的参数是自然参数的充要条件是 2、弧长参数优越性： 3、弧长作参数是可以做到的：由于 则s(t)是t的严格单调函数，存在反函数t=t(s), 代入有 4、对于 1.曲线的自然参数 例：圆的参数化为 r(t) (a cost , a sint ) , tR ，其中 常数 a 0 , 试将参数化为自
2、然参数。 解: 1) 给出 类曲线 得一单位向量 ， 称 为 曲线（C）上 P 点的单位切向量。 称 为曲线在 P 点的主法向量, 它垂直于单位切向量。 称 为曲线在 P 点的次法向量。 把两两正交的单位向量 称为 曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。 2.空间曲线的基本三棱形、伏雷内标架 3)由任意两个基本向量所确定的平面 分别叫做: 密切平面： 法平面： 从切平面： 而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的 基本三棱形。 2) 对于曲线（C）的一般参数表示 有 定义 过空间曲线上 P 点的切线 和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 的
3、极限位置 称为曲线在 P 点的 密切平面。 关于密切平面 对于 类的曲线上任一正常点处的 密切平面是最贴近于曲线的切平面。 密切平面以 为法向。 密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有 因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。 两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此 由于 ,这个向量就可以作为密切平面的一个法向量。 密切平面方程为 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为 如果曲线用一般参数t 表示，则将上式中的撇改成点。 平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。 例 求圆柱螺线r=a cos t, a sin t, bt在任一 点的密切
4、平面 3.空间曲线的曲率，挠率 设空间曲线(C)为 的，且以 s 为参数。 1)曲率 定义（C）在 P 点的曲率为 越小 就越接近曲线在P点的弯曲程度,进一步令 则的极限就应该是曲线在P点的弯曲程度。 曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。 曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的 弯曲程度。 例. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . 例： 空间曲线， 为直线的充要条件是曲率 证明：若为直线 其中 都是常向量， 并且 ，则 反之, 若 , 则 于是
5、 所以该曲线是直线. 2)挠率 与曲率类似有 定义 曲线（C）在 P 点的挠率为 挠率的绝对值是曲线的次法向量对于弧长的 旋转速度。挠率恒为零的曲线是平面曲线 3)曲率和挠率的一般参数表示式 给出 类的曲线（C）： 所以 因此 由此得到曲率的一般参数的表示式 由 可得挠率公式为 有曲率近似计算公式 则曲率计算公式为 二阶可导, 设曲线弧 说明: 若曲线由参数方程给出, 则 若曲线方程为 则 若曲线由参数方程 给出, 则 4）密切园（曲率园） 过曲线（C）上一点 P 的主法线 的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以 C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确 定一个园，这个园称为曲线在 P
6、 点的密切园或曲率园，园的中 心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。 曲率中心轨迹设对应Y=(x,y,z)，则有 容易证明C在P点与曲率圆相切，且在P 点的曲率相同 在点P 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 . 例 求圆柱螺线r=a cos t, a sin t, bt(a0, b0均为常数) 的曲率、挠率、曲率中心和曲率圆. 解 =-a sin t, a cos t, b， =-a cos t, -a sin t, 0， =a sin t, -a cos t, 0. 于是 = = 所以圆柱螺线的曲率和挠率都是常数. . 故曲率中心的半径向量
7、为 可以求出密切平面为 于是曲率圆为 设曲线方程为且 求曲线上点M 处的 曲率半径及曲率中心 设点M 处的曲率圆方程为 故曲率半径公式为 满足方程组 的坐标公式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此可得曲率中心公式 (注意与异号 ) 例. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 可知, 椭圆在处曲率最大 , 即曲率半径最小, 且为 显然, 砂轮半径不超过时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题. 例3 目录 上页 下页 返回 结束 5）伏雷内（Frenet)公式 由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲
8、线的伏雷内（Frenet)公式。它的系 数组成一反称方阵 当点 M (x , y) 沿曲线C 移动时, 的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线 , 相应的曲率中心 曲率中心公式可看成渐 曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 . 屈线的参数方程(参数为x). 6）曲线的渐屈线、渐近线 ( 仍为摆线 ) 例. 求摆线 的渐屈线方程 . 解: 代入曲率中心公式 ,得 摆线 目录 上页 下页 返回 结束 微分几何 Differential Geometry 坐标系、微积分应用于几何学，产生了微分几何 研究如何描述空间中一般的曲线和曲面的形状 参数变换下几何不变量：曲线弧长、曲率、挠率；曲 面第一基本形式、第二
9、基本形式等 微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用 突出的数学家 Euler(1707-1783), Morge(1746-1818) 引进曲线曲面参数表示 法曲率能够由主曲率表示，Euler公式 Gauss(1777-1855) 曲面的第一、二基本形式、Gauss曲率，内蕴几何学Intrinsic differential geometry Riemann(1826-1866) 度量Measure、流形Manifold、黎曼几何学；弯曲空间 Klein(1849-1925) 变换群 Cartan(1869-1951) 活动标架，纤维丛及其联络 突出的数学家 陈省身 开创并领导着整体
10、微分几何、“陈省身示性类” 丘成桐 “卡拉比猜想”，“微分几何中偏微分方程作用”，“完备黎曼流形上调和函数” 杨振宁先生对几何学的概括 天衣岂无缝，匠心剪接成。 浑然归一体，广邃妙绝伦。 造化爱几何，四力纤维能。 千古寸心事，欧高黎嘉陈。 微分几何的应用 理论物理 广义相对论将物理量解释为几何量。具体的说，空间和 时间结合在一起由一个流形描述：不同的参照系给出不 同的局部坐标；不同参照系之间的关系即是坐标变换。 时空流形的度量由所谓Lorentz度量给出，象Riemann几 何一样计算出曲率等几何量。 Einstein方程说： 时空的物理量（能量动量张量） 等于时空的几何量（Ricci曲率张量
11、）。 微分几何的应用 计算几何、图形学 曲线曲面设计 离散微分几何 网格曲面 计算机视觉 基于流形的学习方法 拓扑学，代数拓扑和微分拓扑与之紧密相连 代数几何，代数方程（组）的零点集 计算机视觉 Computer Vision 数字几何 1D1D 2 2D D 2 2D D3 3D D 数字几何媒体：拓扑结构复杂；采样非均匀；没有通用标准 数字几何媒体(Digital geometry media)正成为继声音、图像 和视频之后的下一轮数字媒体浪潮。 几何造型 Shape modeling nSurface reconstruction(static) nFrom CT or optical
12、images, raw point data, nData repairing, registration, resampling, smoothing Point cloud mesh NURBS texture No connection connected parametric meshing paramerization Dynamic modeling Feature driven morphing Parametric modeling Physical constrained animation 几何造型 Shape modeling 网格参数化及共形映射 网格曲面上的离散微分几何算子 曲面磨光 对两个主方向进行不同处理 流形学习 Manifold learning Principal component 基于几何不变量的识别和检索 试着用几何的观点看待一切
