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1、第三讲 圆锥曲线性质的探讨本讲知识结构本讲测试1一条直线在平面上的正射影是_.思路解析:要根据直线与平面的不同位置关系作出回答.当直线和平面垂直的时候，直线在平面内的射影是一个点，当直线和平面平行的时候，直线在平面内的射影是和该直线平行的一条直线.答案:一个点或和该直线平行的一条直线2已知椭圆=1上一点P到一个焦点的距离为3，那么点P到另一个焦点的距离为( )A.2 B.3 C.5 D.7思路解析:椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数，就是长轴的两倍.答案:D3一动圆与已知圆O1:(x3)2y2=1外切，圆O2:(x-3)2y2=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.思路分析:两圆相切时，圆心之间
2、的距离与两圆的半径有关，可以找到动圆圆心满足的条件.解:两定圆的圆心和半径分别为O1（-3，0），r1=1;O2（3，0）,r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R，则由题设条件可得|MO1|=1R，|MO2|=9-R.|MO1|MO2|=10，由椭圆的定义知道M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a=5,c=3.b2=a2-c2=25-9=16.故动圆圆心的轨迹方程为=1.4我们已经知道方程=1（ab0）表示长轴在x轴上的椭圆，试根据方程的特征，探求椭圆的一些几何性质.思路分析:从方程本身的特点入手，如将x换成-x，方程不变，说明椭圆关于y轴对称.解:x轴、y轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对
3、称中心即椭圆中心.椭圆有四个顶点A1(-a，0)、A2(a，0)、B1(0，-b)、B2(0，b).还可以有别的答案.5在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，其夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l交角为（与l平行，记0），则当时，平面与圆锥的交线为椭圆.试利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明上述结论.思路分析:按椭圆的定义证明，即平面上到两点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.证明:略.6试证明以下结果：如图3-1，一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥
4、的底面平行，记这个圆所在平面为；如果平面与平面的交线为m，在图3-1中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e.（称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率）图3-1思路分析:离心率e=，说明cos=1，ycos即可，这可以通过与的关系加以说明.证明:略.综合测试第卷（选择题 共48分）一、选择题(每小题6分，共48分)1如图1，ABEMDC，AE=ED，EFBC，EF=12 cm，则BC的长为( )图1A.6 cm B.12 cm C.18 cm D.24 cm思路解析:根据AE=ED，ABEMDC，有B
5、M=MC.又EFBC，所以EF=MC，于是EF=BC.答案:D2顺次连结等腰梯形的两底中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是( )A.菱形 B.矩形C.正方形 D.梯形思路解析:因为等腰梯形的两条对角线相等，所以得到的四边形对边平行，并且四条边都相等，由此该四边形为菱形.答案:A3在ABCD中，E是AD的中点，AC、BD交于O，则与ABE面积相等的三角形有( )图2A.5个 B.6个 C.7个 D.8个思路解析:利用三角形面积公式，等底等高的两个三角形面积相等，再利用平行四边形的面积为中介，建立面积相等关系.答案:A4如图3，ABC的底边BCa，高ADh，矩形EFGH内接于ABC，其中E、
6、F分别在边AC、AB上，G、H都在边BC上，且EF2FG，则矩形EFGH的周长是( )图3A. B.C. D.思路解析:由题目条件中的EF=2FG，要想求出矩形的周长，必须求出FG与高AD=h的关系.由EFBC得AFEABC，则EF与高h即可联系上.设FG=x，EF=2FG，EF=2x.EFBC，AFEABC.又ADBC，设AD交EF于M，则AMEF.，即.解之,得x=.矩形EFGH的周长为6x=.答案:B5在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AEEB21，AFDE于G，交BC于F，则AEG的面积与四边形BEGF的面积比为( )A.12 B.14C.49 D.23思路解析:易证ABFDAE.
