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1、内江师范学院本科毕业论文 本本 科科 毕毕 业业 论论 文文 题 目 凸函数及其在证明不等式中的应用 系 别 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 吴开腾 评阅教师 班 级 2004 级 2 班 姓 名 冀学本 学 号 20040241064 2008 年 月 日 内江师范学院本科毕业论文 目目 录录 摘要.I AbstractI 1 引言.1 2 凸函数的等价定义1 2.1 凸函数三种定义的等价性的讨论.2 2.1.1 定义定义 1 1定义定义 2 22 2.1.2 定义定义 1 1定义定义 3 34 2.2 判定定理与 JESEN 不等式.4 3性质.5 4 凸函数在不等式
2、证明中的应用7 4.1 利用凸函数定义证明不等式7 4.2 利用凸函数性质证明不等式8 结束语.11 参考文献11 致谢.12 内江师范学院本科毕业论文 摘摘 要要 首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了 三种定义之间的等价性接着给出了凸函数的一个判定定理以及 Jesen 不等式然后讨 论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数具 有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不 等式的正确性因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推 广研究起着举足轻重的作用在不等式证明中的应用并举例说明解题
3、思路与证明方法， 最后证明了几个常见的重要不等式并得到了几种常用凸函数的形式 关键词 凸函数，凸性不等式，jensen 不等式 Abstract First has given the convex function three model definition， has analyzed between them the relations， and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as
4、 the Jesen inequality. Then discussed convex function several commonly used nature， has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application， the use convex
5、 function nature proof inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore， the correct understanding convex functions definition， the nature and the application， carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the
6、 application and explains with examples the problem solving mentality and the certificate method， finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms. Key words Convex function， convexity inequality， jensen inequality 内江师范学院本科毕业论
7、文 0 1 引言引言 凸函数是一类常见的重要函数，上世纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要 概念已在许多数学分支得到广泛应用例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理 论等当中常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线 上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一 点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数现行高等数学教 材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了 不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了 利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用凸函数
8、在不等式的研究中尤为重要，而不等 式证明最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分重要凸函数的 性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究本文就凸函数的性质介绍了几条 常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用 2 凸函数的等价定义凸函数的等价定义 定义 11 若函数对于区间内的任意以及，恒有( )f x( , )a b 12 ,x x(0,1) ， 1212 (1)()(1) ()fxxf xf x 则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b 其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间的割线总在( )yf x 1122 ( ,(),(,()x
9、f xxf x 曲线之上 定义 2 若函数在区间内连续，对于区间内的任意，恒有( )f x( , )a b( , )a b 12 ,x x ， 12 12 1 ()()() 22 xx ff xf x 则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b 其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间割线的中点( )yf x 1122 ( ,(),(,()xf xxf x 总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上 定义 3 若函数在区间内可微，且对于区间内的任意及，恒有( )f x( , )a b( , )a bx 0 x ， 000 ( )()()()f xf xfxxx 则称为区间上的凸函数( )f x(
10、 , )a b 内江师范学院本科毕业论文 1 其几何意义为：凸函数曲线上任一点处的切线，总在曲线之下( )yf x 以上三种定义中，定义 3 要求在内是可导的，定义 2 要求在( )yf x( , )a b( )f x 上是连续的而定义 1 对函数则没有明显地要求实际上可以证明在定义( , )a b( )yf x 1 中，函数在上是连续的而定义 1 和定义 2 两个定义是否要求函数( )yf x( , )a b 是可导的，则没有提出如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的( )yf x 2.1 凸函数三种定义的等价性的讨论凸函数三种定义的等价性的讨论 2.1.12.1.1 定义定义 1 1
11、定义定义 2 2 证明 定义 1定义 3，取， 由定义 1 推得定义 2 1 2 定义 2定义 1 首先，论证对于任意的及有理数，不等式 f x 12 ,x xa b0,1 ， 1212 11fxxf xf x 成立事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即 ， 12 121 12 222 0. 2 nn nn n n aaaa a aa 其中或 1，由于也是有理数所以也可以表示为有0 i a 1,2,1 ;1 n ina1 穷二进位小数，即 ， 12 121 1 2 222 10. 2 nn nn n n bbbb bbb 由于，有或 1，于是110 i b 1,2,1 ;1 n i
12、nb 1212 1,2,1 iiii f a xb xa f xb f xin 所以 12 1fxx 1212 121121 12 222222 22 nnnn nnnn nn aaaabbbb fxx 内江师范学院本科毕业论文 2 22 22 1 11212 11 2211 2222 nn nn nn aabb f a xb xfxx 2323 231231 1 11212 11 222222 () 22 2 nnnn nnnn nn aaaabbbb a xb xxx f 22 22 111212 11 2211 2222 nn nn nn aabb a f xb f xfxx 33 11
13、12212212 222 111221221112 21 12 1 221111 * 222222 111 222 1 22 nn nn nn nn n nn n ab a f xb f xa f xb f xfxx a f xb f xa f xb f xaf xbf x a xb x f 111221221112 21 12 111 222 1 2 nn n nn n a f xb f xa f xb f xaf xbf x a f xb f x 1212 121121 12 12 222222 22 1 nnnn nnnn nn aaaabbbb f xf x f xf x 下面再论证对为无理数时定义 1 也成立事实上，对任意无理数， f x0,1 存在有理数列，所以 0,1 , nn n ， 1212 11 nn xxxxn 由于在内连续，所以 f x, a b 12 12 12 12 12 1 lim1 lim1 lim1 1 n n n n n n fxx fxx fxx f xf x f xf x 综上即知，定义 1 与定义 2 等价 内江师范学院本科毕业论文 3 2.1.22.1.2 定义定义 1 1定义定义 3 3 证明 定义 1 定义 3：对内任意的及，若，则取，使, a b 0 xx 0 xx0
