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1、目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解 齐次方程通解非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法:则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解方程 解: 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐次方程得 解得 故原方程通
2、解为 令 目录 上页 下页 返回 结束 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例2. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 解: 列方程 . 已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 因此有 即 初始条件: 由回路电压定律: 其中电源 求电流感 L 都是常量, 目录 上页 下页 返回 结束 解方程: 由初始条件: 得 利用一阶线性方程解的公式可得 目录 上页 下页 返回 结束 暂态电流稳态电流 因此所求电流函数为 解的意义: 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求方程的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可变形为 所求通解为 这是以为
3、因变量 y 为自变量的一阶 线性方程 目录 上页 下页 返回 结束 *二、伯努利 ( Bernoulli )方程 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (线性方程) 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求方程的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将代入, 得原方程通解: 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 一阶线性方程 方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法. 方法2 用通解公式 化为线性方程求解. 2. 伯努利方程 目录 上页 下页 返回 结束 3. 注意用变量代换将方程化为已知类型的方程 例
4、如, 解方程 法1. 取 y 作自变量: 线性方程 法2. 作变换 则 代入原方程得 可分离变量方程 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 判别下列方程类型:提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利 方程 目录 上页 下页 返回 结束 P315 1 (3) , (6) , (9) ; 2 (5) ; 6 ; *8 (1) , (3) , (5) 作业 第五节 习题课1 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 线性方程 利用公式可求出 目录 上页 下页 返回 结束 2. 设有微分方程其中 试求此方程满足初始条件
5、 的连续解. 解: 1) 先解定解问题 利用通解公式, 得 利用得 故有 目录 上页 下页 返回 结束 2) 再解定解问题 此齐次线性方程的通解为 利用衔接条件得 因此有 3) 原问题的解为 ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 .
