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1、 第五讲 近代数学的兴起 -文艺复兴时期的数学(1517世纪初) 5.1中世纪的欧洲 5.2向近代数学的过度 5.3解析几何的诞生 5.2.1代数学 5.2.2三角学 5.2.3从透视学到摄影学 5.2.4计算技术与对数 5.1中世纪的欧洲 - 欧洲中世纪的回顾 公元5-11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期 直到12世纪，同于受翻译、传播阿拉伯著 作和希腊著作的刺激，欧洲数学与开始出 现复苏迹象。可以说，12世纪是欧洲数学 的翻译时代 欧洲黑暗时期过后，第一位有影响力的数 学家是斐波那契 斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250): (1202 算盘书) 算盘书主要内容： 整数和分数算
2、法； 开方法； 二次和三次方程以及不定方程； 系统介绍印度-阿拉伯数码； 算盘书可以看作是欧洲数学在 经历了漫长的黑夜之后走向复苏的 号角。 一、文艺复兴（14-16世纪） 文艺复兴运动：13世纪末，在意大 利各城市兴起，以后扩展到西欧各 国，于16世纪在欧州盛行的思想文 化运动。是科学与艺术的革命时期 文艺复兴时期在各领域取得 很大成就 ，数学成就只不过 是其中之一 5.2向近代数学的过度- 希望的曙光-欧州文艺复兴时期 的数学 代数学 三角学 从透视学到射影几何 计算技术与对数 5.2.1代数学 欧洲人在数学上的推进是从代数 学开始的，它是文艺复兴时期成 果最突出、影响最深远的领域， 拉开
3、了近代数学的序幕。主要包 括三、四次方程求解与符号代数 的引入这两个方面。 1. 三、四次方程根式求解的成功 第一个突破： 约1515年费罗发现形如：x3+mx=n (m,n0)，代数方程的解法 并将解法秘密传给自己的学生费奥 1535年，意大利另一位数学家塔塔利亚 ，也宣称自己能解形如：x3+mx2=n (m,n0)的三次方程。费奥向塔塔利亚 挑战，要求各自解出对方提出的30个三 次方程。 结果是，塔塔利亚很快解出形 如: x3+mx2=n 和x3+mx=n (m,n0)两类型所有方程，而费 奥只能解出后一类方程 后来，塔塔利亚把解法传给了 卡尔丹 塔塔利亚（niccolo fontana,
4、 1499?1557，绰号tartaglia意为口吃着） 卡尔丹卡尔丹（1501-15761501-1576）医生、数学家、预言家）医生、数学家、预言家 。大法大法公布了三次方程的解法。公布了三次方程的解法。 大法（Ars Magna ） （p, q 0） 实质是考虑恒等式 若选取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不难解得a,b p, q 0 2.四次方程求解 费拉里费拉里（1522-15651522-1565），卡尔丹的学生，获得），卡尔丹的学生，获得 解一般四次方程的解法。解一般四次方程的解法。 x4+ax3+bx2+cx+d=0 基本思想是通过配方、因式分解后降次 关于四次方程的
5、解法，以后韦达和笛卡 尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求 五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝 尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般 的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基 础上创造了群论，将代数研究推向纵深。 3.代数符号体系与代数运算 韦达(F.Vieta):(1591) 近现代数学一个最为明显、突出的标志 ，就是普遍地使用了数学符号，它体现 了数学学科的高度抽象与简练。文艺复 兴时期代数学的另一重大进展，便是系 统地引入符号代数。 韦达是第一个有意识地、系统地使用字 母。他的符号体系的引入导致代数性质 上产生最重大变革 韦达韦达（1540-16031540-1603），）， 法国
6、数学家，（法国数学家，（原是律师原是律师 与政治家，业余时间研究数学与政治家，业余时间研究数学 。）。）创立符号代数；发创立符号代数；发 现根与系数的关系。现根与系数的关系。 l 16世纪最大的数学家 l 代数学之父：1591年分析引论 5.2.2三角学(从球面三角到平面三角） 航海、历法推算以及天文观测 的需要，推动了三角学的发展 。早 期三角学总是与天文学密不可分， 这样在1450年以前，三角学主要是 球面三角 。后来由于间接测量、测 绘工作的需要而出现了平面三角 三角学,起源于古希腊。为了预报天体运行路 线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研 究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角 形两
7、边之和大于第三边，球面三角形内角之 和大于两个直角，等边对等角等定理。印度 人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但 主要是应用在天文学方面。 15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以 达到测量上的应用目的。 在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的 数学家是德国人雷格蒙塔努斯（ J.Regionomtanus,1436-1476）。 雷格蒙塔努斯的主要著作是年完成 的论各种三角形。这是欧洲第一部独立 于天文学的三角学著作。全书共卷，前 卷论述平面三角学，后卷讨论球面三角学 ，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯 还较早地制成了一些三角函数表。 三角学的进一步发展，是法国数学家 韦达所做的平面三
