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1、一、泰勒级数 二、初等函数的幂级数 展开式 由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的函 数表示为一个多项式与一 个余项的和. 如果能将一个 满足适当条件的函数在某 个区间上表示成一个幂级 数, 就为函数的研究提供了 一种新的方法. 2 函数的幂级数展 开 数学分析 第十四章 幂级数 *点击以上标题可直接前往对应内容 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 在第六章3的泰勒定理中曾指出, 若函数 f 在点x0 的某邻邻域内存在直至n+1阶阶的连续导连续导 数 , 这这里为为拉格朗日型余项项 其中 在x与x0之间间, 称(1)式为为 f 在点的泰勒公式. 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数
2、初等函数的幂级幂级数展开式 泰勒级数 则则 后退 前进进 目录录 退出 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 由于余项 是关于 的高阶无穷小, 在点 附近 f 可用(1)式右边的多项式来近似代替, 这这是泰勒公式带带来的重要结论结论 . 再进一步, 设函数 f 在 处存在任意阶导数, 就可以由函数 f 得到一个幂级幂级 数 通常称 (3) 式为 f 在 处的泰勒级数. 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 因此 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例1 由于函数 在处的任意阶导数都等于0 (见第六章4 第 二段末尾 ), 2 函数的幂级幂级数展
3、开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 对对于级级数(3)是否能在点 附近确切地表达 f , 说级说级 数(3)在 点 附近的和函数是否就是 f 本身, 就是本节节所要着重讨论讨论 的问题问题 . 这这 即 或者 请请先看一个例子. 因此 f 在 的泰勒级级数为为 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 显然它在 上收敛, 且其和函数 . 由此看到, 对对一切 都有 . 上例说说明, 具有任意阶导阶导 数的函数 , 都能收敛敛于该该函数本身, 那么怎样样的函数, 其泰勒级级数才能收敛敛于它本身呢? 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 泰勒级级数并不 哪怕在很
4、小的一个邻邻域内. 定理14.11 上等于它的泰勒级数的和函数的充 对一切满足不等式 的x,有 是f 在点 这这里 泰勒公式的余项项. 设 f 在点 具有任意阶导数, 那么 f 在区间间 分条件是: 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 如果 f 能在点 的某邻域上等于其泰勒级数的和函数, 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 的这一邻域内可展开成泰勒级级数, 则称函数 f 在点 并称等式 的右边为 f 在 处的泰勒展开式, 或幂级幂级 数展开式. 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 称为为麦克劳劳林级级数. 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数
5、初等函数的幂级幂级数展开式 由级级数的逐项项求导导性质质可得: 即幂级幂级 数展开式是唯一的. 收敛区间上的和函数, 上的泰勒展开式, 就是 f 在 则 若 f 为幂级数 在 在实际应用上, 主要讨论函数在 处处的展开式: 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 从定理14.11知道, 下面列出当 时的积积分型余项项、 拉格朗日型余项项和柯西型余项项, 余项对项对 确定函数能否展开为幂级为幂级 数 是极为为重要的, 以便于后面的讨论讨论 . 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例2 求下面k次多项项式函数的幂
6、级幂级 数展开式. 解 由于 即多项项式函数的幂级幂级 数展开式就是它本身. 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 初等函数的幂级数展开式 因而 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例3 求函数 f (x) = ex 的幂级幂级 数展开式. 解 显见显见 于是对对任何实实数 x, 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 的拉格朗日余项为项为 都有 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例4 所以在上可以展开为麦克
7、劳 林级级数: 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 有 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 同样样可证证(或用逐项项求导导), 在上有 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例5 所以的麦克劳劳林级级数是 用比式判别法容易求得级数(5)的收敛半径, 且 当时收敛, 时发散, 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 故级数(5)的收敛域 是 . 下面讨论在上它的余项的极限. 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 当时时, 当时, 因拉格朗日型余项不易
8、估计, 故改 用柯西型余项项. 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 对对拉格朗日型余项项, 有 此时时有 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 这这就证证得在上 的幂级幂级 数展开式就是(5). 将(5)式中 x 换成 就得到函数 处处的泰勒展开式: 其收敛敛域为为 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例6 讨论讨论 二项项式函数的展开式. 解 当 为正整数时, 就是例2. 下面讨论讨论不等于正整数时时的情形, 于是 的麦克劳劳林级级数是 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数
9、的幂级幂级数展开式 这这 时时 运用比式法, 可得(6)的收敛半径. 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 由比式判别别法, 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 在 内考察它的柯西型余项项 故有 从而有 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 所以在 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 对对于收敛敛区间间端点的情形, 与 的取值值有关: 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 一般来说说, 只有比较简
10、单较简单 的函数 , 根据幂级幂级 数展开式的唯一性, 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 间间接地求得函数的幂级幂级 数展开式. 其幂级幂级 数展开式能 在更多情况下可以从已知的展开 通过变过变 量代换换、四则则运算或逐项项求导导、逐项项 前面的展开幂级幂级 数的方法, 称为为直接展开法 . 用直接展开法求得. 式出发发, 求积积等方法， 这这就是间间接展开的根据. 不管用什么方法得到的 幂级幂级 数的系数都是一样样的. 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例7 以 与分别别代入(8)与(9)式, 可得 对 (10)、(11)分别逐项求积可得 2 函数
11、的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例8 求 在 处的幂级数展开式. 因此 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 解 熟练练掌握某些初等函数的展开式， 对对于今后用间间接方法求幂级幂级 数展开十分方便. 特别别是例3 例7 的结结果, 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 用类类似方法可得 . (13) 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 所以 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例9 计计算 的近似值值, 精确到 解 可以在展开式 中令 , 得 .
12、. 级级数前10000项项的和, 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 令代入(13)式, 有 这是一个交错级数, 故 有 为了误差小于0.0001, 就必须计 算 为为此在(13)式中收敛敛得太慢. 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 估计计余项项: 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 取n=4, 有 因此 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 例10 用间间接方法求非初等函数 的幂级幂级 数展开式. 解 以 代替 ex 的展开式中的 x, 得 再逐项项求积积, 在上的展开式: 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 最后举举例说说明怎样样用幂级幂级 数形式表示某些非初等函数. 就得到 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 F(x) 用上述级级数的部分和逐项项逼近的过过程, 示于 下图图: -2-112O -1 -0.5 0.5 1 2 函数的幂级幂级数展开泰勒级级数初等函数的幂级幂级数展开式 数学分析 第十四章 幂级幂级 数 高等教育出版社 复习思考题 1. 设幂级数在的和函数为 问 在处处的幂级幂级 数展开式是什么? 2. 设设函数在上的幂级幂级 数展开式为为 若上式右边的幂级数在(或)收敛, 得出上式在(或)成立? (结结合例8进进行讨论讨论 ) 能否
