西工大计算方法7讲解

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1、常微分方程初值问题的数值解法 7.1 欧拉法及其改进 7.2 龙格-库塔方法 7.3 线性多步法 第七章 7.0 概述 7.4 数值算例 本章着重讨论一阶常微分方程初值问题 的数值解法。 7.0 概述 这些问题多数情况下求不出解析解，只能用近 似的方法求解。常用的近似方法有两类。一类称为 近似解析法，如级数解法，逐次逼近法等。另一类 称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上的近 似值。 若f（x,y）在区域D= 上连续，且 关于y满足 李普希兹（Lipschitz）条件, 即存在常 数L,使 对 内任两个 均成立，其中L是与x，y无关 的常数，则上面的初值问题存在唯一解，且解是 连续可微的。

2、Remark：在f(x,y)对y可微的情况下，若偏导数有界 ，则可取 ，此时有 此时Lipschitz连续条件显然成立。这是验证该条件 的最简便的方法。 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解y(x)在区间a，b中的点列 上的近似值 .以下设 不变，记为h-步长 。 初值问题的解析解（理论解）用 表示,数 值解法的精确解用 表示，并记fn=f(xn,yn),而 。 求初值问题的数值解一般是逐步进行的， 即计算出yn之后计算yn+1。 常微分方程数值解法一般分为： （1）一步法：在计算 时，只用到 , 和 ，即前一步的值。 （2）多步法：计算 时，除用到 , 和 以外，还要用 和 ,即

3、前 k步的值。 单步法和多步法都有显式和隐式方法之分。 显式和隐式的单步法可以分别写成： 对多步法来说，显式和隐式方法具有相同的意义。 7.1 欧拉法与梯形法 设节点为 ，得欧拉方法计算公 式为： 一、欧拉(Euler)法 下面通过几种常用的方法来推导该公式。 1、泰勒展开法 假设在 附近把y（x）做Taylor展开，有： 取h的线性部分,并用 表示 的近似值,得 2、数值积分法 从 到 +h对等式 y(t )=f(t,y(t) 进行积分得到 再利用左矩形公式，得 从而得到Euler公式。 由 3、数值微分法 4、几何方法 过点(xn,yn)作以f(xn ,yn)为斜率的直线方程： 将x=xn

4、+1处该直线上的函数值做为y(xn+1)的近似值 ，则有Euler公式。这实质上是在每个小区间上利用 折线来代替曲线的结果，故Euler法又称Euler折线法 。 二、梯形法 在式 中,将积分用 梯形公式来代替，则有 从而得到梯形公式： 梯形方法关于yn+1是隐式的，而Euler方法是显 式的。一般情形下不容易从上式解出yn+1，因而可将 上式与Euler公式联合使用，即 使用上式时，先用第一式算出xn+1处yn+1的初始近似 再用第二式反复迭代，得到数列用 来控制迭代次数，这里为允许误差。把满足误差要求的 可以证明,当f(x,y)满足Lipschitz条件,即： (L为Lipschitz常数

5、)时,上述数列收敛。 作为y(xn+1)的近似值yn+1.类似地可以得出yn+2,yn+3, 证明：由 和 有： 反复使用不等式有： 实用中,在h 取得较小时,用梯形公式计算,第 二式只迭代一次就结束,得到Euler预估-校正格式: 第一式称为预估公式，第二式称为校正公式。 三、Euler预估-校正格式 四、方法的误差估计 定义1： 为 某一数值方法在xn处 的整体截断误差(不考虑舍入误差的影响)。 定义2：对单步法，在 的假设下， 称为在 处的局部截断误差。 Remark1: Euler法的局部截断误差为: Remark2: 梯形方法的局部截断误差为: 定义3：若一个方法的局部截断误差为 ，

