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1、固定收益证券 随机分析及鞅论简述 张晓南 厦门大学金融系 Apr. 23, 2009 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? PartI 随机分析 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 目录 . ? 预备知识 测度空间与滤子 Brown 运动 随机变量的收敛 变分浅述 . ?随机微积分 伊藤清之前 伊藤清的种种 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 要点 . ? 预备知识 测度空间与滤子 Brown 运动 随机变量的收敛 变分浅述 . ?随机微积分 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 测度空间相关定
2、义 . D(可测空间) . . . . . . 为一非空集合，其中元素为 。以 的某些子集为元素的 集合称为（ 上的）集类。若某一集类对可列交及取余运算 封闭，且包含 和 ，则称其为 -代数。 设 F 为 上的一 -代数，称序偶 (,F) 为一可测空间。 . D(测度空间) . . . . . . 设 (,F) 为一可测空间， 为定义于 F 取值为 R+B 0,+ 的函数，如果 () = 0 且 具有可数可加性（-可加性） ，则 称 为 （或 (,F)）上的测度。三元组 (,F,) 为测度空 间。 若 () = 1，则称 (,F,) 为概率空间。 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?
3、, ? / ? 滤子 . D(滤子) . . . . . . 设 (,F) 为一可测空间，(I,) 为一全序指标集，则 F 中的 全序子集 FiiI成为一个滤子，如果有 Fi Fjifi j 这里的指标集 I 可以为离散或连续、有界或无界集合，如 N、 0,T、R+等。 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 自然滤子 . D(自然滤子) . . . . . . 设一概率空间 (,F,P) 上的右连续随机过程 X，考虑如下滤 子 FtB (Xs| s t) 其中 (Xs| s t) 为 Xs | s t, R 生成的 -代数。 则 Ft 被称为 F 对 Xt 的自然滤子，
4、或 Xt 生成的滤子。 . R . . . . . . 在随机分析中，滤子可以用来表示直到 t 时刻的信息，并且 这些信息随着时间的推移越来越精确。 任何随机过程都是对其自然滤子的适应过程。 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 要点 . ? 预备知识 测度空间与滤子 Brown 运动 随机变量的收敛 变分浅述 . ?随机微积分 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 标准B运动 . D(标准B运动Bt) . . . . . . B0= 0，Bt,t 0 是独立增量过程 对任意的 t 0 和 h 0 ，增量服从如下正态分布 Bt+h Bt N(0,
5、h)(平稳增量) 对每个样本点 ，Bt() 作为 t 的函数（样本轨道）是连续函 数 . R . . . . . . 时齐 M 性质 Pr(Bt+h y | Bt= x) = Pr(Bh y | B0= x) Pr(Bt+h y | Bt= x,Bu= xu(0 u = 0 则称 Xn 依概率收敛于 X，记为 plim n Xn= X 或 Xn P X 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 随机变量的收敛概念(.) 若对 中的 ， lim n P | Xn() X()= 1 则称 Xn 几乎处处（或几乎确定、依概率 1、强）收敛于 X， 记为 Xn a.e. X 或 X
6、n a.s. X 设 Xn Lp()， lim n Xn Xp= lim n ( E|Xn X|p)1/p= 0 则称 Xn Lp-收敛于 X，记为 Xn Lp X 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 随机变量收敛间的关系 对于 a.s. 收敛、依概率收敛和依分布收敛 a.s. P D 对于 Lp收敛 Lp P p 0 Lp Lq p q 1 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 要点 . ? 预备知识 测度空间与滤子 Brown 运动 随机变量的收敛 变分浅述 . ?随机微积分 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 全
7、变分 . D . . . . . . 设 为区间 a,b 上有限划分 : a = x0 x1 xn= b 的 全集，则实值右连续函数 F 的全变分定义为 Va b(F) B sup n1 i=0 |F(xi+1) F(xi)| 若 F 可微且其导数可积，则其全变分就是其函数图形弧长的 垂直部分，也即 Va b(F) = b a |F(x)|dx 当自变量为时间 t 时，通常将全变分写为 Vt(X) = V0 t(X) 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 有界变分与有限变分 . D . . . . . . 若函数 F 在区间 a,b 上全变分有限，则称其为 a,b 上的
