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1、理学院 邓胜华 18/12/2009 S.H. DENG 1 第第19章 变分法初步章 变分法初步 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 2 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形 状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条 件发生变化，将使得定解问题难以 从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形 状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条 件发生变化，将使得定解问题难以严格解严格解出，因此又发展了 一些切实可用的 出，因此又发展了 一些切实可用的近似方法近似方法，通过本章的学习
2、我们会看到近似 解的价值一点也不低于严格解的价值事实上，我们应该已 经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定， 定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解 其实也是某种程度的近似 ，通过本章的学习我们会看到近似 解的价值一点也不低于严格解的价值事实上，我们应该已 经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定， 定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解 其实也是某种程度的近似 引言：引言： 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 3 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 有限差分法有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代
3、数方程， 然后通过电子计算机求定解问题的数值解 ：有限差分法把定解问题转化为代数方程， 然后通过电子计算机求定解问题的数值解 模拟法模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题， 而在模型上实测解的数值 ：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题， 而在模型上实测解的数值 变分法：变分法：是这些方法中最为重要和切实有效的方法， 已经广泛应用于科学研究和工程计算之中。 本课主要介绍经典变分法的基本概念和理论 是这些方法中最为重要和切实有效的方法， 已经广泛应用于科学研究和工程计算之中。 本课主要介绍经典变分法的基本概念和理论 常用常用近似解法近似解法涉及：有限差分法、模拟法、变分法等涉及：有
4、限差分法、模拟法、变分法等 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 4 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 (2) 变分法易于变分法易于实现数学的统一化实现数学的统一化因为一般而言，数学物 理方程的定解问题都可以转化为变分问题尤其是前面介 绍的斯特姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分 法提供了施刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结 论的证明； 因为一般而言，数学物 理方程的定解问题都可以转化为变分问题尤其是前面介 绍的斯特姆刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分 法提供了施刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结 论的证明； 变分法的优点变分法的优点
5、: (1) 变分法在物理上可以变分法在物理上可以归纳定律归纳定律因为几乎所有的自然定 律都能用变分原理的形式予以表达； 因为几乎所有的自然定 律都能用变分原理的形式予以表达； 变分法变分法是研究求解泛函极值(极大或极小)的方法，变分 问题即是 是研究求解泛函极值(极大或极小)的方法，变分 问题即是求泛函的极值问题，求泛函的极值问题，把定解问题转化为把定解问题转化为 变分问题变分问题，再求变分问题的解。，再求变分问题的解。 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 5 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 (3) 变分法是求解数学物理定解问题常用的近似方法。变
6、分法是求解数学物理定解问题常用的近似方法。 基本思想：基本思想：是是把数学物理定解问题转化为变分问题。把数学物理定解问题转化为变分问题。 由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的 是 由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的 是里茨（里茨（Ritz）法）法由于里茨法中的试探函数的选取较 为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展， 又迅速发展了一种有限元法； 由于里茨法中的试探函数的选取较 为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展， 又迅速发展了一种有限元法； (4) 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现 代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域
7、 都有十分广泛的应用 变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现 代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域 都有十分广泛的应用 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 6 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 19.1 变分法的基本概念 变分法 变分问题 变分法 变分法的基本概念 变分法 变分问题 变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法 变分问题变分问题即是求泛函的极值问题即是求泛函的极值问题 泛函泛函变分法研究的对象是变分法研究的对象是泛函泛函，泛函是函数概念的推广 为了说明泛函概念先看一个例题： ，泛函是函数概念的推广 为了说明
8、泛函概念先看一个例题： 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 7 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 考虑著名的考虑著名的最速降线落径问题最速降线落径问题。如图。如图19.1 所示，已知所示，已知 A和和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B 间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩 擦地从 间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩 擦地从A滑到滑到B时，所需的时间时，所需的时间T 最小最小 y x A B(x,y) 图19.1 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H.
