工程电磁场第一章4解析

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1、1.6 镜像法与电轴法 Image Method and Electric Axis Method 下 页上 页 镜像法与电轴法的基本思想 根据唯一性定理，用虚设的简单分布电荷替代未知的 复杂分布电荷，把求解偏微分方程的问题转化为求解简单 分布电荷电场的问题。是一种间接计算方法。 1. 点电荷对平面导体的镜像 场分布特点： 平面导体上产生负感应电荷 电场为两维子午平面场 下 页上 页 边值问题 上半空间的电位 导体平面上 方程相同，边界条件相同，解唯一。 感应电 荷产生 的电位 上半场域的电位和电场 下 页上 页 -q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板 上复杂分布的感应电荷的作用； 注

2、意 镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外； 根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可 作相应的镜像。 p r1 r2 下 页上 页 q2 q1 q3 q2 q1 q3 -q2 -q1-q3 - 地面上感应电荷的总量为 垂直地面的电场分量 试求空气中点电荷q 在地面引起的感应电荷分布。 解 下 页上 页 例 应用镜像法，地面任意点 地面电荷分布 镜像法小结 镜像法的理论依据是： 镜像法的实质是： 镜像法的关键是： 镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。 用虚设的简单分布的镜像电荷替代未知的复杂分布电 荷，使计算场域为无限大均匀媒质； 静电场唯一性定理； 确定镜像电荷的个数，大小及位置以保证原

3、场的边值 问题不变； 应用镜像法解题时注意： 下 页上 页 2. 点电荷对球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外 下 页上 页 场分布特点： 球面上产生负感应电荷 电场为两维子午平面场 边值问题 导体球外（除q点）空间： 下 页上 页 确定镜像电荷的位置 确定镜像电荷大小 应用镜像法求解 球面电位 将 r1, r2 代入方程 ，得 镜像电荷放在求解的 场域外。 联立求解得 镜像电荷位置 镜像电荷大小 下 页上 页 镜像电荷等于负感应电荷总量。 球外任一点P 的电位与电场为 球外的电场分布 球外的电场计算 下 页上 页 1.点电荷q 对不接地金属球的镜像。 边值问题 思路 下 页上 页 讨论 导

4、体球外（除q点）空间： 则 任一点电位 通量为零（ 大小相等） 球面等位（ 位于球心） 下 页上 页 导体球零电位 球面电位 任一点场强 点电荷位于不接地导体 球附近的场图 下 页上 页 讨论 2.点电荷q 对带有电荷 Q的金属球的镜像。 下 页上 页 边值问题思路 导体球外（除q点）空间： +Q 讨论 下 页上 页 3.点电荷q 对带有电压U0的金属球的镜像。 边值问题思路 导体球外（除q点）空间： +Q 讨论 下 页上 页 4.点电荷q 在不带电的金属球壳内的镜像。 边值问题思路 导体球内（除q点）空间： q-q b d 讨论 下 页上 页 5.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。 边值问题

5、思路 上半空间（除q点）： q q -q -q +q 讨论 下 页上 页 6.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。 边值问题思路 上半空间（除q点）： q q -q -q +q 破坏了边 值问题 无限大接 地导板 讨论 下 页上 页 6.求图示问题的镜像电荷的位置和大小。 边值问题思路 左半空间（除带电球）： Q q -q q q -q -q Q=q+q+q+ 3. 点电荷对不同介质分界面的镜像 下 页上 页 边值问题 上半空间（除q点）： 下半空间： 分界面： 解得 下 页上 页 保证方程不变 边界条件： 电场分布图 1中的电场由q 与q共同产生，q等效替代极化 电荷的影响。 2中的电场由 q

