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1、广告经营许可证号：2301004000015育才报 社地址：哈尔滨市道里区田地街 100 号邮编：150010 印刷： 北京世纪华彩印务有限责任公司本学期总定价： 26.00 元 1 八年级 B第28期 数学长廊 适 用 于 B 编辑部质量反馈热线：0431-81041508刘老师投诉电话：0791-86855729张老师 八年级 第期 28 1 数学魔术城堡 神探 “667” 大卫和菲尔相约来到 了数学魔术城，远远望去， 魔术城就像童话中的城堡 一样， 走近一看， 一个个造 型奇特的展厅， 把魔术城妆 扮的像一个虚幻世界. 大卫 好奇的问道：“数学怎么也 会变成魔术呢？” 菲尔：“我 也不太
2、清楚， 我们找个展厅 进去看看吧! ”突然他们听 到：“我是神探 667! 我就是 神奇! ” 他俩跑过去一看， 只见 一位魔术师身穿黑衣， 胸口 上写着 “神探 667” .大卫迫 不及待的问道：“神探 667， 你有什么神奇？” 只见魔术 师答道：“当然是侦探数字 喽!三位以内的自然数， 只要 尾巴被我接触到， 我就侦探 出这个数的全部!” 大卫对菲 尔说：“我们悄悄地写几个 数， 看看他能不能都侦探出 来.” 于是他们写了： 6、 25、 342 三个数.魔术师：“写好后， 请 把你写的数与我胸口写的 数 667 相乘， 如果你写的是 一位数， 就把积的最后一个 数字告诉我； 如果你写的
3、是 两位数， 就告诉我积的最后 两位数； 如果你写的是三位 数， 就告诉我积的最后三位 数.” 大卫算好积后说：“最后 一位是 2” ， 魔术师：“你写的 是 6” ， 大卫又说：“最后两位 是 75” ，魔术师：“你写的是 25” ，大卫又说：“最后三位 是 114” ，魔术师脱口而出： “你写的是 342” . 大卫信服 了， 说道：“数学魔术太神奇 了! 你能告诉我是什么原理 吗？” 魔术师：“想知原理， 请 看魔术大揭密! ” 魔术大揭密： 因为 667 伊 3 = 2 001， 任何三位以内的数与 2 001 相乘， 积的尾数必定仍是原 数. 所以要求用对方所想的 数与 667 相乘
4、， 他只要将对 方告知的尾数再乘以 3， 则 必然是原数了! 比如对方想 的是 6， 那积就是 667 伊 6 = 4002， 告知尾数是 2， 2 伊 3 = 6，可知对方想的数是 6.再 如对方想的数是 25， 那 667 伊 25 = 16675，告知最后两位 75， 75 伊 3 = 225， 可知对方 想的是 25.如果对方想的是 342， 那 667 伊 342 = 228114， 告知最后三位是 114， 114 伊 3 = 342. 把等腰三角形、 线段的垂直平分线和角平分线设计 在同一个问题中，全面考查对三角形的认识和理解， 体 现了数学知识之间的相互联系， 有利于同学们感受
5、数学 的整体性， 这也是中考题的一种命题思路援下面举例予 以说明援 一、等腰三角形垣线段的垂直平分线 例 1如图 1，在四边形 ABCD 中， 蚁ABC 越 90毅， AD椅 BC， AB 越 BC， E 是 AB 的中点， CE彝BD援 （1）求证 AD 越 BE； （2）求证 AC 是线段 ED 的 垂直平分线； （3）吟DBC 是等腰三角形吗？并说明理由援 分析： （1）欲证 BE 越 AD， 只需证吟BAD艺吟CBE， 两个三角形已具备蚁DAB 越 蚁EBC 越 90毅， AB 越 BC， 只 需再证一角对应相等即可援在直角较多时， 利用互余的 性质 “同角或等角的余角相等” 得到对应