6、 则称该方法为p阶方法,或称该方法具有p阶精度。 截断误差 Remark：Euler方法是一阶方法，梯形法和Euler预估 校正法是二阶方法。 Remark：由前面的定义可知，若某个单步方法是一种 p阶方法，则有Rn+1=O(hp+1)，即p阶方法的局部截断误 差为h的p1阶。我们往往比较关心Rn+1按h展开式的第 一项。 定义4：若一个单步方法是一种p阶方法，其局部截断 误差可以写成： 则(xn,y(xn)hp+1称为方法的主局部截断误差，或局 部截断误差的主项。 整体截断误差与局部截断误差的关系(不讲) 且局部截断误差有界： 则Euler法的整体截断误差n满足估计式： 其中L为李普希兹常数

7、，b-a为求解区间长度， 定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件 证明略。 例1：求显示Euler公式的局部截断误差。 故显示Euler公式是一阶方法,局部截断误差为： 主局部截断误差为： 。 例2：求Euler-梯形预测校正公式 的局部截断误差。 又由 故 故Euler-梯形预测校正方法为二阶方法。 例3：求隐式Euler公式的局部截断误差。 故隐式Euler公式是一阶方法。 将上式中 、 均在 处做Taylor展开，整理得 类似地可以证明，梯形公式的局部截断误差为： 即梯形公式为二阶方法。 7.2 泰勒展开法与龙格-库 塔（RungeKutta）方法 问题：利用泰勒展

8、开法推导高阶单步 的求解常微分方程初值问题的数值方法 。 从提高截断误差阶的阶数入手。 假定初值问题的解y（x）及函数f（x，y） 是充分光滑的，则: 当n 充分小时，略去余项 ，则有p阶计算公式 一、Taylor 方法 其中， 上式称为p阶Taylor方法。特别地，当 p1时，就是Euler公式。当p2时，得二 阶Taylor方法： 当Taylor方法的阶数p取的较大时，需计 算f(x，y)的高阶导数值，计算量较大。特别 当f(x，y)较复杂时，y(x)的高阶导数会很复 杂。因此Taylor方法很少单独使用，但可以 用它来启发思路。 二、RungeKutta 方法 基本思想：用不同点的函数值

9、作线性组合，构 造近似公式，把近似公式和解的Taylor展开比较 ，使前面的若干项吻合，从而使近似公式达到一 定的阶数。一般的显式R-K方法，可以写成 其中， 为常数，选取这些常数的原则是， 要求第一式的右端在 处泰勒展开后，按h 的 幂次重新整理，得到 与微分方程的解的Taylor展开式 有尽可能多的项重合，即要求 上述公式叫做N级的Runge-Kutta方法，其局部 截断误差为 其中表示 显然，Euler法是一级一阶R-K方法。 下面以二级R-K公式为例，来说明R-K方法的推导 过程。 复习泰勒公式 对 要求适当选取系数 ， ， 和 ，使当 时，上式的局部截断误差为 将 在 处展开，有 将

10、 代入 有， 而y(xn+1)在xn处的Taylor展式为： 故 由于二级方法 ，方程也可写为 要使Rn尽量小，应首先让h，h2项的系数为零，即 上述方程所确定的解都能使二级 R-K方 法成为一个二阶方法。 此时Rn为 为使Rn最小，应令 从而有 局部截断误差为： 故有二阶R-K方法为： 该方法又称为二阶Heun（休恩）方法。 Euler预估-校正格式 若取 Remark1：我们可以构造无穷多个二级R-K方 法，这些方法的截断误差均为O(h3),即都是二 阶方法。其中二阶Heun方法是截断误差项数最 少，且允许f 任意变化的情况下截断误差最小 的二阶方法。 Remark2：二级R-K方法不可能

11、达到三阶 Remark3：同样可构造其他阶的R-K方法，它 们都有无穷多组解，且三级R-K方法阶数不超 过3，四级R-K方法阶数不超过4。 Remark4：更高阶的方法由于计算量较大，一 般不再采用。 标准（经典）四级四阶R-K公式 关于R-K方法计算量的讨论 二阶R-K方法需计算两个函数值，四阶R-K方法需 计算四个函数值，但精度要比二阶方法高出两阶。因 此，要达到同样的精度，用低阶方法需步长取得比较 小，但若用高阶方法则可以将步长取得大一些，从而 降低计算量。 四阶经典RK方法的稳定性条件是 关于R-K方法稳定性的讨论 二阶RK方法的稳定性条件是 线性多步法的基本思想：如果充分利用 前面多

