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1、1 第五章 插值法 数值计算科学 2 第5章 插值法 在现代机械工业中用计算机程序控制机械零件加工， 根据设计可给出零件外形曲线的某些形值点的数据，加 工为控制每步走刀方向及步骤，需要算出零件外形曲线 其他点的坐标数据，才能加工出外表光滑的零件。该问 题相当于，函数在某个区间a,b上存在且连续， 但不知道解析表达式，只给出a,b上离散点xi的函数值 如何计算 问题：选取什么函数P(x)作为近似函数，如何求得 在a,b上其它点的函数值？ 具体表达式，误差如何？ 3 5.1 插值法多项式存在性与唯一性 5.1.1 插值法的一般提法 设y=f(x)是区间a,b上的一个实函数，xi (i=0,1,n)
2、 是a,b上n+1个互异实数，已知y=f(x)在xi的函数值为 yi=f(xi) (i=0,1,n)，若存在一个简单函数P (x)，使其 满足： P(xi)=yi=f(xi) (i=0,1,n)(5.1) 则称P(x) 为f(x)的插值函数，点xi (i=0,1,n)为插值节点， a,b称为插值区间，条件式(5.1)称为插值条件。 4 5.1 插值法多项式存在性与唯一性 若P(x)是次数不超过n的多项式，即 其中ai是实数，则称Pn(x)为插值多项式，相应的插值方 (5.2) 法称为多项式插值。 若P(x)是分段多项式，则称为分段插值。 若P(x)是三角多项式，则称为三角插值。 定义5.1 多
3、项式插值法 5 5.1 插值法多项式存在性与唯一性 5.1.2 插值多项式的存在性和唯一性 定理5.1 满足插值条件(5.1)的次数不超过n的多项式 存在而且唯一。 证明 设所求的插值多项式为: 则由(5.1)可得关于系数a0,a1,an的线性方程组： (5.3) 6 其系数行列式为范德蒙(Vandermonde)行列式 由于插值节点xi互不相同，所以上述行列式不等于零， 故由克莱姆法则知，方程组(5.3)的解存在且是唯一的。 即满足插值条件(5.1)的次数不超过n的多项式(5.2)存在 而且唯一。 5.1 插值法多项式存在性与唯一性 7 5.2 拉格朗日插值法 5.2.1 Lagrange插
4、值多项式 先考虑下面最简单、最基本的插值问题。即求n次 多项式li(x) (i=0,1,n)，使其满足条件 (5.4) 式(5.4)表明，除xi点外，其他所有节点都是n次多项式 li(x)的零点，故可设 8 5.2 拉格朗日插值法 其中A为待定常数。由li(xi)=1可得 所以 (5.5) 称之为拉格朗日插值基函数。 9 利用插值基函数(5.5)，可以构造多项式 (5.6) 这里Pn(x)称为Lagrange插值多项式。 5.2 拉格朗日插值法 10 拉格朗日插值公式(5.6)形式对称，结构紧凑，容 易编写计算机程序。下图为其流程图。 5.2 拉格朗日插值法 输入n，(xi,yi) (i=0,
5、1,n)和x y=0 对i=0,1, ,n 执行 t=1 对j=0,1, ,n 执行 j=i ? TF t=t(x-xj)/(xi-xj) y=y+tyi 输出x,y，结束 11 5.2 拉格朗日插值法 5.2.2 线性插值与抛物插值 已知函数在x0，x1处的函数值分别为y0，y1 在式（5.6）中当n=1时，Lagrange插值多项式为 (5.7) 其中 12 5.2 拉格朗日插值法 已知函数在x0,x1,x2处的函数值分别为y0， y1,y2在式（5.6）中当n=2时，Lagrange插值多项式为 (5.8) 其中 13 5.2 拉格朗日插值法 例5.1 用线性插值和抛物插值求 解： 一、
6、线性插值 取x0=100, y0=10, x1=121, y1=11，由公式得： 于是： 14 5.2 拉格朗日插值法 二、抛物插值 如果对线性插值的精度不满意，可增加一个节点 x2=144，y2=12，则由公式 15 5.2 拉格朗日插值法 的精确值是10.723805，线性插值是10.7143，有3 位有效数字，抛物插值是10.7228，有4位有效数字。 16 5.2 拉格朗日插值法 5.2.4 插值余项与误差估计 Lagrange插值余项 称Rn(x)=f(x)-Pn(x)为Lagrange插值余项或截断误差。 定理5.2 设f(x)在a,b上存在n阶连续导数，f (n+1)(x)在开
7、区间(a,b)内存在，xia,b(i=0,1,n)为n+1个 互异节点，则对任何xa,b有 式中(a,b)且与x有关。 (5.9) 17 5.2 拉格朗日插值法 Lagrange插值误差估计 定理5.3 如果f (n+1)(x)在区间(a,b)上有界，即存在常数 Mn+10，使得 则有截断误差估计 如果f (n+1)(x)在区间a,b上连续，则可取 (5.10) 18 5.2 拉格朗日插值法 性质5.1 设节点x0x1，在x0,x1上连续，记 则过点的线性插值余项为 (5.11) 由于在x0,x1上，在达到 最大值可得余项的一个上界估计，对于 有 (5.12) 19 5.3 牛顿插值公式 一、
8、差商及其基本性质 定义1 称 为函数f(x)在x0、x1 点的一阶差商。一阶差商的差商： 称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶差商。一般地， n-1阶差商的差商： 称为f(x)在x0、x1、xn点的n阶差商。 20 性质1 差商可以表示为函数值的线性组合，即 (5.13) 其中 (5.14) 差商的这一性质称之为差商的对称性。 性质2 性质3 若f(x)在a,b上存在n阶导数，且节点x0、x1、 、xna,b，则至少存在一点a,b，使 5.3 牛顿插值公式 21 二、牛顿插值多项式 设x是a,b上的一点，则有一阶差商定义有 得 f(x)=f(x0)+fx, x0(x-x0) 同理，由二阶
