《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何 1.2.3.2 平面与平面垂直 新人教b版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何 1.2.3.2 平面与平面垂直 新人教b版必修2（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 平面与平面垂直 一二 一、两个平面垂直的定义 【问题思考】 1.两个平面有夹角吗?是如何刻画的? 提示:如图所示两半平面,交线为l,在l上任取一点E,在内作 AEl,在内作BEl,则ABE的大小就能够刻画平面的张角.特殊 地,当AEB=90时. 2.填空:如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平 面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互 相垂直. 一二 二、平面与平面垂直的判定定理与性质定理 【问题思考】 1.填写下表: 一二 2.过平面的一条垂线能作多少个平面与平面垂直? 提示:无数个.可以将自己的课本打开立放在桌面上进行观察. 3.经过平面的一条斜线与
2、该平面垂直的平面有多少个? 提示:只有一个. 4.两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面的位 置关系是怎样的? 提示:两个平面互相垂直,其中一个平面内的直线与另一个平面 的位置关系可能是平行,也可能是相交,还可能是在平面内. 一二 5.做一做:已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若 PCBD,平行四边形ABCD一定是 . 解析:因为PA平面ABCD, 所以PABD. 又因为PCBD,PAPC=P, 所以BD平面PAC,所以BDAC, 所以平行四边形ABCD一定是菱形. 答案:菱形 一二 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画 “”. (1)一个
3、二面角的平面角有且只有一个. ( ) (2)若直线l与平面交于点O,且l与不垂直,l,则与一定不垂 直. ( ) (3)如果两个平面垂直,且经过第一个平面内一点作一条直线垂直 于第二个平面,那么该直线一定在第一个平面内. ( ) 答案:(1) (2) (3) 探究一探究二探究三思维辨析 面面垂直的判定 【例1】如图,在四面体ABCD中,BD= a, AB=AD=CB=CD=AC=a,求证:平面ABD平面BCD. 思路分析:图形中的垂直关系较少,不妨考虑利用定义法证明. 探究一探究二探究三思维辨析 证明:取BD的中点为E,连接AE,CE, 因为CB=CD=AB=AD, 所以AEBD,CEBD,则
4、有BD平面AEC. 因为AB=AD=CB=CD=AC=a,BD= a, 所以ABD和BCD都是等腰直角三角形,AE,CE都是斜边上的中 线. 又AC=a,所以AE2+CE2=AC2.所以AECE. 又AE,CE分别是平面AEC与平面ABD、平面BCD的交线,所以平 面ABD平面BCD. 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟对于面面垂直有以下判定方法: (1)根据面面垂直的定义进行判定 证明第三个平面与两个相交平面的交线垂直; 证明这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直; 根据定义,这两个平面互相垂直. (2)根据面面垂直的判定定理进行判定.在证明两个平面垂直时, 一般先从现有的直线中
5、寻找平面的垂线,若这样的直线在现有的图 中不存在,则可通过作辅助线来解决. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1在正方体AC1中,求证:平面BDD1B1平面ACC1A1. 证明:如图所示,因为AA1平面ABCD,BD平面ABCD, 所以AA1BD. 又在底面ABCD内,对角线ACBD,且AA1AC=A, 所以BD平面ACC1A1. 又BD平面BDD1B1, 所以平面BDD1B1平面ACC1A1. 探究一探究二探究三思维辨析 面面垂直的性质 【例2】如图,AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点, 平面PAC平面ABC, (1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明. (2)判断平面P
6、BC与平面PAC的位置关系. 解:(1)BC平面PAC. 证明:因为AB是O的直径, C是圆周上不同于A,B的任意一点,所以ACB=90, 所以BCAC. 又因为平面PAC平面ABC, 平面PAC平面ABC=AC,BC平面ABC, 所以BC平面PAC. (2)因为BC平面PBC,所以平面PBC平面PAC. 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟1.当所给的题目中有面面垂直的条件时,一般要注意是 否有垂直于两个平面交线的垂线,如果有,可利用性质定理将面面 垂直转化为线面垂直或线线垂直;如果没有,一般需作辅助线,基本 作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化 为线面垂直或线线垂直.
