误差与分析复习讲解

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1、考试安排 时间 4月16日周三 9：3011：30 地点 ： 教1-009 考试题型 填空 选择(单选、多选） 计算题 考试方式： 开卷，独立完成 带计算器 课程内容要点： n什么是误差、相对误差、 （仪表）引用误 差、实验（样本）标准差、偏移？ n什么是准确度、正确度、精密度、重复 性、再现性、稳定性？ n三类误差性质的特征有什么异同?如何分析 测量随机误差?如何分析系统误差、粗大误 差是否显著存在? n函数误差、误差分配、微小误差取舍、最 佳测量方案的确定 n单次测量的标准差与算术平均值的标准差是什么 关系?怎么理解标准差的标准差? n标准差有哪几种常用的统计公式? n常用的误差分布，服从

2、常用误差分布的可能情 形。 n权的概念，权的确定方法，权与方差的关系，加 权算术平均值及其标准差。 n什么是测量不确定度？如何评定两类标准（差） 不确定度?如何估计他们的自由度? n如何分析测量不确定度的来源?如何求得合成测量 不确定度及其有效自由度? n如何确定扩展不确定度的包含因子? n如何合理表示测量结果? n什么是最小二乘法？ n一元线性回归的基本概念、回归系数的计 算推导、回归系数的不确定度的公式推 导、回归值的不确定度公式推导 n偏差平方和的分解：总偏差平方和、回归 平方和、残余平方和 n回归效果的检验 n典型例题 常用的计算公式 名称说明公式 误差 误差的定义 绝对误差 相对误差

3、 引用误差 最大绝对误差 最大相对误差 三类 不同 性质 的误 差 随机误差 算术平均值 实验标准差 算术平均值的标准差 权的确定 粗大误差3准则 格拉布斯(Grubbs)准则 狄克逊(Dixon)准则 常用的计算公式 名称说明公式 系统 误差 系统误差的定义 统计检验 恒定系统误差 组间t检验 线性系统误差 周期系统误差 函数误差 函数系统误差 函数随机误差 名称符号说明公式 A类 评定 方法 标准 不确 定度 s(xi)(单次测量)实验标准差 平均值实验标准差 uA测量结果标准不确定度 B类 评定 方法 标准 不确 定度 uB 已知扩展不确定度U 和包含因子k 已知扩展不确定度Up和置信

4、概率p及包含因子kp或 有效自由度eff及tp() 已知区间半宽度a和相应的先 验概率分布的包含因子k 测量不确定度评定的有关公式总结 名称符号说明公式 合成 标准不 确定度 uc(y) 直 接 测 量 各标准不确定度 分量ui(x)(包括输入量和影响量)一般都互不 相关 间 接 测 量 y=f(x1,x2,xn) 不确定度传播率 各标准不确定度分量ui 互不相关（r(xi,xj)0）。 当y/xi=1或1时 各标准不确定度分量ui 正相关（r(xi,xj) 1）。 当y/xi=1时 简化形式 yc1x1c2x2cnxn 各标准不确定度分量ui 互不相关， 系数ci=1或1 各分量ui互不相关

5、，c是常数，pi可以是正 数、负数、分数 扩展不 确定度 U不评定自由度，取k23U kuc(y) Up评定有效自由度，kptp(eff)Upkpuc(y)=tp(eff)uc(y) 误差的定义及表示法 绝对误差： 测得值与真值之差称为绝对误差，通常简称误差。 绝对误差测得值真值 修正值：实际工作中常用修正值。 为消除（减少）系统误差用代数法加到测量结果上的 值称为修正值。 修正值真值(约定真值）测得值 测量结果(真值)测得值修正值 一、误差的基本概念 相对误差 测量绝对误差与被测量的真值的比称为相对误差。 GUM中注：由于真值不能确定，实际上用约定真值（测值 的最佳估计值）。 （1）无单位（

6、无名数），通常以或10-d表示 （2）通常可比较不同测量的质量如何。 引用误差(fiducial error) 式中引用值 xm 通常指全量程或量程上限， 示值误差xm是该量程范围内任一刻度点的 示值的绝对误差中的最大值。 二、误差的分类 按照测量误差的特点、性质和规律，以及对测量结果的影响 方式，可将其分为系统误差，随机误差和粗大误差三类： 1系统误差 定义：在重复性条件下，对同一被测量进行无限多次测量所 得结果的平均值与被测量的真值之差。 特征：在同一条件下多次测量同一量值时，其绝对值和符号 保持不变或在条件改变时，其值按一定规律变化的误差，称 为系统误差。系统误差按其出现的规律又可分为:

7、 （1）定值系统误差 ：即误差的大小和方向为固定值。 （2）变值系统误差：即误差的大小和方向为规律的变化 值。 为减少系统误差用代数法加到测量结果上的值称为修正 值。 average of replicate indications minus a reference quantity value VIM, 3rd edition, JCGM 200:2008 指测量仪器示值的系统误差。通常用适当次数重复测量的 示值误差的平均来估计。 偏移或偏畸（bias of a measuring instrument） 测量偏移 measurement bias estimate of a system

8、atic measurement error 系统误差的估计值 用标准器具（物质）检定恒定系统误差 2、构造统计量 3、在给定显著水平 下，查 分布表的临界值 4、作出决策。若 ，判定被检量算术平 均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被 检量含有恒定的系统误差 。 5、加修正值。对测得值 加一个修正值 ，即 1、计算均值 ，按贝塞尔公式计算标准差 变值系统误差的发现方法之一：残差观察法 将测量列中前K个残差相加，后n-K个残差相加。当n 为偶数时，取 ，n为奇数时，取 和检验法（检验显著递增和递减误差） 前半残差和 后半残差和 引入统计量 若 存在显著的线性变化或递增、递减系统误差 。 记

