《极值的局部及整体几乎处处中心极限定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极值的局部及整体几乎处处中心极限定理（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、西南大学 硕士学位论文 极值的局部及整体几乎处处中心极限定理 姓名：赵胜利 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：彭作祥 20080401 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者： 磊涉叩 签字日期：山旧g 年年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅
2、。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：娜“导师签名：易钞未气 f 1 签字日期：J 们年月7 日签字日期：洲年f 月1 7 日 西南大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导 师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文 中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方
3、式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年 月 日 摘要 本文主要由两部分构成，第一部分分成三节第一节研究了独立同 分布序列最大值的几乎处处中心极限定理，主要结论如下 定理A 设 冠，l 之1 ) 为独立同分布随机变量序列，其公共分布 函数j D ( G ) ，且E x l = o ，EI x l r O 以及z ( o 。+ o o ) ，有 1 竹 1 熙赤老如j ( z o ，使得l i l I k t 善。f 知一z ) 并) ( 1 一F 扛) ) 。n ，则对 任意的 o 以及黛s ( 一；o ) ，有 熙击妄扣( z o 班及茹琏有 热去砉
4、扣( 澎矿( 碡圳曼茹+ 珈一盎r 本文的第二部分壤点讨论了一类高斯序列最大值和部分稠的联合 死乎处处孛心援限定理，蒋弱如下主要结论 定理D 设义l ，拖，秀樱关系数列p 甜的高斯序列，承乎鸯 t 帕1 i n ， 一1 ，2 ) ，记h = 蝉争州，且满足n ( 1 西( A ，。) ) 有界，并对所有的r O8 l l dz ( O ，+ o o ) ，w | e 矗8 V e n 蠢= 王 丢d 知，( z o ，s u c h 掘a tl j n l 。协一澎( 2 小一，( z ) ) = o F o ra n y Oa n dz ( 一，0 ) ，眦h 鼍= l昙蟊，( 鬈 o 勰
5、d 塞露w e 魏g 姥 ， 1 n m 一 t l o 。l O g n七= 1昙呶， 呲 。Ie x p 【e “， z u ，槐 u 荆= ：p Z 鞴，鬈姐盘 。 ( t 瓶) A ( 搿) 一臼c p ( 一e ) ，z R 。 势便于统计分橱，可将上薅兰种情况统一戚个表达式，郄 G ( 鬈) = q ( 茹) 一麟p 一( 1 + 弦) 一专 ( 王。l 。2 其中，7g 心，l + 7 z 象O ，且称，y 为檄值指数 夔执变量亭列最大值瓣几乎处处中心极限定理是十攀极蕴理论讲究懿一个 热点闻题，隧橇变量序剃最大囊与部分和酶联会尼乎处处中心极限定理在摄煎理 论中有熏甏的理论价值及应
6、用背景 l 。2 文献综述 概率檄限理论特别魁中心极限定理在概率统计审占据重要地位，一宣以来都 是概率统计工作者们研究的重点和热点问题经典中心极限定理W 以简单的描 7 述为设蔑，i 重+ 是吴有公共分毒函数F ( o ) 酶独立同分布羲遮辊变量序列，若 E x l = o 和E x = l ，则对任意的嚣s 兄，当姐_ 时有 P ( 去曼茹) 二圣( z ) ( 1 2 1 ) B r o 媳黻l 心f 王8 踯和S 豳a t e f 至9 8 8 ) 首次独立斡诞骥了几乎处处孛心极限定 理( A h n o s ts u r ce e I l t r a ll i H l i tt h e
7、 o r e m 简记为A S C L 搿) ，并在E I X l 2 + 艿 O 条件下，证明了独立同分布随机变量序列部分和的几乎处处中心极限定理，其简 单影式如下 志砉砉j ( 杀曼兰蛳，髂_ 2 固 其中，( ) 袭永示性函数随后，L a c e y 和P h i l i p p ( 1 9 9 0 在= 阶矩有限的条件下 将 1 2 。2 ) 式推广到了溺数形式 赤喜去，( 熹) 兰仁m ，舯e 峨髓一 e 1 2 3 ， 其中，为满足L i p s c h i t z 条 譬的有界礅数。B e r l 躺等( 1 9 9 1 ) 构造了满足几乎处 处孛心极限定理毽孛心极限定理不成立豹
8、独立睫税交量穿烈，获蔼诞嚷足乎处处 中心极限定理比中心极限定理弱，这也说明满足焱S C 王夏的随巍交爨比满足经典 中心极限定理的随机变艇更加广泛I b r a g i l n o 、r 和L i f s l l i t s ( 1 9 9 8 ) 和B e r k e s 和 c s a k ( 1 9 9 8 ) 再次将函数，进行推广，得到了一定条件下无界函数的A S C L T 除 了对独立随机变量窘劐A S C 礁魏研究，鹾鑫霸鑫察娥王鹑5 ，M a r c i 鼗2 瓣3 ) 释 P r 黜w s l a w ( 2 0 0 5 ) 受| j 簌定条件下得判了一系列耦依随机序列的A S