9、差商定义 得 fx, x0=fx0, x1+fx, x1, x0(x-x1) 如此继续下去，可得一系列等式： 5.3 牛顿插值公式 22 依次将后式代入前式，最后得： 5.3 牛顿插值公式 23 可见，式(5.15)所示的Pn(x)为次数不超过n的多 项式，且由公式(5.17)易知Pn(x)满足插值条件(5.1)， 故其为多项式插值问题的解，称之为牛顿插值多项式 。其系数就是差商表5.1中横线标出的各阶差商。式 (5.16)为牛顿插值多项式的余项。在实际应用中，公 式(5.15)常被写成如下递推形式： 5.3 牛顿插值公式 24 5.3 牛顿插值公式 例5.2 已知函数f(x)=shx的函数值
10、如下表所示，构造4次 Newton插值多项式并计算f(0.596)=sh0.596的值。 k012345 xk0.40000.55000.65000.80000.90001.0500 f(xk)0.41075 0.57815 0.69675 0.88811 1.02652 1.25386 解： 先构造差商表如下： 25 5.3 牛顿插值公式 kxkf(xk)一阶 差商 二阶 差商 三阶 差商 四阶 差商 五阶 差商 0.650.696751.14400.2800 30.800.888111.19340.30960.1973 40.901.026521.23150.33010.20050.032
11、0 51.051.253861.29710.36220.20550.03280.0053 00.400.41075 10.550.578151.1160 2 26 5.3 牛顿插值公式 27 三、等距节点的牛顿插值公式 设函数y=f(x)在等距节点xi=x0+ih(i=0,1,n)上的 函数值为fi=f(xi)，这里步长h为常数。 定义2 分别称为f(x)在点 xi处的一阶向前差分和一阶向后差分。一阶差分的差 分 分别称为f(x)在 点xi处的二阶向前差分和二阶向后差分。 一般地，m- 1阶差分的差分为： 分别称为f(x)在点xi处的m阶向前差分和m阶向后差分 5.3 牛顿插值公式 28 差分
12、有如下基本性质： 性质1 性质2 牛顿向前插值公式 设小xx0,xn且小x在x0附近，则可令x=x0+th(0t1)， 将此式及(5.18)代入牛顿插值公式(5.15)可得 5.3 牛顿插值公式 29 其余项公式为： 牛顿向后插值公式及余项 令x=xn+th(-1t0)，可得 5.3 牛顿插值公式 30 5.4 埃尔米特插值 一、问题的提出 为了使插值函数能更好地切合原来的函数，许 多问题不但要求两者在节点上函数值相等，而且还 要求导数值相同，甚至要求高阶导数也相等。这类 插值问题称为埃尔米特(Hermite)插值。本节仅讨论 两个节点且已知这两个节点上的函数值和一阶导数 值的情形。 定义 设
13、y=f(x)是区间a,b上的实函数，x0、x1是a,b 上相异两点，不妨设x0x1，已知y=f(x)在xi上的函数 值yi=f(xi) (i=0,1)和一阶导数值mi=f (xi) (i=0,1)，求三 31 次多项式H3(x)，使其满足： 这样的H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式。 二、埃尔米特插值多项式 解决上述问题，类似于拉格朗日插值多项式的 构造过程，仍采用基函数的思想，首先求分别满足 下列插值条件的四个最基本的三次埃尔米特插值多 项式，即基函数0(x)、1(x)、0(x)、1(x) 5.4 埃尔米特插值 32 5.4 埃尔米特插值 33 5.4 埃尔米特插值 34 现仅以求0(x)
14、为例进行推导。由式(4-18)可知， 0(x1)= 0(x1)=0 即x1为三次多项式0(x)的二重根，所以可将0(x)表 示为： 0(x)=c(x-x0)+d(x-x1)2 式中常数c、d待定。在由式(4-18)知 解得 5.4 埃尔米特插值 35 类似地，可以构造出其他基函数 5.4 埃尔米特插值 36 根据条件式(5.21) (5.24)，可得满足条件式(5.20)的 三次埃尔米特插值多项式为： H3(x)=y00(x)+y11(x)+m00(x)+m11(x) (5.29) 实际计算中经常用到下面两个函数： 0(x)=(1+2x)(1-x)2 1(x)=x(1-x)2 (5.30) 它
15、们分别满足： 0(0)=1 0(1)=0(0)=0(1)=0 1(0)=1 1(0)=1(1)=1(1)=0 通常称之为“标准化”的基函数。 三次埃尔米特插值基函数可由其表示为： 5.4 埃尔米特插值 37 5.4 埃尔米特插值 38 据此可知，三次埃尔米特插值多项式可用标准化 的基函数形式表示为： 式中h=x1-x0，更便于在计算机上使用。 定理5.4 满足插值条件(5.20)的三次埃尔米特插值多项 式存在且唯一。 5.4 埃尔米特插值 39 三、插值余项 定理5.5 设f(x)在包含x0、x1的区间a,b内存在四阶 导数，则当xa,b时，有： 其中(a,b)且与x有关。 设 ，则当x(x0, x1)，式(5.33)有 如下估计式： 5.4 埃尔米特插值 40 5.5 分段多项式插值 一、多项式插值存在的问题 值得注意的是：插值多项式的次数并不是越高 ，逼近的精度就会越好。其原因主要在两方面： 节点的增多虽然使插值多项式P(x)在更多的地方 与f(x)相等，但是在两个插值节点之间P(x)不一定 能很好地逼近f(x)