8、角与球面三角系统 化工作。他在标准数学（1579） 和斜截面（1615）二书中，把解 平面直角三角形和斜三角形的公式汇 集在一起，其中包括自己得到的正切 公式： 三角学在今天 的应用 三角测量：在导航，测量及土木工程中 精确测量距离和角度的技术，主要用于 为船只或飞机定位。它的原理是：如果 已知三角形的一边及两角，则其余的两 边一角可用平面三角学的方法计算出来 。 5.2.3从透视学到射影几何 由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺 复兴特色的学科透视学的兴起，从而 诞生了投影几何学。 意大利艺术家布努雷契（f.brunelleschi, 13771446）由于对数学对兴趣而认真研究 透视法，他
9、试图运用几何方法进行绘画。 数学透视法的天才阿尔贝蒂（l.b.alberti ， 14041472) 的完全是数学性质的论绘画 （1511）一书，是早期数学透视法的代 表作，书中除引入投影线、截影等一些概 念外，还讨论了截影的数学性质，成为射 影几何发展的起点。 重要人物 布努雷契 意(F.Brunelleschi,1377-1446) 阿尔贝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) -早期数学透视法的代表 作 富有独创精神的数学天才-德沙格 （g.desargues, 15911661） （笛沙格） 德沙格的工作 德沙格（1591-1661），法国陆军军官， 德沙格定理。德沙格发
10、表了本关于圆 维曲线的很有独创性的小册子试论锥 面截一平面所得结果的初稿 ，从开普 勒的连续性原理开始，导出了许多关于 对合、调和变程、透射、极轴、极点以 及透视的基本原理 1、两投影三角形对应边交点共线，反之，对应边 共点的两三角形，对应顶点的连线共点（德沙格 定理） 德沙格定理 德沙格 德沙格的另一项重要工作是从对合点 问题出发首次讨论了调和点组的理论 。在对合概念的基础上他又引入共轭 点与调和点组的概念，认为对合、调 和点组关系在投影变换下具有不变性 。 即投影线的每个截线上的交比都相等: 如下图，有( A B , C D )=( AB,CD) 2、交比在投影下的不变性； 3、对合、调合
11、点组关系不变性。 对任一直线上的定点O，称直线上的两对点A， B和A，B是对合的，如果成立：OAOB=OA OB 帕斯卡 帕斯卡（1623- 1662），著作 圆锥曲线论（ 1640），在射影 几何方面他最突 出的成就就是帕 斯卡定理：圆锥 曲线的内接六边 形对边交点共线 。 拉伊尔（1640-1718），著作圆锥线， 最突出的地方在于极点理论方面有所 创新，获得并且这样的定理：若一点 Q在直线p上移动，则该点Q的极带将 绕直线p的极点P转动。 5.2.4计算技术与对数 十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一 样，把实用的算术计算放在数学的首位。 1585年荷兰数学家史蒂文发表的论十进制算
12、术系统探讨十进数及其运算理论，并提倡用 十进制小数来书写分数，还建议度量衡及币制 中也广泛采用十进制。 这种十进位值制的采用又为计算技术的改进准 备了必要条件。 这一时期计算技术最大的改 进是对数的发明和应用，它主要 是由于天文和航海计算的强烈需 要，为简化天文、航海方面所遇 到繁复的高位数值计算，自然希 望将乘除法归结为简单的加减法 。 苏格兰贵族数学家纳皮尔(j.napier)正是 在球面天文学的三角学研究中首先发明 对数方法的。1614年他在题为奇妙的 对数定理说明书的小书中，阐述了他 的对数方法。 纳皮尔（1550 -1617），利 用两种不同的 运动之间的关 系，建立了“ 对数”关系
13、。 称为纳皮尔对 数。 对数的实用价值很快为纳皮尔的朋友，伦 敦雷沙姆学院几何学教授布里格斯 (henrybriggs,15611631)所认识，他与纳皮 尔合作，决定采用 ，则 时得 到 ，这样就获得了今天所谓的“常 用对数”。 布里格斯（ 1561-1631） ，建立了以 10为底的常 用对数，制 出第一张常 用对数表。 比尔吉（1552-1632），也独立发明了对 数。他对数思想的基础是斯蒂费尔的级数对 应思想，属于算术性质而略异于纳皮尔的做 法。 对数的发明大大减轻了计算工作量， 很快风靡欧洲，所以拉普拉斯（laplace, 17491827）曾赞誉道：“对数的发明以其 节省劳力而延长
14、了天文学家的寿命”。 5.3解析几何的诞生 诞生的社会背景： 历史地位：解析几何是变量数学的第一个 里程碑 解析几何基本思想： 1.平面上引进所谓“坐标”的概念； 2.平面上的点和有序数对（x,y)之间建立 一一对应关系； 3.以此方式，代数方程f(x,y)=0与平面上 一条曲线对应起来； 本质思想：用代数的方法去研究几何； 解析几何最重要的前驱是法国数学家 奥雷斯姆(N. Oresme, 13231382)； 真正发明者归功于法国另外两位数学 家笛卡儿(R.Descartes , 15961650)与 费马(P. de Fermat, 16011665)。 笛卡儿(R.Descartes,
15、1596-1650): 几何学(1637) 我思故我在 证明帕普斯问题时 建立了历史上第一个倾斜坐标系 求： l1 l 2 l 3 l4 C P 1 R 2 S 3 Q 4 A x y 新颖的想法： 1.曲线次数与坐标轴选取无关,但坐标轴 选取应使曲线方程尽量简单； 2.利用曲线的方程表示来求两条不同曲 线的交点； 3.大胆的想法：任何的问题数学问题 代数问题方程求解 一切问题化归为代数方程求解问题后如何 继续？ 1.任意选取单位线段; 2.定义线段的加、减、乘、除、乘方、 开方等运算； 3.线段的巧妙表示：(a,b,c,); 4.一切几何问题成功转化为关于一个未知 线段的单个代数方程: z = b z2 = -az + b z3 = -az2 + b z + c z4 = -az3 + bz2 + cz + d 与笛卡儿怀疑、批评希腊几何学 思想相反。 另一位法国巨人：费马工作的出 发点是竭力恢复希腊几何 他俩工作的出发点不同，但方式都是 采用代数方法来研究几何问题。 费马(P.de Fermat, 1601-1665) (1629) 法国人、业余 数学家、 数论方面是承 前启后的人物 、 几何方面是一 个创造性人物 。 OZ
