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1、教 案课程: 电磁场与电磁波内容: 第1章 矢量分析课时:8学时教师：赵玲玲课 题矢量分析科目电磁场与电磁波课 时6学时教师赵玲玲授课班级时间 学年第 学期教学目的与要求知识目标：、理解矢量与标量的定义，矢量的代数运算关系、理解标量场与矢量场的概念。、复习直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系这三个最常用的正交坐标系，以及三种坐标系中单位矢量之间的关系。、理解矢量函数的通量与散度。5、定义高斯散度定理，了解其应用。6、理解矢量函数的环量与旋度。7、定义斯托克斯定理，了解其应用。8、理解标量函数的方向导数与梯度9、格林公式及其应用10、亥姆霍兹定理及其意义能力目标：根据学生已具备的关于矢量和坐标系等
2、方面数学知识，进一步引导学生对数学知识的应用和拓展，培养学生的想象力及利用所学知识分析、总结问题的能力。情感目标：引导学生将抽象的数学分析与现实物理世界尽可能融合，激发学生对理论学习的热情。概述电磁场理论着重于研究电磁现象及其场的基本规律，其中所涉及到的一些物理量，如电场强度、磁场强度等都具有确切的物理意义。当对这些物理量的描述与空间坐标或方向性有关时，通常需要使用矢量来描述它们，这些矢量在空间的分布就构成了所谓的矢量场。为了后面各章学习方便，本章首先介绍在分析矢量场时所需要的一些矢量代数和场的相关知识。教学重点矢量的通量与散度，矢量的环流与旋度，标量的梯度等概念教学难点矢量的通量与散度，矢量
3、的环流与旋度，标量的梯度等概念的理解和计算教学方法讲述法、演示法、发现法、讨论法教学环境教室教学准备课件教学过程1、复习提问 2、引入新课3、讲解新课 4、归纳总结5、布置作业 学时分配矢量代数，正交坐标系，标量场、矢量场2学时通量、散度、高斯定理，环流、旋度，斯托克斯定理2学时方向导数、梯度，格林公式，亥姆霍兹定理2学时习题课2学时小计8学时教学环节教学过程复习引入新课讲述新课归纳总结布置作业多媒体课件展示：第1章 矢量分析提示：本章的重点内容提问：什么叫矢量？矢量和标量的关系？多媒体课件展示： 1.矢量代数1、矢量和标量的定义以及表示。2、矢量的加法和减法。3、矢量的标积4、矢量的矢积5、
4、常用的矢量运算恒等式设置悬念、激发探究提问：什么叫场？场由什么构成？、你对场的认识是怎样的？场有大小和方向吗？如何描述？、多媒体课件展示：直角坐标系、圆柱坐标系和球面坐标系在这里我们将要说明，标量场用空间和时间变量的标量函数表示，而矢量场则用空间和时间变量的矢量函数表示。然而,首先要明确的是本章所说的“场”是什么,从我们对本章内容的研究观点来看，这里所说的“场”是指某种物理量在空间的分布。具有标量特征的物理量在空间的分布是标量场，具有矢量特征的物理量在空间的分布是矢量场。场是物理量的分布，应服从因果律。其因，称之为场源，场都是由场源产生的。场、源、场的环境这三者之间的关系可用一组微分方程描述，
5、电磁场及其源的关系的方程就是被称为麦克斯韦方程组，它是一组矢量偏微分方程组。多媒体课件展示：用矢量线来描述“场”提问：在不同坐标系中，场如何描述？ 引导学生：能与电磁波的运行进行联想吗？多媒体课件展示： 1.2 正交坐标系1、直角坐标系2、圆柱坐标系3、球坐标系4、三种坐标系之间的相互转换5、坐标系中单位矢量的概念提问：三种坐标系中单位矢量之间的关系是什么样的？多媒体课件展示：1.3 矢量函数的通量与散度为了研究矢量场的空间变化情况，我们需要引入矢量场的散度（divergence）的概念。矢量函数的散度是一个标量函数，它表示矢量场中任意一点处，通量对体积的变化率，即描述了通量源的强度。因此，在
6、具体讨论散度之前必须先从通量的概念入手。矢量场中，曲面上取一个面元，因为ds很小，在面元上的矢量可看作相等，方向也可看作相同。那么 称为矢量穿过的通量(flux)。 记作：提问：表示了什么物理意义? 又表示了什么物理意义?现象：观察矢量的投影！设问：为什么要将矢量投影到曲面的法线方向？结论：矢量场也称为通量面密度矢量。引导学生：想象水流！结论：流过某个截面积的流量就是通量！设问：如果想要知道水流流过这个截面积时的分布情况，怎么办呢？引出：散度（divergence），记作：div即 1、div表示在场中任意一点处，通量对体积的变化率，也可看作在该点处一个单位体积通过的通量，它表示了场中各点的场
7、与通量源的关系。2、当div0时，表明该点存在正源，是发出能量线的；当div0时，表明该点存在负源，是吸收通量线的；当div0时，表明该点无源；另外，div与所取的体积形状无关。因为当0时，所有的尺寸都趋于0。3、引入一个矢性微分算子，称为哈密顿算子(W.R.Hamilton operator)，即 于是，散度在直角坐标系下的表示式可以写成4、高斯散度定理该定理用数学表达式可描述为 其意义是：任意矢量函数的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函数在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分，亦即，一个矢量通过一闭合面的通量等于该矢量的散度对该闭合面所包围的体积的体积分。多媒体课件展示