6、 决定，q 等效替代自由电荷与 极化电荷的作用。 注意 下 页上 页 4.电轴法（Electric Axis Method） 问题 下 页上 页 长直平行双传输线 在传输线系统中，导线之间的 静电感应作用使导线表面的电荷分 布不均匀，直接求解电场分布很困 难。 边值问题 导线以外的空间 下 页上 页 应用镜像法求解 镜像电荷 长直带电细导线替代感应电荷的作用 镜像电荷的位置电轴法 两根细导线产生的电位 下 页上 页 细导线产生的电场 以 y 轴为参考电位 令： 常数，等位线方程 下 页上 页 圆的方程 K 取不同值时，得到一族等电位圆。 圆心坐标 圆半径 下 页上 页 右半平面。 左半平面。

7、a、h、b满足关系 圆心坐标 圆半径 下 页上 页 联系？ ( 以 y 轴为参考电位) 例 b) 圆柱导线间的电场与电位 解 a) 计算电轴位置 下 页上 页 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。 E 线方程 下 页上 页 根据得到 Ex 和 Ey 分量 下 页上 页 小结 电轴法的理论基础是场的唯一性定理； 电轴法的实质是用电轴上的线电荷替代圆 柱上的不均匀分布电荷的作用； 电轴法用以解决一系列平行圆柱的电场 注意有效区域及电位的参考点 讨论 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳， 是否会影响电场分布？ 若在金属圆柱管内填充金属，重答上问。 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。

8、 下 页上 页 例 解 试确定图示偏心电缆的电轴位置。 下 页上 页 例 解 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。 设电轴线电荷 ，任一点电位 下 页上 页 例 解 计算电轴位置 1.两导体的电容 Capacitance and Distributed Capacitance 1.8 电容和部分电容 定义： 单位： 下 页上 页 线性系统中，带有等量异号电荷的两导体，其 电位差与电荷成正比，这个比值系数定义为两导体 的电容。 -QQ U + - 电力电容器 下 页上 页 2.两导体电容的计算 电容的计算是电场的计算 给出了计算电容的方式： 设 下 页上 页 表明 或设 忽略边缘效应

9、试求平板电容器的电容。 下 页上 页 例 解 试求长圆柱形电容器的电容。 例 解 b a 设内导体的电荷密度为 ，则 设内导体的电荷为 q ，则 同心球壳间的电压 球形电容器的电容 试求同心球壳电容器的电容。 下 页上 页 同心球壳电容器 例 解 1）当 时 孤立导体球的电容 下 页上 页 讨论 2）当 时 平板电容器的电容 设da，电轴与几何轴线重合 试求两线传输线之间的电容。 下 页上 页 例 解 注意 电容只与两导体的几何尺寸、相互 位置及周围的介质有关。 3. 部分（分布）电容（Distributed Capacitance) 三导体静电独立系统 下 页上 页 对于多导体系统，每两个导

10、体上的电压受到所有导体 上电荷的影响，这时系统中导体电荷与导体电压的关系不 能仅用一个电容来表示而需引入部分电容的概念。 多导体系统 静电独立系统 线性系统 讨论前提 下 页上 页 N个导体的系统，各导体的电位电位系数 l 电位系数 下 页上 页 矩阵形式 ai , i 自有电位系数，表明导体 i 上电荷对自身 电位的贡献 ai , j 互有电位系数，表示导体j 上的电荷对导体i电位的贡献 电位系数的计算 下 页上 页 电位 系数 性质 电位系数均为正数； 电位系数仅于导体的几何形状、相互位置及 介质分布有关； 电位系数满足互易性； 自有电位系数大于互有电位系数； q2=0 q10 q3=0

11、下 页上 页 bi,i 自有感应系数，表示导体 i 电位对自身电荷的贡献 bi,j 互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献 l 感应系数 感应系数 下 页上 页 感应系数的计算 自感应系数为正数；因 i 与 qi 同号 感应系数仅于导体的几何形状、相互位置及 介质分布有关,且满足互易性； 互感应系数总是负值，因+ 总是在其他导体上 产生负电荷； 自有感应系数大于与其相关的互有感应系数绝 对值； 感应 系数 性质 下 页上 页 2=0 q20 10 3=0 q30 3=0 q3a, 且ah。 部分电容个数 由对称性，得 (1) 下 页上 页 例 解 电容与带电量无关，故则 利用镜