7、故知BF=AE.因AEEB=21，故可设AE=2x，EB=x，则AB=3x，BF=2x.由勾股定理得AF=x.易证AEGABF.可得SAEGSABF=AE2AF2=（2x）2（x）2=413.可得SAEGS四边形BEGF=49.答案:C6如图4，在梯形ABCD中，ADBC，BAD=135，以A为圆心，AB为半径，作A交AD、BC于E、F两点，并交BA延长线于G，则的度数是( )图4A.45 B.60 C.90 D.135思路解析: 的度数等于圆心角BAF的度数，由题意B=45，所以BAF=180-2B.答案:C7RtABC中，CD是斜边AB上的高，该图中共有x个三角形与ABC相似，则x的值为(
8、 )A.1 B.2 C.3 D.4思路解析:由题，所给图形为射影定理的基本图形，ACD、BCD均与ABC相似.答案:B8已知AB、CD为两直径，弦CEAB，COE的度数为50，则DOB的度数为( )A.115 B.65 C.115或65 D.125思路解析:考虑到如图所示的两种情况，可以直接得到答案.答案:C第卷（非选择题 共102分）二、填空题（每小题5分，共20分）9如图5，以直角坐标系的原点O为圆心作圆，A是x轴上一点，AB切O于B，若AB12，AD8，则点B坐标为_.图5思路解析:首先利用切割线定理求出AE=18，从而获得直径为10，在ABO中利用勾股定理求出OA，然后利用射影定理求点
9、B的坐标.答案:()10P为圆内接四边形ABCD对角线交点，=，已知P到AD的距离为2 cm，则P点到AB的距离为_.思路解析:根据=，得BAC=DAC，于是P在角平分线上，由角平分线上点的特征，P到AB的距离等于P点到AD的距离.答案:2 cm11如图6，AB是直径，CDAB于D，CD=43，ADDB31，则直径的长为_. 图6 图7思路解析:直接利用相交弦定理的推论可得CD2=ADBD，代入数值即得结果.AB是直径，CDAB于D，CD2=ADBD.ADDB=31，设DB=x，则AD=3x.(4)2=3xx.x=4.AB=16.答案:1612如图7，已知两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B
10、，AC切小圆于C，交大圆于D、E，AB=12，AO=15，AD8，则两圆的半径分别为_.思路解析: 连结OB、OC.AB切大圆于B，AC切小圆于C，OBAB，OCAC.DE是大圆的弦，DC=CE.在RtOAB中，有OB=RO2-AB2=152-122=9.在大圆中，根据切割线定理，有AB2=ADAE，8AE=122.AE=18.DE=AE-AD=18-8=10.DC=DE=5.于是AC=ADDC=85=13.在RtOAC中，有OC= .答案:9,三、解答题（13题12分，14、15、16、17、18每小题14分）13如图8，已知在梯形ABCD中，ADBC，E是CD的中点，EFBC交AB于F，F
11、GBD交AD于G.求证：AG=DG.图8思路分析:根据EFBC和FGBD，两次应用平行线等分线段定理，即得F是AB的中点以及G是AD的中点.证明:ADEFBC，E是CD的中点，F是AB的中点.又FGBD，G是AD的中点.AG=DG.14如图9，四边形ABCD中，AC、BD交于O，过O作AB的平行线，与AD、BC分别交于E、F，与CD的延长线交于K.求证：KO2=KEKF.图9思路分析:KO、KE、KF在一条直线上，要证明KO2=KEKF，即要证显然要寻找中间比，现有图形无法将线段KO、KE、KF与平行线分线段成比例定理及其推论联系起来，若延长CK、BA，设它们交于H，则图形中出现两个基本图形.
12、这就不难将进行转换而找到中间比.证明:延长CK、BA，设它们交于H.KOHB，即.KFHB，同理可得，即KO2=KEKF.15如图10，已知RtACB中，CDAB于D，在CB的延长线上截取BE=BC，连结EA、ED.求证：1=2.图10思路分析:利用射影定理，并代换线段得到BE2=BDBA，证明EBDABE.证明:ACB是直角三角形，CDAB，由射影定理有BC2=BDBA.BE=BC，BE2=BDBA，即.又ABE=EBD，EBDABE.1=2.16如图11，已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F.求证：.图11思路分析:比例式左边AB、AC在ABC中，右边DF、AF在ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换.通过证明两套三角形分别相似证得结论.证明:BAC=90，ADBC，ADB=ADC=BAC=90.12=90，2C=90.1=C.ABDCAD.又E是AC中点，DE=EC.3=C.又3=4，1=C，1=4.又有F=F，FBDFDA.17如图12，BC切AEF的外接圆O于D，且EFBC.求证：AD平分BAC.图12思路分析:根据BC是切线，有1=3，2与4是同弧上的圆周角，所以相等，EFBC可以得到1=2，于是可得结论.证明:BC是O的切线，1=