7、 2.面面垂直性质定理的常用推论: (1)两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两相交平面的交线也 垂直于第三个平面. (2)两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直. (3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线与另一个平 面平行或在另一个平面内. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练2如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面内,且ACPC, 平面PAC平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是 ( ) A.一条线段B.一条直线 C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点 解析:因为平面PAC平面PBC,ACPC, AC平面PAC,且平面PAC平面PBC=PC, 所以AC平面PBC. 又
8、因为BC平面PBC, 所以ACBC,所以ACB=90, 所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆, 除去A和B两点,故选D. 答案:D 探究一探究二探究三思维辨析 探索型问题 【例3】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,且AB=BC,能否 在侧棱BB1上找到一点E,恰使截面A1EC侧面AA1C1C?若能,指出 点E的位置,并说明为什么;若不能,请说明理由. 解:如图,作EMA1C于点M, 因为截面A1EC平面AA1C1C, 所以EM平面AA1C1C. 取AC的中点N,连接BN,MN. 因为AB=BC,所以BNAC. 而AA1平面ABC,AA1平面AA1C1C, 所以平面ABC
9、平面AA1C1C,且交于AC, 所以BN平面AA1C1C. 所以BNEM,BNMN. 探究一探究二探究三思维辨析 又BE平面AA1C1C,平面BEMN平面AA1C1C=MN,所以 BEMNA1A. 所以四边形BEMN为平行四边形. 因为AN=NC,所以A1M=MC. 所以BE=MN= A1A,即E为BB1的中点时,平面A1EC平面 AA1C1C. 反思感悟1.垂直关系的相互转化: 2.探究型问题的两种解题方法: (1)(分析法)即从问题的结论出发,探求问题成立的条件. (2)(反证法)先假设使结论成立的条件存在,然后进行推证,推出矛 盾,否定假设,确定使结论成立的条件不存在. 探究一探究二探究
10、三思维辨析 如图,在三棱锥A-BCD中,BCD=90,BC=CD=1,AB平面 BCD,ADB=60,E,F分别是AC,AD上的动点,且 =(0BD2,矛盾,故四边形ABCD不可能是空间四 边形,只能是平面四边形, 所以四边形ABCD是矩形. 防范措施1.要克服上述错误,一定要将有关定理或性质的适用条 件及内涵把握清楚,不能凭想当然进行毫无逻辑的论证. 2.涉及空间中讨论问题,不能仅局限于初中所学平面几何的范畴. 一些平面几何中的结论也不能随意照搬到立体几何中. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为正 方形,则截面ACB1与对角面B
11、B1D1D垂直吗? 解:四边形ABCD是正方形,ACBD. BB1底面ABCD,ACB1B. B1BBD=B,AC对角面BB1D1D. 又AC截面ACB1, 截面ACB1对角面BB1D1D. 123456 1.下列结论中正确的是( ) 垂直于同一条直线的两条直线平行; 垂直于同一条直线的两个平面平行; 垂直于同一个平面的两条直线平行; 垂直于同一个平面的两个平面平行. A.B.C.D. 答案:C 123456 2.已知平面平面,=l,则下列命题中错误的是 ( ) A.如果直线a,那么直线a必垂直于平面内的无数条直线 B.如果直线a,那么直线a不可能与平面平行 C.如果直线a,al,那么直线a平
12、面 D.平面内一定存在无数多条直线都垂直于平面内的所有直线 答案:B 123456 3.在三棱锥A-BCD中,若ADBC,BDAD,BCD是锐角三角形,那 么必有( ) A.平面ABD平面ADCB.平面ABD平面ABC C.平面ADC平面BCDD.平面ABC平面BCD 解析:ADBC,ADBD,AD平面BCD. 又AD平面ADC,平面ADC平面BCD. 答案:C 123456 4.如图所示,平面ABC平面BDC,BAC=BDC=90,且 AB=AC=2,则AD= . 答案:2 123456 5.设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同的直 线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下 一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (用序号表示). 解析:将作为条件,可结合长方体进行证明,即从长方体的一 个顶点出发的两条棱与其对面垂直,这两个对面互相垂直,故 ;对于,可仿照前面的例子进行说明. 答案:(或)
