新第十三章弯曲变形综述

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1、13-1 工程中的弯曲变形问题 13-2 梁的挠曲线近似微分方程 13-3 用积分法求弯曲变形 13-6 简单静不定梁 13-5 梁的刚度校核 13-4 用叠加法求弯曲变形 第十三章 弯曲变形 13.1 工程中的弯曲变形问题 梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的梁还必须有足够的刚度，即在受载后不至于发生过大的 弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊，弯曲变形，否则构件将无法正常工作。例如轧钢机的轧辊， 若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格；若弯曲变形过大，轧出的钢板将薄厚不均匀，产品不合格； 如果是机床的主轴，则将严重影响机床的加工精度。如果是机床的主轴，

2、则将严重影响机床的加工精度。 一、梁的变形一、梁的变形 二、工程实例二、工程实例 实例一：起重机大梁实例一：起重机大梁 实例二、机床摇臂实例二、机床摇臂 13.2 梁的挠曲线近似微分方程 梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿梁在平面内弯曲时，梁轴线从原来沿 x x 轴方向的直线变轴方向的直线变 成一条在成一条在 xy xy 平面内的曲线，该曲线称为平面内的曲线，该曲线称为挠曲线挠曲线。 某截面的竖向位移，称为某截面的竖向位移，称为 该截面的该截面的挠度挠度。 某截面的法线方向与某截面的法线方向与x x轴轴 的夹角称为该截面的的夹角称为该截面的转角转角。 挠度和转角的大小和截面所处的挠度和转角的大小

3、和截面所处的 x x 方向的位方向的位 置有关，可以表示为关于置有关，可以表示为关于 x x 的函数。的函数。 挠度方程（挠曲线方程）挠度方程（挠曲线方程） 转角方程转角方程 一、挠度和转角一、挠度和转角 挠曲线挠曲线 挠度挠度 转角转角 挠度和转角的正负号规定挠度和转角的正负号规定 在图示的坐标系中，在图示的坐标系中， 挠度挠度 w w 向上为正，向下为负向上为正，向下为负。转转 角规定截面法线与角规定截面法线与 x x 轴夹角，逆时针为正，顺时针为负轴夹角，逆时针为正，顺时针为负 , ,即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角即在图示坐标系中挠曲线具有正斜率时转角 q q 为正。为正。 挠度

4、和转角的关系挠度和转角的关系 在小变形假设条件下在小变形假设条件下 挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角挠曲线的斜率（一阶导数）近似等于截面的转角 二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程 横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度横力弯曲情况下，若梁的跨度远大于梁的高度 时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩时，剪力对梁的变形可以忽略不计。但此时弯矩 不再为常数。不再为常数。 高等数学公式高等数学公式 在梁小变形情况下，在梁小变形情况下， 13.3 用积分法求梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 对上式进行一次积分对上式进行一次积分, ,可得到转角方程（等直

5、梁可得到转角方程（等直梁 EI EI 为常数）为常数） 再进行一次积分再进行一次积分, ,可得到挠度方程可得到挠度方程 其中，其中， C C 和和 D D 是积分常数，需要通过是积分常数，需要通过边界条件边界条件或者或者连续条件连续条件来确来确 定其大小。定其大小。 一、边界条件一、边界条件 在约束处的转角或挠度可以确定在约束处的转角或挠度可以确定 二、连续条件二、连续条件 在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为在梁的弯矩方程分段处，截面转角相等，挠度相等。若梁分为 n n 段积分，则要出现段积分，则要出现2 2n n 个待定常数，总可找到个待定常数，总可找到2 2n n 个相

6、应的边个相应的边 界条件或连续条件将其确定。界条件或连续条件将其确定。 例题例题13-113-1 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和 挠曲线方程，并求自由端的转角挠曲线方程，并求自由端的转角 和挠度和挠度 。 解：解：（1 1）按照图示坐标系建立弯矩）按照图示坐标系建立弯矩 方程方程 （2 2）挠曲线近似微分方程）挠曲线近似微分方程 （3 3）积分）积分 （4 4）确定积分常数）确定积分常数 由边界条件由边界条件 代入上面两式代入上面两式 （5 5）列出转角方程和挠曲线方程，将）列出转角方程和挠曲线方程，将 C C 、D

7、D 的值代入方程的值代入方程 （6 6）求）求B B点的挠度和转角点的挠度和转角 在自由端在自由端 ， x x = = l l 例题例题13-213-2 如图所示，简支梁受集中力如图所示，简支梁受集中力F F 作用，已知作用，已知EI EI 为常量。为常量。 试求试求 B B 端转角和跨中挠度。端转角和跨中挠度。 解：解：（1 1）求约束力）求约束力 F FA A F FB B （2 2）列出弯矩方程）列出弯矩方程 ACAC段段 CBCB段段 （3 3）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在）建立挠曲线微分方程并积分；由于弯矩方程在C C点处分段，故点处分段，故 应对应对ACAC和和CBCB

8、分别计算分别计算 ACAC段段 CBCB段段 利用边界条件和连续条件利用边界条件和连续条件 确定四个积分常数确定四个积分常数 ACAC段段 CBCB段段 边界条件边界条件: : 连续条件连续条件: :由于挠曲线在由于挠曲线在C C点处是连续光滑的，因此点处是连续光滑的，因此 其左右两侧转角和挠度应相等。其左右两侧转角和挠度应相等。 即即 得： 得到转角方程和挠度方程得到转角方程和挠度方程 ACAC段段 CBCB段段 （5 5）求指定截面处的挠度和转角）求指定截面处的挠度和转角 若若 13.4 用叠加法求梁的弯曲变形 在杆件符合在杆件符合线弹性、小变形线弹性、小变形的前提下，变形与的前提下，变形

