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1、第13讲 二次函数的应用 考点 考点二次函数的实际应用 1.应用二次函数解决实际问题的方法 (1)弄清问题的变化过程,寻找数量关系; (2)根据等量关系列出函数表达式; (3)根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围; (4)利用函数性质解决问题; (5)检验并写出合适答案. 考点 2.二次函数应用问题的常见类型 (1)最值型 列出二次函数表达式,根据自变量的实际意义确定自变量的取 值范围; 配方或用公式法求顶点; 如果顶点在自变量的取值范围内,那么二次函数在顶点处取得 最大值(或最小值);如果自变量的取值范围是x1xx2,顶点在自变 量的取值范围x1xx2内,则当 ,如果顶点不在 此范围内,
2、则需根据二次函数增减性确定最值. 考点 (2)现实生活中的抛物线型 弄清函数中自变量和函数的实际意义,建立平面直角坐标系, 将题目中实际条件转化成坐标; 利用待定系数法求出二次函数关系式; 将题目中提出的实际问题转化为函数问题; 利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题. (3)几何图形面积型 找出引起面积变化的长度、坐标或时间等作为变量; 找出题目中变量与面积的对应关系,求出二次函数关系式; 确定自变量的取值范围; 利用函数性质求解,并检验其是否符合实际问题. 命题点1命题点2命题点3命题点4 命题点1 二次函数与增长率 1.(2014安徽,12,5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元
3、,以 后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三 月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y=a(1+x)2 . 解析 一月份新产品的研发资金为a元,二月份起,每月新产品的研 发资金与上月相比增长率都是x, 二月份研发资金为a(1+x).三月份的研发资金为 y=a(1+x)(1+x)=a(1+x)2. 命题点1命题点2命题点3命题点4 命题点2 几何图形面积与二次函数 2.(2015安徽,22,12分)为了节省材料,某水产养殖户利用水库的岸 堤(岸堤足够长)为一边,用总长为80 m的围网在水库中围成了如图 所示的三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设 BC的长度
4、为x m,矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围. (2)x为何值时,y有最大值?最大值是多少? 命题点1命题点2命题点3命题点4 命题点1命题点2命题点3命题点4 命题点3 利润与资源的最优化 3.(2017安徽,22,12分)某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定 每千克售价不低于成本,且不高于80元.经市场调查,每天的销售量 y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表. (1)求y与x之间的函数表达式. (2)设商品每天的总利润为W(元),求W与x之间的函数表达式(利润= 收入-成本). (3)试说明总利润W随
5、售价x的变化而变化的情况,并指出售价为多 少元时获得最大利润,最大利润是多少? 命题点1命题点2命题点3命题点4 解:(1)设y=kx+b. y=-2x+200(40x80). (2)W=xy-40y=x(-2x+200)-40(-2x+200)=-2x2+280x-8 000=-2(x- 70)2+1 800. (3)由(2)可知,当40x70时,W随x的增大而增大,当70x80时,W 随x的增大而减小,当x=70时利润最大,为1 800元. 命题点1命题点2命题点3命题点4 命题点4 现实生活的抛物线 4.(2012安徽,23,14分)如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球 从O点正上方
6、2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行 的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距 离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m. (1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围) (2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由. (3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围. 命题点1命题点2命题点3命题点4 考法1考法2考法3 考法1图形面积问题 例1(2016安徽)如图,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与 B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点
7、C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为 x(2x6).写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达 式,并求S的最大值. 考法1考法2考法3 解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx, (2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CEAD于 点E,CFx轴于点F. 则S=SOAD+SACD+SBCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x,所以S关于x 的函数表达式为S=-x2+8x(2x6). 因为S=-(x-4)2+16,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值, 最大值为16. 考法1考法2考法3 方法总结求图
