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1、单辉祖:工程力学(材料力学)1 第 9 章 扭 转 剪切基本定理 圆截面轴的扭转应力与变形 圆截面轴的扭转强度与刚度 简单静不定轴 非圆截面轴扭转简介 本章主要研究： 单辉祖:工程力学(材料力学)2 1 引言 2 动力传递与扭矩 3 切应力互等定理与剪切胡克定律 4 圆轴扭转横截面上的应力 5 圆轴扭转强度与合理设计 6 圆轴扭转变形与刚度条件 7 非圆截面轴扭转简介 单辉祖:工程力学(材料力学)3 1 引 言 扭转实例 扭转及其特点 单辉祖:工程力学(材料力学)4 扭转实例 F F 单辉祖:工程力学(材料力学)5 M 单辉祖:工程力学(材料力学)6 扭转及其特点 变形特征：各横截面间绕轴线作
2、相对旋转，轴线仍为 直线扭转变形 外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式扭转 以扭转为主要变形的杆件轴 扭力偶矩：扭力偶之矩扭力偶矩或扭力矩 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶扭力偶 单辉祖:工程力学(材料力学)7 2 动力传递 与扭矩 功率、转速与扭力偶矩的关系 扭矩与扭矩图 例题 传动轴的扭力偶矩计算 1. 直接计算 单辉祖:工程力学(材料力学)9 功率、转速与扭力偶矩的关系 已知：动力装置的输出功率 P（kW）,转速 n（r/min） 试求：传递给轴的扭力偶矩 M（N.m） 设角速度为 (rad/s) 例: P5 kW, n=1450 r/min, 则
3、 单辉祖:工程力学(材料力学)10 扭矩与扭矩图 10 3 扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋规则为正，反 之为负。 1 扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩 mm m T x 11 4 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目 的 扭矩变化规律； |T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面 ）。 x T 单辉祖:工程力学(材料力学)12 扭矩图 （m轴单位长度内的扭力偶矩）试分析轴的扭矩 表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）扭矩图 单辉祖:工程力学(材料力学)13 例 题 例 2-1 MA=76 N m, MB
4、=191 N m, MC=115 N m, 画扭矩图 解： 14 单辉祖:工程力学(材料力学)15 3 切应力互等定理与剪切胡克定律 薄圆管的扭转切应力 切应力互等定理 剪切胡克定律 例题 单辉祖:工程力学(材料力学)16 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变 试验现 象 各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动 由于管壁薄，可近似认 为管内变形与管表面相 同，均仅存在切应变g 。 薄壁圆管扭转切应力 17 横截面上的应力： (1) 只有与圆周相切的切应力( shearing stress )，且圆周上所 有点处的切应力相同； (2) 对于薄壁圆筒，可认为切应力沿壁厚均匀分布； (3) 横
5、截面上无正应力。 第三章 扭转 Mem m x r0 t dA 单辉祖:工程力学(材料力学)18 假设：切应力沿壁厚均匀分布 应力公式 适用范围：适用于所有匀质薄 壁杆，包括弹性、非弹性、线 性与非线性等情况 精度：线弹性情况下,当d R0/10 时,误差 4.53% 单辉祖:工程力学(材料力学)19 在微体互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相 等，方向则均指向或离开该交线切应力互等定理 截面上存在正应力时，互等定理仍成立（请自证） 切应力互等定理与纯剪切 微体互垂截面上仅存在切应力的应力状态纯剪切 剪切胡克定律 引入比例常数G 在剪切比例极限内，切应力与 切应变成正比剪切胡克定律 G切变
6、模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa 实验表明：当切应力 t 不超过一定限度p时 tp剪切比例极限 单辉祖:工程力学(材料力学)21 例 题 例 3-1 图示板件, 边宽为a, 已知 Ds = a/1000, G = 80 GPa, 试求板边切应力t = ? 解： 注意：g 虽很小，但 G 很大，切应力 t 不小 g 为一很小的量，所以 单辉祖:工程力学(材料力学)22 例 3-2 一薄壁圆管，平均半径为R0，壁厚为d，长度为l ，横截面上的扭矩为T，切变模量为G，试求扭转角j。 解： 单辉祖:工程力学(材料力学)23 4 圆轴 扭转横截面上的应力 扭转试验与假设 扭转应力分析 极惯性矩与
7、抗扭截面系数 例题 单辉祖:工程力学(材料力学)24 扭转试验与假设 各横截面如同刚性平面，仅绕轴线作相对转动 当变形很小时，各圆周线的大小与间距均不改变 扭转平面假设 试验现 象 各圆周线的形状不变,仅绕轴线作相对转动 从试验、假设入手,综合考虑几何、物理与静力学三方面 单辉祖:工程力学(材料力学)25 扭转应力分析 物理方面几何方面 dj / dx扭转角变化率 单辉祖:工程力学(材料力学)26 静力学方面 应力与变形公式 极惯性矩 抗扭截面系数 公式的适用范围：圆截面轴；tmaxtp 单位：mm4，m4。单位：mm3，m3。 27 横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式 。 公式讨论： 仅
