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1、分类加法计数原理与分 步乘法计数原理 说课人：张东辉 教材分析 分类加法计数原理、分步乘法计数原理这两个计数原 理是人们在大量实践的基础上归纳出来的基本规律。 它们不仅是推导本章1.2排列与组合中排列数、组合数 计算公式的依据，也是求解排列、组合问题的基本思 想，且教材将排列、组合及二项式定理的研究都作为 两个计数原理的典型应用而设置的。可见，其基本思 想方法贯穿本章内容的始终，因而，它们是学好本章 内容的关键。另一方面，这两个计数原理也是学生今 后学习概率及今后进一步学习高等数学有关分支的预 备知识。因此，理解和掌握两个计数原理应该是最基 本而重要的。 教学目标与重难点分析 教学目标：1、通
2、过实例，总结两个基本计数原理；正确理解“完成一件事情”的 含义、初步学会区分“分类”和“分步”、会利用两个原理分析和解决一些简单的应 用问题；2、通过典型的、学生熟悉的实例引导学生分析问题的本质，然后再抽 象概括出基本原理；通过简单应用使学生初步熟悉原理；3、体会数学来源生活 ，并为生活服务，以此激发学生学习本章的兴趣；通过“分类”和“分步”让学生初 步学会将复杂问题进行分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题 各个击破，达到化难为易，化繁为简。 重难点分析：（重点）归纳地得出分类加法原理与分步乘法计数原理能用它们 解决简单的实际问题；（难点）正确理解“完成一件事情”的含义，在具体的
3、实际 问题中正确区分“分类”和“分步”； 教学活动 问题1：用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的 座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ 问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘 轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天 中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 教师引导与学生讨论：你能说说这两个问题的共同特征？ 学生思考、讨论、交流，归纳概括问题的共同特征，试着叙述分类加 法计数原理；教师适当引导学生，帮助学生概括到“分类”和“加法”。 完成一件事有两类不同方案，在第1类 方案中有m种不同的方法,在第2类方案中 有n种不同的方法
4、，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 教学活动：通过两个问题的共同特征分析与思考，归纳 概括问题的共同特征，试着叙述分类加法计数原理；教 师适当引导学生，帮助学生概括到“分类”和“加法”。强 调：“完成一件事”，“2种不同的方法”，“分类加法” 例1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两 所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下： A大学B大学 生物学 化学 医学 物理学 工程学 数学 会计学 信息技术学 法学 如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？ 设计目的：通过例题的简单应用，使学生初步熟悉原理， 重点放在引导学生分析其中的“完成一件事情”是什
5、么。 。 归纳： 完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中 有m1种不同的方法，在第2类方法中有m2种不同 的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法 ，则完成这件事共有N= m1+m2+ + mn 种不同的方法 如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法 ，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的 方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法 ，那么应当如何计数呢？ 设计意图:推广原理，得到一般性的结论 问题1：从甲地到乙地，需要经过丙地。从甲地 到丙地有5条路，从丙地到乙地有6条路。从甲 地
6、到乙地，有多少条不同的路？ 问题2：用前6个大写英文字母和19九个阿拉 伯数字，以A1, A2,，B1, B2,的方式给教室 里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？ 教师引导与学生讨论： 问题1，比较好理解，可以让学生体验分步完成的思想 你能列出问题2所有的号码吗？ 从你所列号码中，你 发现了什么规律？这两个问题于前面分类加法的两个引例有 什么不同？ 分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤 ，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N= mn种不同的方法。 教学活动：通过上述两个问题的共同特征分析和讨论归纳概 括分步计数问题的共同特征，得出分步乘法计数原理
7、。先 让学生思考、讨论、交流，试着叙述分步乘法计数原理； 教师适当引导学生，帮助学生概括到“分步”和“乘法”。给出 原理时要强调：要明确 “完成一件事情”。 例2：设某班有男生30名，女生24名. 现要从中选 出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少 种不同的选法？ 设计意图：由于本例题属于简单题，引导学生自己分析完成。重 点放在引导学生分析其中的“完成一件事情”是什么。通过这个例题 的简单应用，巩固基本原理，使学生初步熟悉原理。适当提问： 假如只选择了男同学参加比赛，则完成了这件事吗？同样的，只 选择了女同学参加比赛，则完成了这件事吗？通过这两个问题的 回答，归纳与小结,分步乘法计数原理中
8、的“完成一件事需两个步骤 ”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成两个步骤，在每个 步骤中任取一种方法，然后相继完成这两个步骤就能完成这件事 。即各个步骤是相互依存的，只有依次完成每个步骤才能完成这 件事。 归纳： 完成一件事，有n个步骤 在第1步骤有m1 种不同的方法，在第2个步骤m2种不同的方法， ，在第n步骤有mn种不同的方法，则完成这件 事共有N= m1m2 mn 种不同的方法 如果完成一件事有3个步骤方案，在第1步中有m1种不同 的方法，在第2步有m2种不同的方法，在第3步有m3种不 同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事情有n个步骤案，在每一类中都有若干种
9、 不同方法，那么应当如何计数呢？ 设计意图:推广原理，得到一般性的结论 例3、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2 层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体 育杂志. (1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法? (2) 从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不 同取法? 设计意图：正确地区分分类与分步的区别。 例4、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别 挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的 挂法？ 补充练习： 1、4名学生分别报名参加学校的足球队、篮球队 、乒乓球队，每人限报其中的一个球队，不同的 报名种数是？ 2、将4封信投入3个不同的邮筒，有多少
10、种不同 的投法？ 设计意图：准确理解“完成一件事情”的含义 加法原理 乘法原理 联系 区别一 完成一件事情共有n类 办法，关键词是“分类” 完成一件事情,共分n个 步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法都能独立完成 这件事情。 每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。 分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 区别三 各类办法是互斥的、 并列的、独立的 各步之间是相关联的 分类计数与分步计数原理的区别和联系： P6练习1、2、3 设计意图：利用原理解决简单问题，使 学生逐步熟悉原理。 学生独立完成，个别辅导，教师提问 “ 完成一件事情”是什么 1、解决有关计数原理的题目，首先要弄清楚“完成一件事情” 是指什么； 2、分类加法计数原理中每类办法都能独立完成 这件事情。分步乘法计数原理中的每一步得到的只是中间结果 ，任何一步都不能能独立完成这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每个步骤完成了，才能完成这件事情 。 3、分类时要做到“不重不漏”、分步乘法是要做到“步骤完整。