8、有 界变分函数 F BV(a,b) Va b(F) + 若对于 R（或 R+）上任一子区间 a,b，函数 F 具有有限变 分，也即 F BV(a,b),a,b R（或 R+） 则称 F 在 R（或 R+）上具有有限变分。 令 FV(R+) 表示 R+上的全体右连续有限变分函数。 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 二阶变分 . D . . . . . . 区间 0,t 上有限划分 n: 0 = t0 t1 tn= t，其划分区 间满足 nB sup|ti+1 ti|,lim n n= 0 令 X 为 R+上的实值右连续过程，若对于任意的 t 0，极限 XtB lim
9、n tin (X ti+1 Xti) 2 存在，则这个过程叫做 X 的二阶变分。 若 X FV(R+)，则对任意的 t，Xt 0。 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? B运动的变分 由 Lvy 定理可以很容易的得出，Brown 运动 Wt的二阶变分 为 Wt= t 二阶变分不为零意味着不属于 FV(R+)，因此 Brown 运动具有 无限的全变分。 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 协变分 . D . . . . . . 条件与二阶变分相似，若 X 与 Y 的二阶变分存在，且对于任 意的 t 0，极限 X,YtB lim n tin (X
10、ti+1 Xti)(Yti+1 Yti) 存在，则这个 t 的函数叫做 X 和 Y 的协变分。 X,Yt存在，当且仅当 X + Yt存在，且 X,Yt= 1 2 ( X + Yt Xt Yt ) 二阶变分和协变分之间存在如下关系 X,X = X 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 要点 . ? 预备知识 . ?随机微积分 伊藤清之前 伊藤清的种种 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? R-S积分 . D . . . . . . 实变量 x 的实值函数 f 对另一个实值函数 g 的 Riemann- Stieltjes 积分定义为 b a f(x
11、)dg(x) B lim n n i=1 f(ci)(g(xi) g(xi1) 其中 ci xi1,xi,xi xi1= b a n . R . . . . . . 一般令 ci= xi1或 ci= (xi1+ xi)/2 定义式中极限符号内和式一般被称为 Riemann 和 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? L积分 . D . . . . . . 对离散随机变量 X = n i=1i1Ai（i R、Ai F） ，X 的积分 （期望）定义为 EX B X()dP() B i iPAi 我们也经常省略上式中的 ，仅写为 EX = XdP 张晓南 (厦门大学金融系)固定
12、收益证券A. ?, ? / ? L积分(.) . D(.) . . . . . . 若随机变量 X 为单调递增离散随机变量序列 Xn 的极限，也 即 Xn X，则 XdP B lim n XndP 对任意的随机变量 X，考虑分解 X = X+ X，其中 X+B sup(X,0),XB sup(X,0) 若 EX+ 且 EX ，则 XdP B X+dP + XdP 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? L-S积分 . D . . . . . . 考虑概率空间 (,F,P) 上的实值随机变量 X 和 Borel-可测映 射 f: R R，我们有 (,F,P) X (R,B,
13、PX) f R 其中 PXB B PX1(B) FX(x) B PX(,x = PX x 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? L-S积分(.) . D(.) . . . . . . 则 Lebesgue-Stieltjes 积分定义为 R f(x)dFX(x) B R fdPX= f XdP . R . . . . . . 后面的相等是因为 R fdPX= PX(B) = PX1(B) = 1X1(B)dPB = f XdP 张晓南 (厦门大学金融系)固定收益证券A. ?, ? / ? 有限变分函数的L-S积分 分布函数 FX在 (R,B) 上定义了一个测度 PX，满足 PX(,x = FX(x) 同样，我们也可以用有限变分函数 A 在 (R+,B) 上定义一个 测度 ，满足 (0,t) = At 于是对 A 我们可以定义 Lebesgue-Stietjes 积分 t 0 fudAuB 1(0,t(u)fudAu 特别的，有 t 0 dAu= (0,t) (0) = At A0 张晓南 (厦门大学金融系)固定收
