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1、厦门大学第十二届“景润杯”数学竞赛试卷（理工类）竞赛日期 2015年5月30日 竞赛时间 2013.06.22 （理工卷）一、 求下列各题极限（每小题5分，共15分）（1） 求极限 .原式.另解：原式. （两次应用拉格朗日中值定理）其中在之间，在之间.(1) 设，求极限.解：将递推的数列等式看成是二阶常系数的齐次差分方程其特征方程为，其特征根为，故此差分方程的通解为，其中为常数，其特解可由定出,由于，所以 .另解：由题设条件知，对，且，即严格单增，所以，即有 ，故 所以 ，即.（3）设可微函数满足 ，求.解：由 得.记 .二、（8分）设函数可导，且满足，其中是常数，且，求的导数.解：由, ，得
2、，即令 ，则 (代入).三、（8分）设函数在上有连续的导数，且，证明至少存在一点，使得.证明：构造辅助函数，则在上连续可导，且，若对，则有下面两种情况(i) 对，此时，从而，这与矛盾，(ii) 对，此时，从而，这与矛盾。从而至少存在一点，使得.四、（8分） 证明不等式 证明：设，令 解得驻点为，故是的极小值点，是的极大值点。由罗尔定理，在区间上，仅有唯一的一个零点，当时，当时，又,因此在上，从而在上，单增，且类似地，由罗尔定理，在区间上，仅有唯一的一个零点，当时，当时，又，因此在上，从而在上单减，且，综上所述，在区间上恒大于零，即在上的最小值为，即，从而不等式成立。五、设是上的连续函数，且对有
3、 （称具有反序性）（i） 证明：（ii） 利用（i）证：若是上的连续函数，且对有，则.证：(i)由 得不等式两端在D上求二重积分，其中，即即 （ii）由于与在上0,1具有反序性，则由（i）因为，所以 .六、（10分）已知曲线，在纵坐标为的点处的切线为，是通过且与曲面相切的平面，求的方程.解：若以为参数，曲线C的参数方程为，在对应点处的切向量为，所以在点处的切线的方程为，或者 过的平面束方程为，即 （1）记，设与曲面的切点为，则曲面在点处的法向量为，由于所求的平面与相切，因此应满足 ，由此可得，且, (在上)又因为也应在上，将其代入（1）得，即 解得，因而得到所求的的平面方程为或.七、（10分）
4、设分别是函数在上的最大值和最小值，是连接原点与点的位于第一象限内的光滑曲线，并且与线段围成的闭区域的面积为1，求关于坐标的曲线积分.（其中为逆时针方向）解：先确定，再计算.由的积分表达式 ，于是的根为，并且所以 ， （由格林公式）.八、（10分）设幂级数的系数满足，求此幂级数的和函数.解：设，则，由条件，有解此一阶线性微分方程，得. 由，得，故.九、（12分）设是过原点，方向为（其中）的直线，均匀椭球（其中，密度为1）绕旋转（1）求其转动惯量；（2）其转动惯量关于方向的最大值和最小值.解：（1）设旋转轴的方向向量为，椭球内任意一点到旋转轴的距离的平方为由积分区域的对称性，其中，而同理所求的转动
5、惯量为.（2）设考虑目标函数在约束条件下的条件极值. 设拉格朗日函数为令求得极值点为 通过比较可知，当时，即绕轴转动惯量最大，即，当时，即绕轴转动惯量最小，即.十、（9分）在不断抽打下，陀螺会飞快地旋转，但当一旦停止对它进行抽打，它也就不再转动而停下来.设陀螺材质均匀，且旋转体所占的立体区域为，试求当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下它的中心轴与水平地面的夹角.如图（轴截面）(其中A为陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下与地平面的接触点)解：首先求陀螺的质心坐标.由于陀螺材质均匀的旋转体，所以它的质心就是几何体的形心，根据对称性可知，必有，而.所以有陀螺的质心坐标为.当陀螺停止转动后，在稳定平衡状态下时，它的质心到水平地面的距离应达到最短。如轴截面，设陀螺在稳定平衡状态下，它与水平地面的切点为于是问题就转化为一个条件极值问题，其目标函数为，约束条件为（陀螺侧面的轴截线）将其代入目标函数，有解驻点，令 ，当时，当时，从而得到轴截线与轴在点处的切线与轴的夹角为，.
