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1、学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 1 1 1 1 第七讲第七讲 裂项技巧裂项技巧 一、一、一、一、问题引入问题引入问题引入问题引入 在前六讲中，我们学习了数论的基本内容。第七讲开始我们学习简便计算 的技巧，本讲中我们先来学习一下裂项与拆分。 将算式中的项进行拆分， 使拆分后的项可前后抵消， 这种拆项计算成为裂项。 裂项分为分数裂项和整数裂项， 共同的特点是项数较多且各项之间有规律。裂项 的题目无需复杂的计算， 一般都是中间部分消去的过程，但是如果没有掌握裂项
2、的技巧和规律，仅凭对式子各项依次计算，往往是极为繁杂，基本上得不到正确 结果的。 二、二、二、二、知识总结知识总结知识总结知识总结 1 1 1 1、分数裂项分数裂项分数裂项分数裂项 分数裂项源于分数的通分： 分数减法通分为 b b11 = a a ba ， 所以) 11 ( 1 b 1 baaba = ， 据此可以进行裂差。 分数加法通分为 b 11 + =+ a ab ba ，所以 baba ba11 += + ，据此可以进行裂和。 （1 1 1 1）裂差型计算裂差型计算裂差型计算裂差型计算 裂差型计算可以将一个分母为多个数相乘的分数项化成两个相减的分数， 从 而将一个全部由加法组成的算式变
3、为既有加法又有减法的算式， 以寻求加减之间 相互抵消从而简化计算。 例如： 54 1 43 1 32 1 21 1 + + + =）（）（）（ 5 1 4 1 45 1 4 1 3 1 34 1 3 1 2 1 23 1 ) 2 1 1 1 ( 12 1 + + + = 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 + 学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 2 2 2 2 = 5 4 5 1 1= 什么样的算式可以进行裂差型分数裂项呢？ 从整体上
4、来看，这个算式应该是多个分数相加的形式，分子一般都相同， 分母为两个或多个数字相乘。 分母为等差数列的连续两项或多项，各个分母上的末项和首项之差为定 值。 相邻两个分母上的因数首尾相接。 如上面我们举得例子中 1、2、3、4、5 构成等差数列，1 和 2, 2 和 3, 3 和 4， 4 和 5 都是这个等差数列的连续两项，2-1,3-2,4-3,5-4 为定值 1。第一项分母 为 1 和 2，第二项分母为 2 和 3，第三项分母为 3 和 4，第四项分母为 4 和 5， 都是首尾相连的。 我们举得例子分母为两项的乘积，实际上只要满足上述三项，分母可以为多 个因数相乘。例如： ) )2() 1
5、( 1 ) 1( 1 ( 2 1 )2) 1 1 + + + = +nnnnnnnnn）（ =） ）（）（ （ 21( 1 1 1 2 1 + + nnnn n、n+1、n+2 是等差数列的三项，且（n+2）-n 为定值 2，若第一个分数 分母中 n=1,第二个分母中 n=2.第一项分母为 1、2、3，第二项分母为 2、3、 4，也是首尾相连，因此可以进行裂差型裂项。 （2 2 2 2）裂和型计算裂和型计算裂和型计算裂和型计算 裂和型裂项形式多变，根据 baba ba11 += + 将一项裂为两项之和，之后进行加 减相消或者对同分母分数项凑整。 例如 4 1 12 7 3 2 += 4 1 4
6、3 43 3 2 + += 4 1 ) 4 1 3 1 ( 3 2 +=1 本题中想要进行裂和型裂项，关键是要观察出 7=3+4,12=34，从而将 12 7 裂解为 4 1 3 1 +。 学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 3 3 3 3 2 2 2 2、整数裂项整数裂项整数裂项整数裂项 整数裂项根据提取公因式的原理 n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1） =n（n+1）（n+2）-（n-1） =3n（n+1） 所以 n（n+1）= 3 1 n（n+1
7、）（n+2）- 3 1 （n-1）n（n+1） 例如 12+23+34 = 3 1 （123-012）+ 3 1 （234-123）+ 3 1 （345-234） = 3 1 （123-012+234-123+345-234） = 3 1 （345-012） =20 进行整数型裂项要满足下列条件： 整体上，这个算式应该是多个整数项相加的形式，每个整数项为多个整数 相乘。 每个整数项的各个因数是等差数列的若干项，且末项和首项的差为定值。 相邻两项个因数应为首尾相连。 同样算式只要满足上述三个条件，无论每一项是几个因数相乘，都可以进行 整数裂项。例如 n（n+1）（n+2） = 4 1 n（n+1
8、）（n+2）（n+3）- 4 1 （n-1）n（n+1）（n+2） n（n+1）（n+2）（n+3） = 5 1 n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）- 5 1 （n-1）n（n+1） （n+2）（n+3） 学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 4 4 4 4 三、三、三、三、例题讲解例题讲解例题讲解例题讲解 例 1：分数裂差型裂项 20321 1 321 1 21 1 + + + + + 【分析】 本题看似不符合分数裂项的条件，但是分母是一个等差数列的和，
9、 1+2+3+.+n=n（n+1）2， 所以原式= 2120 2 43 2 32 2 + + =2（ 21 1 20 1 4 1 3 1 3 1 2 1 +） = 21 19 例 2：分数裂和型裂项 42 13 30 11 20 9 12 7 6 5 7 6 5 3 + 【分析】 原式=) 7 1 6 1 () 6 1 5 1 () 5 1 4 1 () 4 1 3 1 () 3 1 2 1 ( 7 6 5 3 + =) 6 1 6 1 3 1 3 1 () 4 1 4 1 2 1 () 7 1 7 6 () 5 1 5 1 5 3 (+ =4 例 3：整数型裂项 123+234+345+91011 【分析】 原式= 4 1（1234-0123）+ 4 1（2345-1234）+ + 4 1(9101112-891011) 学而思培优学而思培优学而思培优学而思培优奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结奥数五六年级知识点总结吴超超老师吴超超老师吴超超老师吴超超老师 5 5 5 5 = 4 1(9101112-0123) =2970