12、步的信息来预测yn+k，则可以期望获 得较高的精度。 7.3 线性多步法 前面的RK方法是增加一些非节点处的函 数值的计算来提高单步法的精度的，这样使计 算量增加了许多。本节介绍多步法，是在不过 分增加计算量的情况下取得较高的计算精度。 线性多步法公式的构造一般用两种方法 ，即Taylor展开法与数值积分法。 线性多步法的一般形式 式中 都为实数，且 。当10时上式为隐式方法，当10 时，上式为显示方法。由于求yn+1用到前面yn,yn- 1,yn-r等r1个值，且关于yn-j和fn- j(j=0,1,2,r)都是线性的，因此称上式为线性r1 步方法。 一、用数值积分方法构造线性多步法 将 方

13、程两端从 积分得 （1） 对 取等距插值节点 ， 对应的函数值为 如果k取 不同的值，以及F(x)取不同的插值多项式近似，由 上式就可以推导出不同的线性多步公式。 其插值余项为： 1. 阿达姆斯(Adams)外插公式 在(1)式中取k=0，并选择xn,xn-1, xn-2,xn-3作为 插值节点，作函数F(x)的三次插值多项式： 把F(x)=L3(x)+ R3(x)代入（1）式，有 略去上式右端第三项，得 对于上式积分部分用变量代换x=xn+th，并注意到 则 从而得到线性四步Adams显式公式： 其局部截断误差就是数值积分的误差 因(x-xn)(x-xn-1)(x-xn-2)(x-xn-3)

14、在xn,xn+1上不 变号，并设F(4)(x)在xn,xn+1上连续，利用积分中 值定理，存在n xn,xn+1，使得 因为插值多项式L3(x)是在xn3,xn上作出的 ，而积分区间为xn,xn+1，故上式称为Adams外插 公式。 2. 阿达姆斯(Adams)内插公式 若在(1)式中取k=2，并选择xn1,xn, xn-1,xn-2 作为插值节点，作函数F(x)的三次插值多项式。 类似于上面的外插公式，有 该公式也称为Adams内插公式，为三步隐式方法。 3. 阿达姆斯(Adams)预估-校正公式 由于Adams内插公式是隐式方法，故用它做计 算需使用迭代法。通常把Adams外插公式与内插公

15、 式结合起来使用，先由前者提供初值，再由后者 进行修正，即 当在求解区域内成立时，迭代收敛。 若上式中的第二式只迭代一次，便得到Adams预 估-校正格式。 Taylor展开法更具一般性，不仅可以构造用数 值积分法得出的数值方法，而且还可导出积分法得 不到的方法。它比积分法更加灵活。下面仅举一例 说明如何用这种方法构造线性多步法。 二、用Taylor展开法构造线性多步公式 首先以xn-1,xn,xn+1为节点，构造形如 的公式。假设上式右边 将函数在x=xn处展开，有 : 代入给定公式并按h的幂次整理得到下式： 将上式与 比较，选择系数i(i=0,1)和i(i=-1,0,1)使两式中关 于h的同次幂的系数有尽可能多的项相等。故有： 求解上述方程组，得出0， 1，1， 0 ，1。所 得到的算式的局部截断误差为O(h5)。 Reamrk：我们也可以只要求前面几个方程组成立， 如要求前面4个方程组成立时，所得算式的局部截断 误差为O(h4)。如令00，带入上式的前4个方程， 解得1=1，1= 1=1/3 ，0=4/3,于是得到计算公式 为： 此时上式中第5式也恰巧成立。可以得到上式 得截断误差为： 称上式为辛浦生（Simpson）公式，它可由数值积 分方法而得到