《受迫量子谐振子若干问题的讨论毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《受迫量子谐振子若干问题的讨论毕业论文（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、摘 要目前，受迫量子谐振子问题的研究已经成为一个热点，含时受迫谐振子系统是量子力学中能够精确求解其含时薛定谔方程的的少数几个量子系统之一。本文首先描述了经典的受迫谐振子，后对量子力学中的谐振子作了初步描述，然后依据含时非齐次波个留夫变换的公式体系详细讨论了受迫量子谐振子的薛定谔方程精确解并且用初等的方法探讨了谐振子的跃迁几率问题。关键词：受迫量子谐振子；薛定谔方程；波函数；跃迁几率21ABSTRACTAt present, the research of compelled Quantum harmonic oscillator have already become a hot spot,
2、this is the question we can give a exact solution in Quantum questions .This article first describes the classical harmonic oscillator, latter make a preliminary description of quantum mechanics harmonic oscillator, then discussed the compelled quantum harmonic oscillator in detail and give the Schr
3、dinger equation exact solution and study the transition probability of the harmonic oscillator.Key words: compelled Quantum harmonic; Schrdinger equation; transition probability; transition probability目 录引言11经典谐振子.21.1经典谐振子的描述 .21.2阻尼谐振子.31.3受迫谐振子.52受迫谐振子.62.1量子谐振子（一维）.62.2受迫量子谐振子薛定谔方程的精确解.92.3谐振子在含
4、时均匀外场下跃迁概率的精确解.13参考文献.17致谢.18引 言 在物理学的学习过程中，我们经常遇到谐振子的有关问题。理学中谐振子是在物理学习中必须接触到的一种非常典型的物理模型，其处理方法和有关知识几乎涵盖了经典力学和量子力学中的典型知识。了解谐振子问题是物理学习者学习物理的基础，其内容包罗万象，对物理学的发展特别是近代量子力学的发展起了不可磨灭的作用，其在固体物理，统计力学以及一些相关学科中的应用广泛，学好谐振子有关知识是从事物理事业的基础，从而可见谐振子模型在整个物理学尤其是近代物理学的发展和成熟中的举足轻重的地位和难以估量的作用，现在谐振子问题是物理学中非常实用的知识，在近代物理学，特
5、别是近百年来量子力学的发展中有着不可忽视的作用，其处理方法为以后研究物理，拓宽物理识，解决有关的物理问题提供一点参考。目前，由于含时受迫谐振子系统不但可以精确求解，而且在量子光场介观电路系统等有着重要的应用，含时受迫谐振子系统已经成为研究的一个热点，我们采用初级的方法对谐振子薛定谔方程进行了精确求解，并且解出谐振子在含时均匀外场下跃迁概率的精确解。1 经典谐振子1.1理想谐振子的经典描述 理想谐振子就是经典力学中做简谐振动的谐振子，其代表为弹簧振子，下面谈一下理想谐振子的有关知识。1.1.1弹簧振子的定义 将水平放置的弹簧一端固定，另一端与穿在水平杆上的小球相连，忽略小球与杆之间的摩擦力和空气
6、阻力，把小球看作质点，弹簧的质量远小于小球的质量，可以忽略不记，则弹簧和小球所组成的系统就称作弹簧振子。1.1.2弹簧振子的动力学特征 将小球看作质点，弹簧自由伸长时质点的位置是平衡位置，依此为坐标原点建立坐标系0- x，x表示质点的位置坐标，也相当于质点的位移，也就是弹簧的伸长量，当x很小时，力fx与x之间成线形关系，即： fx=-kx (1-1) (k是弹簧劲度系数)。以m表示质量，根据牛顿第二定律知： m=-kx (1-2) 用m除以上式两端，并令上式可写作： m0 （1-3）式中的决定于弹簧的劲度系数和小球的质量这就是弹簧振子的动力学方程1.1.3理想谐振子的运动学方程 根据运动学公式