12、像法，两导体的电位 (2) 下 页上 页 两线输电线对大地的镜像 联立解得 两线间的等效电容： 下 页上 页 所以 静电屏蔽在工程上有广泛应用。 静电屏蔽 三导体系统的方程为： 4. 静电屏蔽 当 时， 说明 1 号与 2 号导体之 间无静电联系，实现了静电屏蔽。 下 页上 页 1.9 静电能量与力 1. 静电能量 (Electrostatic Energy) Electrostatic Energy and Force 用场源表示静电能量 下 页上 页 电磁场是一种特殊形式的物质，能量是物质的 属性之一。电场能量是在建立电场过程中从与各导 体相连接的电源中取得的，因此电场储能是外力做 功形成

13、的。 讨论前提 a) 线性系统； b) 电场建立无限缓慢，忽略能量的辐射； c) 没有动能，只考虑位能。 下 页上 页 电荷增量 设 将dq电荷移至电场中外源做功 推广2： 若是带电导体系统，静电能量为 推广1 ：若是连续分布的电荷， 下 页上 页 注意 上式建立在静电场是位场的基础上，只 适用于静电场。 推广3： 若是 n 个点电荷的系统，静电能量为 下 页上 页 只含互有能 固有能和相互作用能 固有能把某一区域的电荷从无穷远聚拢到 给定分布所需的功。 互有能把各区域的电荷放置到各自给定位 置所需的功。 设空间有两个电荷分布区 下 页上 页 说明要把一定量的电荷压缩到几何上的一个 点需要克服

14、无穷大的斥力，需要作无穷大的功。 同理，线电荷的固有能也为无穷大。对点、线电 荷只研究互有能。 点电荷q V1 1 V2 2 当 半径为a的球面带电荷Q，球心放一点电荷q ，求静电能量。 球面电荷的固有能 下 页上 页 例 解 q Q在球面产生的电位 Q在球心建立的电位 q在球面产生的电位 把点电荷从 移至球面 中心所需作 的功 下 页上 页 用场量表示静电能量 能量 矢量衡等式 若用公式计算 定义能量密度 下 页上 页 各向同性均匀媒质 适用 于静 电场 和时 变场 因 当 时，面积分为零，故 半径为a的球面带面电荷Q，球心放一点电荷q，求静 电能量。 下 页上 页 例 解 q 点电荷的固有

15、能 下 页上 页 试求平板电容器的静电能量。 例 平行板电容器 解带电导体系统 电容能量 的计算式 试求真空中体电荷密度为的介质球产生的静电 能量。 由场量求静电能量 下 页上 页 例 解一 由场源求静电能量 球内任一点的电位 下 页上 页 解二 原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分 布的负电荷云-q包围，试求原子结合能。 前例中当 时 下 页上 页 原子结构模型 例 解 2.静电力 (Electrostatic Force) 下 页上 页 1） 根据电场定义计算静电力 注意上式使用的条件 只适用于均匀介质 式中的电场E不包括dq本身的贡献 矢量积分 多导体系统 ( K 打开 ) 虚位移法 下 页上 页 2） 根据电场能量计算静电力 在多导体系统中，导体p发生位移dg后,系统 发生的功能过程为： 外源提供能量 = 静电能量增量 + 电场力所作功 常电荷系统（K打开） 取消外源后，电场力做功必须靠减 少电场中静电能量来实现。 下 页上 页 表明 常电位系统（K 闭合） 多导体系统( K 闭合 ) p 外源提供能量的增量 外源提供的能量有一半用于静电能量 的增量，另一半用于电场力做功。 下 页上 页 表明 注意 dg广义坐标：距离、面积积、体积积、角度。 广义力广义坐标 =功 广义坐标 距 离 面 积 体 积 角 度 广义力 机械力 表面张力 压强 转矩 单