9、 C 王互 关予檄值的A S C 聃，首先由F 妯r n e r 和S t a d H l t l l l e r ( 1 9 9 8 ) 和m e n g ，P e n g 和 强( 1 9 9 8 ) 谯氐( 媳一瓴) G 条件下得到独立闭分布序列最大馕的A S C L T ， 其篱渣形式如下 赤吾扣撇一肌) s z ) 笃蹴”衡 ( 1 2 4 ) 其中甄一l 秘襄趟 o ， 颤，使 得n 七( 慨“* ) 三G ，G 为非退化分布溺数，则对于G 的任意连续点搿，当n _ o o 时，有 怒赤苫去懒瑚剑胡繇羡 2 2i i d 序列最大值局部几乎处处中心极限定理 本节讨论l t - 莲枣
10、残最大僮羼郝死乎处赴中心极限定理，首先绦，激霰定设 x l ， l 为独立阊分布的随机变量序列， 讹牲， ) 为常数别，且有+ l 牡，。g t l 蚪l ，本节通用记号如下 娄蠡= 绕嚣l 蛰蠡聱 罩嚏= P ( 7 魄蕊矗蟊 珏) 一 产描 触2 善警 引理2 2 1 设 矗，z 1 ) 为随机变量序列，E 6 裟1 若对任意的e o ，有 y 8 r ；。l 警) 冬e 遨嚣，露= 2 ，3 ，。剁 ( 2 2 1 ) l j | | 羔 靠一惫 。M 击 臻 证明见羹i 释粼v 垂瓣 王鳟3 之引理2 。l 。 引理2 2 2 设啦= j ( 圾 硒时。对1 歹S 向，有 王一警) q
11、 一羔冬互素 2 2 3 ) 证明由基本不等式 茗z 一疆孰| 茎l 勰一软| ，l 戤l 蕊l ，溉；s l l i = l 一l l = l 当蠡充分大时有 | ( 1 一警) ，一l | = | 1 一( 1 一警) | l ( 1 一睾) q l 拿j e 。| 拄l 一誓 一 凳。 s 静e 轨A 素 一 惫“。 一 。麾 定理2 。2 。1 谩 茏，l 旁独立穰分布遮瓤变量序列，英公共分带函数F 蚤( G ) ，嚣露x l = ：E l x l 尹 ) ( 1 0 9l 堰n ) 一( 1 枉) c 铡( ，( 慨) ，J r ( 慨。) ) ( 1 0 9l o g 扎) 一(
12、1 似) c 伽( J ( 尬st l 七) ，J ( 慨。s ) ( 1 0 9l o gn ) 一1 札 E l ，( A 厶S ) 一J r ( 弧n 秽。) | E l J ( A 乙缸。) 一J ( 帆，。S ，u 。) I ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ( 2 3 1 0 ) 证明( 2 3 5 ) ，( 2 3 6 ) ，( 2 3 9 ) 和( 2 3 1 0 ) 式的证明见C s 酞i 和G o n c h i 鲥a n z a n ( 2 0 0 2 ) 之引理2 3 和2 4 下面证明( 2 3 7 ) 和(
13、2 3 8 ) 两式由引理2 3 1 和引理2 3 2 知 c 伽( J ( 地仳知) ，J ( 慨，。钆。) ) I P ( 帆墨口奄，帆，。t l n 一P ( 瓶锹) P ( 慨。让。) 七却e x p ( 一赫) J = l 、 。”7 曹恻一犏， ( 1 0 91 0 9 铊) 一( 1 + 6 ) 即( 2 3 7 ) 式成立，同理可证( 2 3 8 ) 式成立 引理2 3 4 设 X ，i 1 ) 为满足俾了J 夕式和似舅砂式的标准化平稳高斯序 列，则存在常数A 0 ，使得对充分大的n 有陬 A 证明由条件知 = 尸( A 彳n u n ) 一尸( A 叠n 冬) = ( P (
14、 坂sn o ) 一垂”( J u 。) ) 一( P ( 螈) 一币“( ) ) + ( 垂“( ) 一西”( ) ) 再由引理2 3 1 和弓 理2 3 2 知 | 尸( I 磊乱。) 一西。( 乜。) ( 1 0 9l o g 佗) 一f 1 + ) l P ( A 厶s ) 一垂”( t k ) | ( 1 0 9l o gn ) 一( 1 托， 由( 2 3 2 ) 式得一F 晒，再由l 一圣( z ) 一5 f 掣，z 一存在某个常 数c l O ，使得 ( ”n ) c l t k ( 1 一圣( t k ) ) 1 5 订 曲 + + l l 一 一 n n 唯 哩 g g b
15、 b ，L，I、 + + 七一；七一； 于是，由上式可得 圣”( “。) 一圣”( 协。) = n 西”一1 ( z ) 妒( z ) d z ， t ，n c I n t h ( 钆。一坼。) ( 1 一圣( “ 。) ) 西”一1 ( t ) = c 1 礼( “。一) ( 1 一西( 口。) ) e X p ( ( n 一1 ) l o g ( 1 一( 1 一西( 秽。) ) ) ) 再由( 2 3 2 ) 式和不等式l o g ( 1 一z ) 一2 z ，o O 和K O 为常数则立即可以选取适当的0 0 ，有 l 挚n ( z o z ) F ( z ) ( 1 一F ( z ) ) = o ( 2 4 2 ) I 咖 则对任意的z ( 一。，0 ) ，下式局部一致收敛 l i m9 n ( z ) = 皿：( z ) ( i i i ) 若 瓣耿z ) 厂( 1 一即) ) 驯( 1 一砷炉= 1 ( 2 4 3 ) 则对任意的z R ，下式局部一致收敛 l i m 肌( z ) = A 7 ) 本节讨论独立同分布随机变量序列之一类几乎处处