8、适用于各向同性、线弹性材料， 在小变形时的等圆截面直杆。 式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得 。 该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 28 单位：mm4，m4。 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面： D d O 29 对于空心圆截面： d D O d 30 应力分布 （实心截面）（空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻 ， 结构轻便，应用广泛。 单辉祖:工程力学(材料力学)31 例 题 例 4-1 已知MC= 2MA= 2MB=200Nm；AB段，d=20mm； BC段，di=15mm
9、，do=25mm。求各段最大扭转切应力。 解 ： 单辉祖:工程力学(材料力学)32 5 圆轴 扭转强度与合理设计 扭转失效与扭转极限应力 圆轴扭转强度条件 圆轴合理强度设计 例题 33 低碳钢扭转试验 开始 第三章 扭转 低碳钢扭转试验结束 34 低碳钢扭转破坏断口 第三章 扭转 35 铸铁 扭转破坏试验过 程 第三章 扭转 36 铸铁 扭转破坏断口 第三章 扭转 单辉祖:工程力学(材料力学)37 扭转失效与极限应力 塑性材料屈服 断裂 脆性材料 断裂 扭转屈服应力ts ，扭转强度极限tb 扭转极限应力tu 圆轴扭转屈服时横截面上的最大切应力扭转屈服应力 圆轴扭转断裂时横截面上的最大切应力扭转
10、强度极限 扭转极限应力 扭转失效形式 单辉祖:工程力学(材料力学)38 圆轴扭转强度条件 等截面圆轴: 变截面或变扭矩圆轴: tu材料的扭转极限应力 n - 安全因数 塑性材料：t =（0.50.577） s 脆性材料：t = （0.81.0） st 为保证轴不因强度不够而破坏，要求轴内的 最大扭转切应力不得超过扭转许用切应力 危险点处于纯剪切状态，又有 单辉祖:工程力学(材料力学)39 圆轴合理强度设计 1. 合理截面形状 若 Ro/d 过 大将产生皱 褶 空心截面比 实心截面好 2. 采用变截面轴与阶梯形轴 注意减缓 应力集中 单辉祖:工程力学(材料力学)40 例 题 例 5-1 已知 T
11、=1.5 kN . m，t = 50 MPa，试根据 强度条件设计实心圆轴与 a = 0.9 的空心圆轴，并 进行比较。 解：1. 确定实心圆轴直径 单辉祖:工程力学(材料力学)41 2. 确定空心圆轴内、外径 3. 重量比较 空心轴远比 实心轴轻 单辉祖:工程力学(材料力学)42 解：1. 扭矩分析 例 5-2 R050 mm的薄壁圆管，左、右段的壁厚分别 为 d1 = 5 mm，d2 = 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m，t = 50 MPa，试校核圆管 强度。 单辉祖:工程力学(材料力学)43 2. 强度校核危险截面： 截面 A与 B 单辉祖:工程力学(材料力学
12、)44 6 圆轴 扭转变 形与刚度计算 圆轴扭转变形 圆轴扭转刚度条件 例题 单辉祖:工程力学(材料力学)45 圆轴扭转变形 扭转变形一般公式 GIp圆轴截面扭转刚度，简称扭转刚度 常扭矩等截面圆 轴 单辉祖:工程力学(材料力学)46 圆轴扭转刚度条件 圆轴扭转刚度条件 q 单位长度的许用扭 转角 注意单位换算: 一般传动轴， q = 0.5 1 ()/m 单辉祖:工程力学(材料力学)47 例 题 例 6-1 已知：MA = 180 N.m， MB = 320 N.m， MC = 140 N.m，Ip= 3105 mm4，l = 2 m，G = 80 GPa， q = 0.5 ()/m 。jA
13、C=? 并校核轴的刚度 解：1. 变形分析 单辉祖:工程力学(材料力学)48 2. 刚度校核 注意单位换算！ 49 传动轴传动轴 的转转速为为n=500r/min，主动轮动轮 A 输输入功率 P1=400kW，从动轮动轮 C，B 分别输别输 出功率P2=160kW， P3=240kW。已知=70MPa，=1/m，G=80GPa。 (1)试试确定AC 段的直径d1 和BC 段的直径d2； (2)若AC 和BC 两段选选同一直径，试试确定直径d； (3)主动轮动轮 和从动轮应动轮应 如何安排才比较较合理? 解： 1.外力 例题 50 2.扭矩图图 按刚刚度条件 3.直径d1的选选取 按强度条件 5
14、1 按刚刚度条件 4.直径d2的选选取 按强度条件 5.选选同一直径时时 52 6.将主动轮动轮 安装在 两从动轮动轮 之间间 受力合理 单辉祖:工程力学(材料力学)53 例 6-2 试计算图示圆锥形轴的扭转角 解： 单辉祖:工程力学(材料力学)54 例 6-3 试求图示轴两端的支反力偶矩 解：1. 问题分析 未知力偶矩2个，平衡方程1个，一度静不定 需要建立补充方程，才能求解 单辉祖:工程力学(材料力学)55 2. 建立补充方程 3. 计算支反力偶矩联立求解方程 (a) 与 (b) 单辉祖:工程力学(材料力学)56 7 非圆截面轴扭转简 介 矩形截面轴扭转 椭圆等截面轴扭转 例题 单辉祖:工
15、程力学(材料力学)57 矩形截面轴扭转 圆轴平面假设不适用于非圆截面轴 试验现 象 横截面翘曲, 角点处 g 为零, 侧面中点处 g 最大 单辉祖:工程力学(材料力学)58 应力分布特点 横截面上角点处，切应力为零 横截面边缘各点处，切应力 / 截面周边 横截面周边长边中点处，切应力最大 单辉祖:工程力学(材料力学)59 弹性力学解 系数 a, b, g 表 长边中点 t 最大 a 0.208 0.219 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 b 0.141 0.166 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 g 1.000 0.930 0.859 0.820 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.742 0.742 0.742 单辉祖:工程力学(材料力学)60
