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1、 第五章 习题1 一平行板电容器的两极板都是半径为 的圆导体片,在充电时,其中电场强度的变化率为: 。试求: (1) 两极板间的位移电流 ; (2) 极板边缘的磁感应强度 。 解: (1)如图所示,根据电容器极板带电情况,可知电场强度 的方向水平向右(电位移矢量 的方向与 的方向相同)。 因电容器中为真空,故 。忽略边缘效应,电场只分布在两板之间的空间内,且为匀强电场。已知圆板的面积 ,故穿过该面积的 的通量为 由位移电流的定义式,得电容器两板间位移电流为 因 ,所以 的方向与 的方向相同,即位移电流的方向与 的方向相同。 (2)由于忽略边缘效应,则可认为两极板间的电场变化率是相同的,则极板间
2、的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为 的圆,其上 的大小相等,选积分方向与 方向一致,则由安培环路定理可得 (全电流)因在电容器内传导电流 ,位移电流为 ,则全电流为 所以 极板边缘的磁感应强度为 根据右手螺旋定则,可知电容器边缘处的磁感应强度 的方向,如图所示。2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板,面积均为 ,接于一交流电源时,板上的电荷随时间变化,即 。试求: (1) 电容器中的位移电流密度的大小; (2) 设 为由圆板中心到该点的距离,两板之间的磁感应强度分布 。解: (1)由题意可知, ,对于平行板电容器电位
3、移矢量的大小为 所以,位移电流密度的大小为 (2)由于电容器内无传导电流,故 。又由于位移电流具有轴对称性,故可用安培环路求解磁感应强度。设 为圆板中心到场点的距离,并以 为半径做圆周路径 。根据全电流安培环路定理可知 通过所围面积的位移电流为 所以 . 最后可得 3. 如图(a)所示,用二面积为 的大圆盘组成一间距为 的平行板电容器,用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流 充电,试求: (1) 此电容器中位移电流密度; (2) 如图(b)所示,电容器中 点的磁感应强度; (3) 证明在此电容器中从半径为 厚度为 的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相
4、等。 解:(1)由全电流概念可知,全电流是连续的。电容器中位移电流密度 的方向应如图(c)所示,其大小为 通过电源给电容器充电时,使电容器极板上电荷随时间变化,从而使极板间电场发生变化。因此,也可以这样来求 : 因为 由于 ,因此 所以 (2)由于传导电流和位移电流均呈轴对称,故磁场 也呈轴对称,显然过 点的 线应为圆心在对称轴上的圆,如图(c)所示。 根据全电流安培环路定理,将 用于此 线上,有 得 所以 (3)在电容器中作半径为 厚度为 的圆柱体,如图(d)所示。由坡印廷矢量 分析可知, 垂直指向圆柱体的侧壁,这表明电磁场的能量是从侧壁流入圆柱体内的。在单位时间内流入的能量为 因为 所以
5、由于传导电流和位移电流都不随时间变化,故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的,故电场的能量是随时间增加的。图(d)中圆柱体内单位时间内增加的电场的能量为 显然,单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。 4 如图所示,已知电路中直流电源的电动势为 电阻 ,电容器的电容 ,试求: (1) 接通电源瞬时电容器极板间的位移电流; (2) 时,电容器极板间的位移电流; (3) 位移电流可持续多长时间。(通常认为经过10倍电路时间常数 后电流小到可忽略不计)解: 对 串联电路的暂态过程有 求解该方程得: ,表示极板上的电荷量是随时间变化。在电容器内,由上题结论得电容
6、器中的位移电流为 对应不同的情况,可求得 (1)在接通电源的瞬时 ,电容器极板间的位移电流 。 (2)当 时, (3)在 时可认为电流忽略不计,即 。所以 5 一球形电容器,其内导体半径为 ,外导体半径为 ,两极板之间充有相对介电常数为 的介质。现在电容器上加电压,内球与外球的电压为 ,假设 不太大,以致电容器电场分布与静电场情形近似相等,试求介质中的位移电流密度以及通过半径为 的球面的位移电流。解: 设电容器极板上带有电荷 ,由位移电流密度公式可知 由于球形电容器具有球形对称,用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为 ( 为径向单位向量) 球形电容器极板间的电势差为 与上式联立,消去 ,得
7、 所以位移电流密度为 在电容器中,作半径为 的球面 ,通过它的位移电流为 的流向沿径向,且随时间变化。6 如图所示,电荷 以速度 向 点运动( 到 点的距离以 表示)。在 点处作一半径为 的圆,圆面与 垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处的磁感应强度 。 解: 电荷在其周围要激发电场,同时由于电荷运动,根据麦克斯韦假设,此时随时间变化的电场又激发磁场。设 时间穿过圆面上的电位移通量为 为使计算简便,可以 为球心, 为半径, 为小圆半径的底面,做一球冠,球面上各点的 的大小相等,穿过题意圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即 代入位移电流的定义式,得取半径为 的圆为积分回路 ,由麦克斯韦方程,有