6、角，往往可发 挥关键性的作用；（2）欲说明 AC 是线段 ED 的垂直平 分线， 只需说明吟AED 是等腰三角形， 可利用等腰三角 形的 “三线合一” 证明；（3）欲说明吟DBC 是等腰三角形， 需判定 CD 越 BD， 由 （2） 知， CD 越 CE， 由 （1） 知， CE 越 BD， 显然有 CD 越 BD援 证明： （1）疫蚁ABC 越 90毅， BD彝EC， 亦蚁1 与蚁3 互余， 蚁2 与蚁3 互余. 亦蚁1 越 蚁2援 疫蚁DAB 越 蚁EBC 越 90毅， AB 越 BC， 亦吟BAD艺吟CBE （ASA） . 亦 AD 越 BE； （2）疫 E 是 AB 中点， 亦 EB
7、= EA援 由 （1） ， 知 AD 越 BE， 则 AE 越 AD援 疫 AD椅BC， 亦蚁5 越 蚁ACB援 疫AB = BC，亦蚁4 越 蚁ACB， 亦蚁4 越 蚁5援 由等腰三角形的性质，得 EM 越 MD， AM彝DE援即 AC 是线段 ED 的垂直平分线； （3）吟DBC 是等腰三角形 （CD 越 BD） 援理由如下： 由 （2） ， 得 CD 越 CE， 由 （1） ， 得 CE 越 BD援 亦 CD 越 BD， 亦吟DBC 是等腰三角形援 二、等腰三角形垣角的平分线 例 2如图 2， 吟ABC 的两 条高 CE， AF 相交于点 D， 蚁1 越 蚁2， 求证 BD 平分蚁ABC
8、援 分析： 欲证 BD 平分蚁ABC， 由已知 CE彝AB， AF彝BC， 故只 需再证 DE 越 DF援从而只需判定吟AED艺吟CFD； 两个三 角形全等已具备条件蚁AED 越 蚁DFC， 蚁ADE 越 蚁CDF， 尚缺一组对应边， 由蚁1 越 蚁2 可提供对应边 AD 越 CD， 从而问题得解援 证明：疫蚁1 越 蚁2， 亦 AD 越 CD援 又 疫蚁ADE 越 蚁CDF， 蚁AED 越 蚁DFC 越 90毅， 亦吟AED艺吟CFD援 亦 DE 越 DF援 疫DE彝AB， DF彝BC， 亦 BD 平分蚁ABC援 三、角平分线垣线段的垂直平分线 例 3如 图 3，在 吟ABC 中， 蚁BAC
9、 的平分线与 BC 边的 垂直平分线相交于点 P援 过点 P 作 AB， AC （或延长线） 的垂线， 垂足分别是 M， N援求证 BM = CN援 分析：要证 BM = CN， 由图 形特征可构造以 BM， CN 为边的两个三角形， 并证明这 两个三角形全等援考虑蚁BAC 的平分线与 BC 边的垂直 平分线相交于点 P， 于是连接 PB， PC， 则利用垂直平分 线和角平分线的知识即可解决援 证明：因为 AP 是角平分线， PM彝AB， PN彝AC， 故 PM = PN援 又因为 PD 是 BC 的 垂直平分线， 故 PB = PC援所以 Rt吟PBM艺Rt吟PCN （HL） 援 所以 BM
10、 越 CN援 动手操作型试题考查了 数学实践能力和创新设计能 力， 现采撷几例与勾股定理有 关的操作题分析如下. 一、折叠型 例 员 （员）如图 员， 将边长为 愿 糟皂 的正方形纸片 粤月悦阅 折叠， 使点 阅 落在 月悦 边中点 耘 处， 点 粤 落在 点 云处， 折痕为 酝晕， 则线段 悦晕 的长是 （） 援 粤. 猿糟皂月. 源糟皂 悦. 缘糟皂阅. 远糟皂 A B C D E FG C忆 图 2 A BC D E F M N 图 1 （圆）如图圆，在长方形纸片 粤月悦阅 中， 粤阅 越 怨， 粤月 越 猿， 将其折叠， 使点 阅 与点 月 重合， 折痕为 耘云， 那么折 痕 耘云 的
11、长为援 解析：如果直角三角形中有两条边是未知的， 那么 就根据已知条件建立这两条未知边之间的关系， 并用字 母表示其中一条未知边，然后运用勾股定理列出方程， 通过解方程解决问题. （员）根据折叠性质可知， 晕耘 越 晕阅. 设 悦晕 越 曾 糟皂， 则 NE 越 晕阅 越（愿 原 曾） 糟皂. 由已知， 得 悦耘 越 1 2 月悦 越 源糟皂. 在 砸贼吟耘悦晕 中， 根据勾股定理， 得 EC2+ CN2= NE2， 即 42+ x2=（8 - x） 2. 解得 曾 越 猿. 故选 粤. （圆）欲求 耘云的长， 需要将 耘云 置于直角三角形中， 因此过点 耘 作 耘郧彝月悦 于点 郧， 在 R