9、与 载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与载荷成线性关系，即任一载荷使杆件产生的变形均与 其他载荷无关。这样其他载荷无关。这样只要分别求出杆件上每个载荷单只要分别求出杆件上每个载荷单 独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷独作用产生的变形，将其相加，就可以得到这些载荷 共同作用下杆件的变形。这就是求共同作用下杆件的变形。这就是求 杆件变形的杆件变形的叠加叠加 法法。 用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下用叠加法求等截面梁的变形时，每个载荷作用下 的变形可查表。查表时应注意载荷的的变形可查表。查表时应注意载荷的方向方向、跨长跨长及及字字 符符的对应。的对应。 例题例题13-

10、3 13-3 求图中所示梁跨中点的挠度及求图中所示梁跨中点的挠度及 A A 点的转角。已知点的转角。已知 ， 梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度EI EI 为常数为常数 。 解： = = + + 例题例题13-413-4 如图，梁的左半段受到均布载荷如图，梁的左半段受到均布载荷q q 的作用，求的作用，求 B B 端的挠度和转端的挠度和转 角。梁的抗弯刚度角。梁的抗弯刚度EIEI 为常数为常数 。 考虑其变形考虑其变形: : 由于由于CBCB 段梁上没有载荷，各截面段梁上没有载荷，各截面 的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此的弯矩均为零，说明在弯曲过程中此 段并不产生变形，即段并不产生变形，即C CBB 仍

11、为直线。仍为直线。 根据几何关系可知：根据几何关系可知： 由于在小变形的假设前提下由于在小变形的假设前提下 查表查表: : 代入上面的计算式代入上面的计算式 解： 例题例题13-513-5 求图所示外伸梁的求图所示外伸梁的 C C截面的挠度、转角截面的挠度、转角 。EI EI 为常数。为常数。 怎样应用表怎样应用表13-113-1中已有的结果？中已有的结果？ 对梁进行分段刚化，利用受力对梁进行分段刚化，利用受力 与变形等效的原则来处理与变形等效的原则来处理 首先刚化首先刚化ABAB段，这样段，这样BCBC段就段就 可以作为一个悬臂梁来研究，可以作为一个悬臂梁来研究， 再刚化再刚化BCBC段，由

12、于段，由于BCBC段被刚段被刚 化，可将作用于化，可将作用于BCBC段的均布载荷段的均布载荷 简化到简化到B B支座支座 ，得到一个力和一个，得到一个力和一个 力偶力偶 力力F F直接作用于支座，对梁的直接作用于支座，对梁的 变形没有影响，力偶变形没有影响，力偶MM引起简支梁引起简支梁 ABAB的变形，的变形，同样，同样， 段上的均布载段上的均布载 荷也将引起荷也将引起ABAB段变形，段变形， 思考题（限2分钟） 求梁跨中挠度和转角，EI EI 为常数。课后为常数。课后13-4c13-4c AB l / 2 q l / 2 C q/2 q/2 q/2 = + 考察两梁变形 中点挠度 中点转角

13、一 梁的刚度条件 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时， 为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应满足 刚度条件(stiffness condition)： 式中l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨 比)，q为许可转角。上列刚度条件常称为梁的刚度条件 。 13.5 梁的刚度校核 例13-6 桥式起重机大梁最大载荷F=20kN，梁体为32a工字 钢，E=210GPa， 。规定 。校核大梁的刚度 。（课后13-5题） F 解 ： 查表得梁最大 挠度位于跨中 ，绝对值 刚度满足 二 提高梁刚度的措施 (1) 增大梁的抗弯刚度EI 由于不同牌号的钢材弹性模量E大致相同(E21

14、0 GPa) ，故从增大梁的抗弯刚度来说采用高强度钢并无明显好处 。为增大钢梁的抗弯刚度，钢梁的横截面均采用使截面面 积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中 性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大 弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为 (2) 调整跨长和改变结构的体系 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所 示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为 而且跨中挠度减小为 (a) 而此时外伸端D和E的挠度也仅为 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里指增加梁 的支座使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端

15、增 加一个可动支座，又如在简支梁的跨中增加一个可动支座 。 13-6 简单静不定梁 一 基本概念 超静定梁：梁的约束力个数大于独立平衡方程数。 多余约束：多余的维持梁变形必须的约束。 超静定次数：等于多余约束或多余约束力的数目。 二 求解方法 1.解除多余约束，选取静定基，列静力平衡方程。 2.比较变形，列变形协调条件。 3.由物理关系建立补充方程。 4.综合三类方程求解约束力。 静定基：将超静定结构变成静定结构时的相当系统。 解解 求梁的约束力，梁的抗弯刚度 为EI。 1）判定超静定次数，选取静定基 在梁的A和B处共有3个未知力， 独立平衡方程数等于2，所以是一 次超静定问题。选取静定基如图 (b)所示。在去掉约束处用一未知 力 代替，如图(c)所示。 2）进行变形比较，列协调条件 将图(c)等效如图(d)所示。 三、例题 例13-7 为了使静定基的变形与原超静定 梁相同，B处挠度必须是0，即为 变形协调条件 3）由物理关系列力补充方程 查表可得， 所以 4）由整体平衡条件求其他约束力 例13-8 房屋建筑中的某一等截面梁简化成均布载荷作用下的 双跨梁，试做梁的剪力图和弯矩图。（课后13-7题） 解： 可判断静不定次数 静定基选取 1 变形比较法 作业： 13-4 b，d； 13-6 c，d； 13-9。 本章内容结束，欢迎大家提问 。