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1、第八章 应力状态和强度理论 8.1应力状态的概念及其描述 8.2平面应力状态分析解析法 8.3平面应力状态分析图解法 8.4三向应力状态 8.5广义胡克定律 8.6三向应力状态下应变能 8.7强度理论的概念 8.8四种常见的强度理论 8-1 应力状态的概念及其描述 8.1.1应力状态的概念： 构件上不同的点有 不同的应力应力为位 置的函数。 构件上同一点 不同的方向面上应力不 尽相同 应力为方向 面的函数。 P PP P 一点处的应力状态是指通过一点不同方位截面上的应 力的集合. 应力分析就是研究这些不同方向截面上应力随截面方 向的变化规律，从而为构件的应力、变形与强度分析，提供更 广泛的理论
2、基础。 8-1 应力状态的概念及其描述 8.1.1应力状态的概念： 8-1 应力状态的概念及其描述 8.1.2一点处应力的表示方法： 一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体(微正 六面体)上三对互相垂直微面上的应力情况来表示. 如轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元 体. 特点: 根据材料的均匀连续假设微元体各微面上的应力均匀 分布,相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反; 互相垂直的两侧面上剪应力服从剪切互等定理. 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。 从梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头 表示出各个面上的应力。 8-1 应力状态的概念及其描述 8.1.2一点处应力的表
3、示方法： 8-1 应力状态的概念及其描述 8.1.3主应力、主平面、主单元体： 以主平面为坐标平面的单元体称为主单元体主单元体。 主平面上的正应力称主应力主应力。 剪应力为零的平面称为主平面主平面。 A 横截面 主单元体主单元体的例子的例子 C 8-1 应力状态的概念及其描述 8.1.3主应力、主平面、主单元体： 可以证明，一点处必定存在主单元体，因而必定 存在三个互相垂直的主应力，分别记为 1、2、3， 且规定按代数值大小顺序排列。 即： 1 2 3 8-1 应力状态的概念及其描述 8.1.4应力状态的分类： 单向应力状态只有一个主应力不等于零 二向应力状态有两个主应力不等于零 三向应力状态
4、三个主应力都不等于零 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.1斜截面上应力状态 已知如下图a所示的一平面应力状态，其上的正应 力和切应力均已知。 可由截面法求与斜截面ef上应力。 e f n x y z a b c d xy yx (a) x y yx y x xy da b c xy yx xy x (b) x x y y yx y 如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为， 称为截面。 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.1斜截面上应力状态 应力的正负和斜截面夹角的正负规定： 1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负； 3）对角，x轴逆时针
5、旋转这一角度而与斜截面外法线重合时 ，其值为正；反之为负。 取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和 斜截面夹角均为正。 e f b yx xy (c) x y 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.1斜截面上应力状态 由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线 n和切线t方向可得： 其中dA为斜截面ef的面积。 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.1斜截面上应力状态 简化 ： 倍角公式 得 ： （8.1） （8.2） 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.1斜截面上应力状态 （8.1） （8.2） 公式表明： （2）取另一截面，令 =/2+，此截面上的应力为 （1）平面应力
6、状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直 截面上的应力（ x 、 y 和 xy ）确定。 单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。 切应力互等定理。 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.2正应力极值状态 （8.1） （8.2） 在何处? 该处 （8.3） 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.2正应力极值状态 （8.1） （8.2） 在何处? 该处 （8.4） 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.3切应力极值状态 （8.1） （8.2） 在何处? （8.5） 将三角函数表达式代入（8.2）式，得 ： （8.6） 8-2 平面应力状态分析解析法 8.2.3切应力极值状态 （8
7、.1） （8.2） 在何处? 比较和 这表明这表明最大和最小切应力平面和主平面的夹角为最大和最小切应力平面和主平面的夹角为4545 。 8-2 平面应力状态分析解析法 例题8.1 试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。 一点处的平面应力状态如图所示。 已知 解：（1）求 斜面上的应力 8-2 平面应力状态分析解析法 例题8.1 (a) （2）求主应力、主平面 根据已知 8-2 平面应力状态分析解析法 例题8.1 (a) 可知三个主应力分别是 ： （3）主平面方位 8-2 平面应力状态分析解析法 例题8.1 可解得两个主平面角度： 由已知： 则对应绝对值较小
