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1、习题1.21=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+cy=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1特解为y= e.2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=3= 解：原方程为：=dy=dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程
2、为： dy=-dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。5（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： =-令=u 则=u+x 代入有：-du=dxln(u+1)x=c-2arctgu即 ln(y+x)=c-2arctg.6. x-y+=0 解：原方程为： =+-则令=u =u+ x du=sgnx dxarcsin=sgnx ln|x|+c7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：=两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c|siny= 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 +=0
3、 解：原方程为：=e2 e-3e=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：=ln令=u ,则=u+ xu+ x=ulnuln(lnu-1)=-ln|cx|1+ln=cy.10. =e 解：原方程为：=eee=ce11 =(x+y) 解：令x+y=u,则=-1-1=udu=dxarctgu=x+carctg(x+y)=x+c12. =解：令x+y=u,则=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c.13. =解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+
4、x=c xy-y+y-x-x=c14: =解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c.15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程为：=（x+4y）+3令x+4y=u 则=-=u+3=4 u+13u=tg(6x+c)-1tg(6x+c)=(x+4y+1).16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：1） y(1+xy)dx=xdy2） = 证明： 令xy=u,则x+y= 则=-，有： =f(u)+1 du=
5、dx 所以原方程可化为变量分离方程。1） 令xy=u 则=- (1)原方程可化为：=1+（xy） (2)将1代入2式有：-=(1+u)u=+cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为： x= x - y= y - x y 则 x=2 x = x - 所以 xy=c18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 = 。解：由题意得：y= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 则y=tgx 所以 c=1 y=x.19.证明曲线上的切线
6、的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y=kx 则：y=kx +c 即为所求。 习题2.11.,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：3 解：原式可化为： 12解1516解： ，这是齐次方程，令17. 解：原方程化为 令方程组则有令当当另外 19. 已知f(x).解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得20.求具有性质 x(t+s)=的函数x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0.
7、 x(t)=) 两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t习题2.2求下列方程的解1=解： y=e (e)=e-e()+c=c e- ()是原方程的解。2+3x=e解：原方程可化为：=-3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c) =c e+e 是原方程的解。3=-s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。4 ， n为常数.解：原方程可化为： 是原方程的解.5+=解：原方程可化为：=- ()= 是原方程的解.6 解： =+令 则 =u因此：= （*） 将带入 （*）中
8、得：是原方程的解.313这是n=-1时的伯努利方程。两边同除以，令 P(x)= Q(x)=-1由一阶线性方程的求解公式 =14 两边同乘以 令 这是n=2时的伯努利方程。两边同除以 令 P（x）= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = =15 这是n=3时的伯努利方程。两边同除以 令 = P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式 =16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式 = =c=1y=17 设函数(t)于t上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)(s)试求此函数。令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或（1） 当时 即 ,)
9、(2) 当时 = = =于是 变量分离得 积分 由于，即t=0时 1=c=1故 20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解； （2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证明： （2.28） （2.3）（1） 设，是（2.28）的任意两个解则 （1） （2）（1）-（2）得 即是满足方程（2.3）所以，命题成立。（2） 由题意得： （3） （4）1）先证是（2.28）的一个解。于是 得故是（2.28）的一个解
10、。2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式设是(2.28)的一个解则 （4）于是 （4）-（4）得从而 即 所以，命题成立。（3） 设，是（2.3）的任意两个解则 （5） （6）于是（5）得 即 其中为任意常数也就是满足方程（2.3）（5）（6）得 即 也就是满足方程（2.3）所以命题成立。21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项；解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为从而此切线与两坐标轴的交点坐标为即 横截距为 ， 纵截距为 。由题意得：（5） 方
11、程变形为 于是 所以，方程的通解为。（6）方程变形为 于是 所以，方程的通解为。22求解下列方程。（1）解： = = = （2） P(x)= Q(x)=由一阶线性方程的求解公式 = = =习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1. 解： ，=1 .则所以此方程是恰当方程。凑微分，得 ：2 解： ， .则 .所以此方程为恰当方程。凑微分，得 3 解： 则 .因此此方程是恰当方程。 （1） （2）对（1）做的积分，则= （3）对（3）做的积分，则=则故此方程的通解为4、 解： ， . .则此方程为恰当方程。凑微分，得 ：5.(sin-cos+1)dx+( cos- sin+)dy=0解： M=sin-cos+1 N= cos- sin+=-