8、：1.4矢量函数的环量与旋度提问：对于磁场，在任意曲面内，都有，似乎是无源的，其场又是如何产生的呢？事实上，它只是没有通量源，其场就是由旋涡源产生的。要讨论旋涡源所形成的场，就需要讨论矢量场的旋度(rotation)。要讨论矢量函数的旋度，必须先引入环量的概念。提问：什么叫环量？引导学生：想象水流中的漩涡！引出环量： 在矢量场中，取任意一闭合路径，矢量函数沿闭合路径的线积分称为矢量沿闭合曲线的环量。是闭合路径上的线元矢量，即路径上的切向长度矢量，为该点处与的夹角。 因此 提示学生注意：上式中又出现了和点乘，解释其物理意义。结论：环量是一个代数量（标量），其大小和正负与矢量场的分布有关，而且与所
9、取积分环绕方向有关, 环量表示绕线旋转趋势的大小！设问：如果想要知道漩涡的分布情况，怎么办呢？结论：环量只能描述闭合路径内是否存在漩涡源，而不能描述场中某一具体点的性质和分布规律，若要进一步地描述这些规律，就需要引入旋度。引出：旋度（rotation）记作：rot 1、 当面元矢量与旋涡轴方向相重合时，极限值为最大值，也就是该矢量的模，这个矢量称为的旋度，记作：rot。2、引入一个矢性微分算子，称为哈密顿算子(W.R.Hamilton operator)，即3、 =rot 4、斯托克斯定理一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。该定理用数学表达式可描述为5、旋
10、度的性质：任何一个矢量的旋度的散度恒等于0。用数学公式可表示为6、旋度运算符合如下规则： 7、数学上将称为拉普拉斯（Laplace）算子，并且有。在直角坐标系中 结论：旋度表示旋涡源与其产生的场之间的关系，如果在矢量场空间，场的旋度处处等于，则这种场称为无旋场或保守场，如静电场、重力场。但在无旋场中，散度必不为，否则将无任何场存在。散度表示通量源与其产生的场之间的关系，如果在矢量场空间，场的散度处处为，则这种场称为管形场或无散场。在实际的物理世界中，通常都存在着由通量源和旋涡源共同产生的矢量场，如运动电荷所产生的场。当然，也可能会在有限的区域内，存在着既无散又无旋的无源矢量场，这种场被称为调和
11、场。多媒体课件展示：1.5 标量函数的方向导数与梯度提问：如何对标量场进行分析？能否利用上述的通量与散度、环量与璇度分析标量场？在什么条件下，矢量场才可以标量来描述呢？先引导学生观察等值面图1.24再向学生分析等值面的性质：标量场中每一点都有一个等值面通过，且只有一个。也就是说，等值面充满整个标量场所在的空间，且互不相交。引出：方向导数（Derivative） 方向导数表达式为提问：函数()沿哪个方向的变化率最大呢？最大变化率又是多少呢？引出：梯度（Graduate）记作gradgrad1、矢量的方向就是函数u(x,y,z)变化率最大的方向，其大小正好是这个最大变化率的数值。因此，我们把矢量称
12、作函数u(x,y,z)在给定点处的梯度.梯度可表示为 grad2、标量函数的梯度有如下性质：（1）一个标量函数的梯度是一个矢量函数。梯度的方向就是函数变化率最大的方向，即与等值面垂直的法向方向，并且数值增大的方向，梯度的模等于函数在该点的最大变化率的数值；(2)在标量场中任意一点处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数u()增大的方向；(3)函数在给定点处沿任意方向的方向导数等于函数的梯度在方向上的投影，即cos()(4)梯度的重要性质：梯度的旋度恒等于0。其数学表达式为rot(grad)0 3、梯度运算有如下规则：多媒体课件展示： 1.6 格林公式格林公式又称格林定理，是矢量分析中的重要公式
13、。在电磁场理论中，在研究解的唯一性和电磁辐射及电磁波传播等问题中经常用到。第一格林公式：第二格林公式：多媒体课件展示： 1.7 亥姆霍兹定理提问：用散度和旋度是否能唯一地确定一个矢量场呢？分析散度和旋度的区别：（1） 矢量场的散度是一个标量函数，而矢量场的旋度却是一个矢量函数；（2） 散度表示场中某点的通量密度，它是场中任一点通量源强度的量度；而旋度表示场中某点的最大环量强度，它是场中任一点处旋涡源强度的量度。（3） 从散度公式 可知，它取决于场分量对x 的偏导数、对y的偏导数以及对z的偏导数。所以，散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定；而由旋度公式可知，它取决于分量对y、z的偏导数和对x、z的偏导数、以及对y、x的偏导数。所以，旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。以上比较说明，散度表示矢量场中各点的场与通量源的