8、的角度，15.5 对应105.5 （4）主单元体 例8.2 讨论圆周扭转时的应力状态，并分析铸铁受扭时的破坏 现象。 解 ： 由危险点处取出单元体如图b 危险点位置：轴最外边缘点m 8-2 平面应力状态分析解析法 铸铁扭转破坏发生在沿与轴线成 的45斜截面方向，这是由于脆性 材料的抗拉强度较低所造成的。 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.1应力圆方程： (1)(1) (2)(2) 对对(1) (2)(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用式两边平方，将两式相加，并利用 消去消去 和和 ，得得 (3)(3) 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.1应力圆方程： R R R R 比照解
9、析几何的曲线方程比照解析几何的曲线方程 是是一个圆心在一个圆心在(a.0),(a.0), 半径为半径为R R的圆，的圆， 则则 是是个应力圆的方程个应力圆的方程 这种表示一点应力状态的圆形叫做应力圆或者莫尔圆。这种表示一点应力状态的圆形叫做应力圆或者莫尔圆。 应力圆应力圆思维分析的工具，而不是计算工具。思维分析的工具，而不是计算工具。 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.2应力圆的画法： （2） 以 x 面应力值作为D 点坐标, 即 （1） 建立直角坐标 系，选定比例 尺 （3） 确定D（y ，yx ）点 （4）连D、 D 交轴于 c 点，以 c 点 为圆心，CD为半径，作圆 x y y
10、yx x y xy x 10MPa D c 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.3几种对应关系 点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一方向面上的正应力和切应力微元某一方向面上的正应力和切应力 c a A 转向转向对应对应半径半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致旋转方向与方向面法线旋转方向一致 ； 二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面半径转过的角度是方向面旋转角度旋转角度的两的两 倍。倍。 c c a a D D n n d d x x A A 2 2 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.3几种对应关系 DD( (y,yx ) ) OO
11、c c D D( ( x ,xy ) ) B B DD D D 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.4应力圆的应用 点面相对应，首先找基准。点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。转向要相同，夹角两倍整。 （1 1）用应力圆确定单元体任意截面上的应力）用应力圆确定单元体任意截面上的应力 例8.3：单元体如图，绘相应的应力圆 ，从而确定= -40时斜截面上的应力 量得 ： x=-1MPa，y=-0.4MPa ， xy=-0.2MPa,=-40 已知 ： 图解法求解： E 80 y x 40 0.4MP a 0.2MP a x y 1MPa 0.2 0.2 D D 8-3 平面应力状
12、态分析图解法 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.4应力圆的应用 （2 2）用应力圆确定主应力与主平面）用应力圆确定主应力与主平面 yxyx x x y y xyxy o o c c 2 2 0 0 a a d d A A D D 主平面：主平面： = 0,= 0, 所以应力所以应力圆上和横轴交点对应的圆上和横轴交点对应的面就是主平面面就是主平面 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.4应力圆的应用 （2 2）用应力圆确定主应力与主平面）用应力圆确定主应力与主平面 x x y y A D 主应力的确定 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.4应力圆的应用 （2 2）用应力圆确定主应力与
13、主平面）用应力圆确定主应力与主平面 主应力排序：主应力排序： o o c c 2p a a d d o o o o xyxy x x y y yxyx A A D D o o c c 2 2 o o a a d d 1 1 2 2 1 1 1 1 o o 2 2 2 2 ( ( x x , , xyxy ) ) 主方向的确定主方向的确定 负号表示从主应力的正方向负号表示从主应力的正方向 到到 x x 轴的正方向为轴的正方向为顺时转向顺时转向 g g 8-3 平面应力状态分析图解法 8.3.4应力圆的应用 （2 2）用应力圆确定主应力与主平面）用应力圆确定主应力与主平面 8-3 平面应力状态分析
14、图解法 8.3.4应力圆的应用 （3 3）最大切应力最大切应力 对应应力圆上的对应应力圆上的 最高点的面上切应力最高点的面上切应力 最大，称为最大，称为“ “ 面内面内 最大切应力最大切应力”。 maxmax o o c c 2 2 o o a a d d 例8.4：两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图a和b 所示，梁的尺寸见图c。试通过应力圆求截面C上a、b 两点处的主应力。 解：首先作出梁的剪力和弯矩图如图d和e所示： (a) B 8 m 10 m A 250 kN C (b) f z a (c) b 120 15 270 15 9 8-3 平面应力状态分析图解法 (d) FS图 M图(e) M(kNm) 80 x 200 kN 50 kN FS x 由此可得C截面处的弯矩和截面左侧的剪力为： 又因为横截面的惯性矩和计算a点切应力所需 的静矩为： 8-3 平面应力状态分析图解法 例8.4： 且： 由此可得C截面上a点处正应力和切应力分别为： 8-3 平面应力状态分析图解法 例8.4： 该点的应力状态如图f所示，选定适当的比例， 即可绘出相应的应力圆，如图g所示。 y (f) y y x x x x x x=122.7MPa x=64.6MPa y=-64.6MPa /MPa /MPa O A1A2 C