9、序差 序差平方和 残差平方和（突出分散性） 引入统计量 若 则存在显著的周期性变化系统误差。 小样本序差法：用于发现周期性系统误差 两组算术平均值之间是否存在系统误差的差值 与标准差比较法： 对同一量值在测量条件不同，测量次数也不同的情 况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为n1和 n2次， 两算术平均值之差的方差为 ： 两组算术平均值之差为： 两组数据 统计量 给定显著水平 ，若 ，则 与 有显著差别，即存在系统误差；反之则无根据怀 疑两组间有系统误差。 组间 t 检验法（组数m=2，正态） 系统误差的减小与消除 恒定系统误差 替代法 交换法 抵消法 线性系统误差周期性系统误差 对称补

10、偿法半周期法 补偿和减少系统误差的途径有： （1）从误差根源上消除； （2）在测量过程中采取一定措施避免系统误差引入测量结 果。 单次测量的标准偏差： 算术平均值的标准偏差： 2、随机误差 不等权测量： 权的概念 应该让可靠程度大的在最后测量结果中占的比重 大一些，让可靠程度小的在最后测量结果中占的比重 小一些。 各测量结果的可靠程度用数值表示，这数值称为 该测量结果的“权”，记为p。测量精度愈高，可靠性愈 高，应给予的“权”应愈大。 加权算术平均值: 对同一被测量进行m组不等精度测量，得到m个测量结果 设m个测量结果各自相应的权为pi， 则加权算术平均值为： 测量准确度（accuracy o

11、f measurement） 表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。 就误差分析而言，准确度是测量结果中系统误差和随机误 差的综合，误差大，则准确度低，误差小，则准确度高。 国际“通用计量学术语”中在B.2.14这条下有两条注解： 不要使用 “precision”来表示准确度。 准确度是一个定性概念，可以用准确度高低、准确度 为0.25级、准确度为三等及准确度符合标准的说法。尽 量不使用准确度为0.25%,16mg，16mg等方式表示。 附：测量仪器的准确度定义为： 测量仪器给出接近于真值的能力。 当只考虑系统误差的大小时，准确度称为正确度。 正确度（correctness，measurem

12、ent trueness） 表示对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值与真值之 间的一致程度 closeness of agreement between the average of an infinite number of replicate measured quantity values and a reference quantity value 只考虑随机误差的大小时，准确度称为精密度。 精密度（precision） 表示在给定条件下对同一或类似被测量进行多次测量所 得的示值或测量值之间的一致性 closeness of agreement between indication

13、s or measured quantity values obtained by replicate measurements on the same or similar objects under specified conditions 测量精密度通常在数值上表示成不精密度，如标准偏差 ，方差等 “给定条件”可以是，比如，测量重复性条件，测量复现 性条件等 精密度可以用来定义测量重复性，测量复现性 重复性（repeatability） 在重复性条件下，对同一被测量进行连续多次测量 所得结果之间的一致性。 重复性条件 相同的测量程序，相同的观测者，在相同的条件下使用相同的 测量仪器，相同

14、的地点， 在短时间内重复测量 复现性（reproducibility） 在复现性条件下，对同一被测量进行连续多次测量所 得结果之间的一致性。 复现性条件 不同的测量程序或不同的观测者或不同的测量仪器或不同的地 点 指测量仪器保持其计量特性随时间恒定的能力。它可以用几 种方式来定量表示，如用计量特性变化某个规定的量所经过 的时间；或用计量特性经规定的时间所发生的变化等。 稳定性（stability of a measuring instrument） 3、异常值（粗大误差） 明显歪曲测量结果的误差称为异常值（粗大误差） ，也叫过失误差或疏忽误差。我国在GB488385中推荐 了两种异常值的判别方

15、法，两种方法是： 1、在只剔除1个异常值时采用格拉布斯(Grubbs)准 则。 2、在剔除多个异常值时采用狄克逊（Dixon)准则。 三种粗大误差判断准则 ： （1） 3准则（莱以达准则 ） 当测量结果（测量列），某一数据的残差的绝对值 |v|3 时， 则剔除此数据。 （2）格拉布斯（Grubbs)准则。 设独立重复测量的一个正态分布的测量 列x1，x2，xn，其测量标准偏差为 s(x), 对其中的一个可疑数据xd,(其残余偏差vd 的绝对值最大）， 若： 则数据xd为异常值，应予剔除；否则应予 保留。 函数误差 间接测量的概念 (1)直接测量无需对被测的量与其它实测的量进行 函数关系的辅助计

16、算，而直接得到被测量值的测 量。 例如：用游标卡尺直接测量零件直径。 (2) 间接测量实测的量与被测的量之间有已知函 数关系，通过计算而得到被测量值的测量。 例如: 用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度 h，通过函数计算来求圆柱体体积V。 一、函数系统误差计算 设间接测量中间接测量值y是各个直接测量量 xi 的多元 函数，其表达式为 式中： 间接测量值 各个直接测量值。 可近似得到函数的系统误差为： 二、函数随机误差的计算： 对于函数的随机误差,当各测量值的随机误差相 互独立时，函数随机误差的计算式为： 当各测量值的随机误差相互不独立，即相互间相 关时，函数随机误差计算的普遍式为： 其中相关系数为： 测量不确定度 不确定度定义： 不确定度是测量结果带有的一个参数，用以 表征合理赋予被测量的值的分散性。 测量误差测量不确定度 1测量值与真值之差，表明测量 结果偏离真值的量 表