12、t吟耘郧云 中， 应用勾 股定理来解决. 由折叠性质可知， 月耘 越 耘阅， 蚁BEF = 蚁DEF. 疫 AD椅BC， 亦 蚁DEF = 蚁EFB. 亦蚁EFB = 蚁BEF. 亦 BE = BF. 设 粤耘 越 曾， 则 月耘 越 耘阅 越 怨 原 曾. 在 砸贼吟粤月耘 中， 根据勾股定理， 得 AE2+ AB2= BE2， 即 x2+ 32=（9 - x） 2. 解得 曾 越 源. 亦 BF = 5. 亦 郧云 越 月云 原 月郧 越 缘 原 源 越 员. 在 砸贼吟耘郧云中， EF =EG2+ GF2姨=32+ 12姨= 10姨. 故填10姨. 评注： 我们知道， 通过动手实践获取知
13、识， 并且了 解知识发生的过程， 其效果胜于直接吸收书本知识， 本 题以学生信手拈来的纸片为道具，体现了动手实践的 教学理念. 二、拼图型 例 圆利用图 猿 或图 源 两个图形中的有关面积的 等量关系都能证 （说） 明数学中一个十分著名的定理， 这 个定理称为， 该定理的结论其数学表达式是 援 a b c c c c a b b b a a a a a a b b b b c c c c 图 3图 4 解析：如图 3，大正方形的面积 越 小正方形的面 积 垣 源 个全等直角三角形的面积， 即 c2= 4 伊 ab 2 +（b - a ） 2， 即 c2= 2ab + a2- 2ab + b2=
14、 a2+ b2， 所以 c2= a2+ b2. 故填勾股定理； a2+ b2= c2. 评注：本题集面积的计算、 定理的验证于一体， 既考 查了同学们的操作、 动手的能力， 又考查了图形面积的计 算方法与技巧， 同时还验证了一个重要的几何定理. 作线段的垂直平分线和角 平分线常常在考试中闪亮登场， 现举例分析如下： 一、作角平分线 例 1尺规作图 （保留作图 痕迹， 写出作法、 不要求证明） . 已知： 蚁AOB （如图 1 所示） 援 求作： 蚁AOB 的平分线援 O A 图 1 B B A O C D E 图 2 分析：本题是最基本的尺 规作图， 首先用圆规画弧， 然后 用直尺画射线， 即
15、可得到角的平 分线. 解：如图 2，（1）以点 O 为圆心，以适当长为半径 作弧交 OA， OB 于 C， D 两点； （2）分别以点 C， D 为圆心， 以大于 1 2 CD 长为半径 作弧， 两弧相交于点 E； （3）作射线 OE， 则 OE 就是蚁AOB 的平分线. 说明： 用尺规作图， 部分题不要求写作法， 但要注 意保留作图痕迹. 二、作线段的垂直平分线 例 2如图 3，在 Rt吟ABC 中， 蚁ACB = 90毅， 蚁A = 30毅援 （1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 l （保留作图痕迹， 不写作法） ； （2）在已作的图形中，若 l 分别交 AB， AC 及 BC 的延
16、长线于点 D， E， F， 连接 BE援 求证 EF = 2ED援 分析：作线段 AB 的垂直平分线， 首先以点 A， B 为 圆心， 以大于 1 2 AB 长为半径画弧， 得到两个交点， 过这 两个交点画直线即得线段 AB 的垂直平分线，根据线段垂直 平分线的性质并结合“30毅的角 所对的直角边等于斜边的一半” 可证明 EF = 2ED. 解： （1）直线 l 即为所求； （2）在 Rt吟ABC 中， 蚁A = 30毅， 蚁ABC = 60毅. 又 疫 l 为线段 AB 的垂直平分线， 所以 EA = EB. 所以蚁EBA = 蚁A = 30毅， 蚁AED = 蚁BED = 60毅. 所以蚁EBC = 30毅 = 蚁EBA， 蚁FEC = 60毅援 又因为 ED彝AB， EC彝BC， 所以 ED = EC. 在 Rt吟ECF中， 蚁FEC = 60毅， 所以蚁F = 30毅. 所以 EF = 2EC， 所以 EF = 2ED. 说明：本题是一道作图和证明综合题， 作图时应注 意把握作图的方法， 并注意保留作图痕迹. “两线” 与 “等腰” 强强联合 山东房延华 细 说 尺