8、形的面积,一般通过转化解决,本题连接CD和添加 一些垂线把四边形OACB的面积转化为几个三角形面积的和,把得 到的二次函数配方成顶点形式可求二次函数的最值. 考法1考法2考法3 对应训练 1.(2017山东潍坊)工人师傅用一块长为10 dm,宽为6 dm的矩形铁 皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚 度不计) (1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求 长方体底面面积为12 dm2时,裁掉的正方形边长多大. (2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进 行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费 用为2元,裁掉
9、的正方形边长多大时,总费用最低?最低为多少? 考法1考法2考法3 解: (1)如图所示. 设裁掉的正方形的边长为x cm, 由题意得(10-2x)(6-2x)=12,即x2-8x+12=0, 解得x1=2,x2=6(舍去). 所以裁掉的正方形的边长为2 dm. (2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x5(6-2x),所以0x2.5. 设总费用为w,由题意可知 w=0.52x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x) =4x2-48x+120=4(x-6)2-24. 因为其图象对称轴为x=6,开口向上,所以当00)的相关 费用,当40x45时,农经公司的日获利的最大值为2 430元,求a的
10、值.(日获利=日销售利润-日支出费用) 考法1考法2考法3 解:(1)假设p与x成一次函数,设p=kx+b, 由表格知当x=30时,p=600,当x=50时,p=0, p=-30x+1 500,把x=35,p=450;x=40,p=300;x=45,p=150代入,均 符合; 假设p与x成二次函数、反比例函数时,仿照上述方法均不符合 .p与x的关系式是p=-30x+1 500. (2)设每日的销售利润为y元, 由题意得y=(x-30)p=(x-30)(-30x+1 500)=-30(x-40)2+3 000. 当销售价格定为40元/千克时,才能使每日销售利润最大. 考法1考法2考法3 (3)设
11、农经公司日获利W元,则W=y-ap =-30(x-40)2+3 000-a(-30x+1 500) =-30x2+(2 400+30a)x-1 500a-45 000 当40x45时,日获利最大值为2 430元, 分三种情况: 考法1考法2考法3 2 250-150a=2 430. a=-1.2不合题意,舍去.a的值为2. 方法总结本题考查了利润最大化问题,解题的关键根据题目给出 的自变量的取值范围,列出对应函数关系式.一般把二次函数关系 式配成顶点形式,结合自变量取值范围和抛物线的开口方向解决问 题.但要注意:若抛物线顶点横坐标的值不在自变量取值范围内,我 们就需要结合函数图象的增减性质求出
12、最值. 考法1考法2考法3 对应训练 2.(2017山东济宁)某商店经销一种学生用双肩包,已知这种双肩包 的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(个 )与销售单价x(元)有如下关系:y=-x+60(30x60).设这种双肩包 每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数关系式. (2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大 利润是多少元? (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元,该商店销 售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少 元? 考法1考法2考法3 解: (1)w=(x-30)y=(x-30)(-x+60)=
13、-x2+90x-1 800. w与x的函数关系式为w=-x2+90x-1 800(30x60). (2)w=-x2+90x-1 800=-(x-45)2+225. -142, x2=50不符合题意,应舍去. 销售单价应定为40元. 考法1考法2考法3 考法3现实生活中的抛物线 例3(2017浙江金华)甲、乙两人进行羽毛球比赛,羽毛球飞行的 路线为抛物线的一部分,如图,甲在O点正上方1 m的P处发出一球, 羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y=a(x -4)2+h.已知点O与球网的水平距离为5 m,球网的高度为1.55 m. (1)当a= 时, 求h的值. 通过计算判断
14、此球能否过网. (2)若甲发球过网后,羽毛球飞行到离点O的水平距离为7 m,离地 面的高度为 m的Q处时,乙扣球成功,求a的值. 考法1考法2考法3 考法1考法2考法3 方法总结本题考查了现实生活的抛物线型问题,解这种问题往往 先将题目中给出实际意义的量转换成点的坐标,再通过待定系数法 求出函数解析式,再通过待求量在函数中表示的意义,利用函数解 析式求解.自变量x和函数y对应生活实际意义的理解是解这种问题 的突破口. 考法1考法2考法3 对应训练 3.(2017山东德州)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越 来越美丽.小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池,在水池中心 竖直安装了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析 式. (2)求出水柱的最大高度是多少.