7、可知，如果已知理想弹簧振子中质点的位置岁时间的变化规律，即运动学方程，就能充分描述质点的运动状况，下面我们就根据理想谐振子的动力学方程来求其运动学方程，并讨论其运动学特征。 根据常微分方程理论，微分方程m+x = 0的解可以写作； x=Acos(t +) (1-5) 其中是谐振子振动的强度，是谐振子在振动过程中偏离平衡位置的最大位移，称为振幅。是振动初相位，t + 是振动的相位。称为圆频率。由于是由振动系统本身的性质决定的，故称为固有圆频率。 从上面可以看出，理想谐振子的运动轨迹是正余弦曲线，随着时间的推移在不断的向推移。1.1.4理想谐振子的能量转化振子在运动过程中，发生动能和弹性势能之间的
8、相互转化，设在转化过程中振子的位移为x，速度为v,则整个系统的总能量可以表示为： kx2 +mv2 =E总 （1-6） 当速度为零时，振子恰好运动到最大位移处，故有： KA2 = E总 （1-7） 由上两式可以知道： kx2 +mv2 =KA2 (1-8) 式（1-8）就称为理想谐振子的能量转化表达式，故知振子在运动过程中遵循机械能守恒定律。由上式可以分析振子在运动过程中的能量转化。1.2阻尼谐振子以上讨论均假设质点在振动过程中不受任何阻力，这只是理想的状态，在现实中谐振子都是受到阻力的，在运动过程中都是在做振幅逐渐减小的运动，这种受到阻力的谐振子就称为阻尼谐振子，它是谐振子的一种现实模型，下
9、面我们就研究一下这种谐振子模型。设振动速度较小时，可认为摩擦力正比于质点的速率，为简单起见，设质点在一条直线上，在平衡位置附近做往复运动，我们选择质点平衡位置为原点。令坐标轴与质点的轨迹重合，则有： f x = - vx = - (1-9)其中为阻力系数，它与周围媒质的性质有关，负号表示阻力与质点速度的方向相反，则根据牛顿第二定律可知：m (1-10） 以m遍除各项可转化为如下方程式： （1-11） 令， 则即为振动系统的固有圆频率，即为阻尼因数，和振动系统以及媒质的性质有关，故方程可转化为： 2x = 0 (1-12)按照微分方程理论，对于一定的振动系统，可根据阻尼系数大小的不同，由运动学方
10、程解出三种可能的运动状态：（）欠阻尼状态：当阻力很大时，以至，可由（1-12）式求出质点的运动学方程：x =Ae-cos(t +) = （1-13）A和为待定系数由初始条件决定，因子Ae-表示不断随时间而衰减的振幅，cos( +)则表示以为圆频率周期的变化，二因子相乘表示质点做运动范围不断减小的往复运动，故称这种状态为欠阻尼状态（）过阻尼状态 当阻力很大，以至根据微分方程理论可知（1-12）式的解为：x =C1e-(-) + C2e- （1-14） 其中C和C是由初始条件决定的常数。上式表明，随时间的推移，质点坐标单调的趋于零，质点运动不仅使非周期的，甚至是不往复的，则称这种运动状态为过阻尼状
11、态。（）临界阻尼状态如阻力的影响介于前两者之前，且，则方程（1-12）式的解可表示： x =( C1 + C2t )e-t （1-15） C和C2由初始条件决定，此式仍不表示往复运动，由于阻力较前者为小，将质点移开平衡位置释放后，质点很快回到平衡位置并停下来，这种运动状态称为临界阻尼状态。为了区分这三种状态，可参照以下这三种状态的图象:xT0xt0xto（c）临界阻尼状态(b)过阻尼状态（a）欠阻尼状态1.3受迫谐振子 现在讨论在欠阻尼状态谐振子振动系统上加上周期性外力所发生的振动，我们称振动系统在连续的周期性外力作用下进行振动的谐振子称为受迫谐振子，下面简要的研究一下受迫谐振子的有关特性：1.3.1受迫谐振子振动的运动学方程设质点受到三种力：弹簧的弹力kx,阻尼力，周期性外力F(x)=F0cos,根据牛顿第二定律得其运动学方程为： m=kx+F0cost (1-16)为方便起见可令：，代入（1-16）式可化简为如下方程： 2t （1-17）这就是受迫谐振子的动力学方程的常见形式，其中称为参量。1.3.2受迫谐振子振动的运动学特征根据微分方程的理论，方程（1-17）的解为： tcos(t) （1-18） A和是由初始条件决定的积分常