9、DENG 8 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 我们知道，此时质点的我们知道，此时质点的速度是速度是 d 2 d s gy t = 因此从因此从 A滑到滑到B所需的所需的时间为时间为 2 1+d dd 22 B A tBB tAA ys Ttx gygy = 即为即为 2 1+ ( )d 2 B A y T y xx gy = 式中式中 y 代表对代表对 x 求一阶导数 称求一阶导数 称T 为为 y (x) 的的泛函泛函, 而称而称 y (x) 为可取的函数类，为泛函为可取的函数类，为泛函 T y (x) 的的定义域。定义域。 简单地说，简单地说，泛 函就是函数的函数
10、 泛 函就是函数的函数(不是复合函数的那种含义不是复合函数的那种含义). 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 9 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 一般来说，设一般来说，设C是是函数的集合函数的集合，B是是实数或复数的集合实数或复数的集合，如果 对于 ，如果 对于C 的任一元素的任一元素y (x)，在，在B中都有一个元素中都有一个元素J 与之对应，则 称 与之对应，则 称 J为为y (x)的泛函，记为的泛函，记为 ( )JJ y x= 注意：注意：泛函不同于通常讲的函数决定通常函数值的因素是 自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形。如 上
11、面例子中的泛函 泛函不同于通常讲的函数决定通常函数值的因素是 自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形。如 上面例子中的泛函T 的变化是由函数的变化是由函数y (x)本身的变化（即从本身的变化（即从A 到到B的不同曲线）所引起的。它的值既不取决于某一个的不同曲线）所引起的。它的值既不取决于某一个x 值， 也不取决于某一个 值， 也不取决于某一个y 值，而是取决于整个集合值，而是取决于整个集合C 中的中的y 与x 的 函数关系。 的 函数关系。 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 10 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 泛函 泛函的核泛函 泛
12、函的核 泛函通常以泛函通常以积分形式积分形式出现，比如上面描述的最速降线落径 问题的式表达。更为一般而又典型的泛函定义为 出现，比如上面描述的最速降线落径 问题的式表达。更为一般而又典型的泛函定义为 ( )( , ,)d b a J y xF x y yx= 其中其中( , ,)F x y y称为称为 泛函的核 泛函的极值变分法 泛函的核 泛函的极值变分法 对于不同的自变量函数对于不同的自变量函数( )y x，与此相应的泛函，与此相应的泛函 ( )J y x 也有不同的数值找出一个确定的自变量函数也有不同的数值找出一个确定的自变量函数( )y x，使泛函，使泛函 ( )J y x 具有极值（极
13、小或极大），这种泛函的极小值与极大值 统称为 具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值 统称为泛函的极值泛函的极值 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 11 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函 ( )J y x 的极小值问题物理学中常见的有光学中的的极小值问题物理学中常见的有光学中的费马费马 (Fermat)原理原理，分析力学中的，分析力学中的哈密顿哈密顿(Hamiton)原理原理等，都是 泛函的极值问题 等，都是 泛函的极值问题 变分法
14、：变分法：所谓的变分法所谓的变分法就是求泛函极值的方法就是求泛函极值的方法 研究泛函极值问题的方法可以归为两类：研究泛函极值问题的方法可以归为两类： 直接法： 直接分析所提出的问题直接法： 直接分析所提出的问题； 间接法间接法： 把问题转化为求解微分方程把问题转化为求解微分方程 为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分 为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 12 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 变分：变分： 如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为 ( )
15、;y x并定义与函数曲线并定义与函数曲线( )y x邻近的曲线（或略为变形的 曲线）作为比较曲线，记为 邻近的曲线（或略为变形的 曲线）作为比较曲线，记为 ( , )( )( )y xy xx=+ 其中其中是一个小参数；是一个小参数；( )x是具有二阶导数的任意选定的 函数，规定它在一个小范围内变化 是具有二阶导数的任意选定的 函数，规定它在一个小范围内变化, 这限制主要保证泛函在 极值处连续在研究泛函极值时，通常将 这限制主要保证泛函在 极值处连续在研究泛函极值时，通常将( )x固定，而令固定，而令 变化，这样规定变化，这样规定好处好处在于：建立了由参数到泛函在于：建立了由参数到泛函 ( )
16、J y x 值之间的对应关系，因此泛函值之间的对应关系，因此泛函 ( )J y x 就成为参数的普通就成为参数的普通 理学院 邓胜华 18/12/2009S.H. DENG 13 第第 19 章 变分法初步章 变分法初步 00:28:58 同时，函数曲线同时，函数曲线( )y x的的变分定义变分定义为为 0 ( , )|( )dyy xx = = 因此可得因此可得 ( )dyx= 函数函数. 原来泛函的极值问题就成为普通函数对求极值的问题 这里 原来泛函的极值问题就成为普通函数对求极值的问题 这里,y 代表对代表对x求一阶导数 所以 求一阶导数 所以 d d yy x = 即即变分和微分可以交换次序。 泛函的变分： 变分和微分可以交换次序。 泛函的变分： ()d b a FF Jyyx yy
