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1、基于小波变换的彩色图像压缩作业报告指导教师：朱虹（老师）专业：信号与信息处理班级：研0208班学号：02210361姓名：刘改进1、报告题目基于小波变换的彩色图像压缩，采用标准图像（512X512），用三种小波分解到三层。2、实验步骤压缩的基本思想：原始图像图像变换量化（SQ,VQ）压缩编码比特流2.1、小波变换支集随而变狭小（仅考虑为紧支集的情形）在实际计算中，我们常采用卷积代替相关，于是上面的公式变为：设原始序列长度为M，小波函数支集长度为N,则卷积后的长度为M+N-1 ,所以存在边界处理问题。如果我们采用循环卷积，则需要循环移位。本程序中采用循环卷积。上面的定义是连续小波变换,实际应用中
2、我们多采用离散小波变换,离散小波变换是基于固定的二进格点,在适当选取小波函数是可以导致一个尺度分析和一个正交小波基，而连续小波变换是一个多尺度表示，并不能产生一个正交基。尺度函数和小波的两尺度方程：从而：如果对于所有可逆，则有：由、可以求得、，从而得到Mallat快速算法。多分辨率分析：分解过程：cN- 1cN-2cN-MdN- 1dN-2dN-McN重构过程：cN-McN-M+1cN-1cNdN-MdN-M+1dN-1用公式可以表示为：分解过程：其中：，重构过程：对于本作业，是二维图像变换，而采用的小波是二维可分解的，所以分解时可以通过先对图像的行或列进行一次小波变换，再对图像的列或行进行一
3、次小波变换；重构时，以相反的顺序作小波反变换，从而重构原图像。先行后列：后列先行LHLLLHHLHH原图先列后行：后行先列LHLLLHHLHH原图本程序中应用先行后列。对于图像处理，因为图像的灰度级只有256个等级，所以对于变换后的小波系数需要做规划处理，以让显示器可以显示出来。这里有两种不同的处理方法：线性变换和采用扩展系数。简单线性变换:设最大的小波系数为，最小为，则对于系数，做线性变换这样子，的范围即为0，255，正好达到显示器的现实范围，但这样做的一个缺点是虽然保证了图像的层次，但丢失了图像的颜色信息。反变换时：采用扩展系数：这种方法是基于这样的思想：对于紧支集小波，我们以Harr小波
4、为例。Harr小波的分解：如果序列，那么，而图像的显示范围只有0，255，所以需要对，作相应的处理。不妨这么做：对的每一个元素除以，这样就变为，而对的每一个元素先加再除以，则就变为，于是，都可以达到显示器的显示范围。需要说明的是对于Harr波，这样的处理是十分恰当的，但是对于不同的小波（当然是紧支集的），即使是同一小波的不同支集长度，虽然，但是并不是每一个都是正的，而且所有正的之和，例如Daubechies小波，是大于的，如果凑巧在为正的像素上，元素灰度级为255，而负的像素上为小于255（典型值是0），则对作除以处理，并不能得到最好的效果。不过幸运的是，这样的情形是很少的，所以可以大胆的使用
5、这种方法，而对于很少出现的那种情况，可以大胆的将其设置为255即可，对结果的影响是很小的。因为是线性变换，反变换是很简单的。需要注意的是，当分解层数大于1时，由于是二维处理，对于不同的带宽内，当量化处理是，不可能只是作像简单线性变换那么简单的反变换，所以本程序的另一版本应用了这一方法进行变换和编码，但没有进行量化处理。2.2、量化本程序使用的是标量量化，即对单个像素作量化处理：首先给出小波系数的分布情况，然后根据分布情况选择合适的阀值，对于小于阀值的小波系数复0。用公式表示如下： 需要说明的是，从图中我们看到3个通道小波系数的分布的最大值都是一样的，其实事实并非如此，而是我们对每一个通道都做了
6、规划处理而已。2.3、编码本程序应用的编码方法是Huffman无损压缩。因为是真彩色图像，对于每一灰度级的出现频率我们是这样得出的：l 首先计算每一个通道（红、绿、蓝）各灰度级的出现的频率：l 然后将具有相同灰度级的像素的频率加起来，即认为是某一灰度级的出现频率。需要注意的是，出现频率之和为一，所以总的像素个数应该认为是图像的高乘以宽，再乘以3，因为有3个通道。Huffman编码的思想，我们没有必要在这里累述，简单地讲，就是熵编码的一种。2.4、解码用于对存储文件的编程能力的限制，本程序并没有将编码后的比特流存储成一个文件，只是列出了编码后各个灰度级的比特流表示，并给出了图像的熵，编码后的平均
7、编码长度，编码效率和压缩比。2.5、小波反变换用卷积表示为：在2.1节我们已经讨论了Mallat快速算法，这里不再详细介绍。 2.6、小波基的选择用于图像编码的最简单的小波是通过一维小波基的平移与伸缩所构建的独立小波基形式。正交小波基的平滑性与消失矩对图像压缩效果有一定的影响，并且平滑性的影响大于消失矩。正如我们在程序中所见到的那样，Harr小波有很明显的方块效应，而采用其他光滑的小波基则会消除方块效应。在实际应用中，一般要选择具有平滑特性的小波基，同时为了简化计算，只考虑一阶和二阶导数连续的小波基。3、实验结果小波的选择本作业的最后结果采用的小波是Symlets8，它的图形为：标准图像：Le
8、na.bmp原始图像的直方图3层小波变换分解图像3层小波变换后小波系数的直方图未量化前的Huffman编码量化后的小波系数的直方图量化阀值分别为：红色通道：27绿色通道：27蓝色通道：26量化后的Huffman编码我们专门给出了量化前和量化后的Huffman编码，而且特意将灰度级拉到35，从两幅图中可以看出，他们的差别也就是在35灰度级左右的灰度级出现概率上。由量化前后的小波系数直方图中可以看出，小波系数在0为中心的一个区域内，它的灰度级也就是在35左右。3层小波变换重构图像4、结果评价首先需要肯定的是，结果还是比较令人满意的。从上面的结果中，我们可以看到：重构后的图像仍然存在细微的方块效应，
9、考虑其原因，可能有：我们已经说过，对小波系数的处理是应用简单的线性变换，不妨以红色通道为例，小波系数的最大值为2244，最小值为-365，级差为2244-（-365）=2609，将如此大的一个区间线性变换为256个等级，很显然，变换后的灰度级，由于都是整数型的，所以是不可能完全恢复成变换前的小波系数的，基本上可以认为10个原来的小波系数（它们值的大小差在10 之内）在反变换后，变成了具有相同值的小波系数，这便会带来误差。在本作业的另一版本中，我们采用了扩展系数的方法，效果稍有改进，但由于在量化存在还没有想通的地方，所以我们没有采用采用了扩展系数的方法作为本作业的最后结果。附录1、 陈武凡著. 小波分析及其在图像处理中的应用. 科学出版社. 2002.42、 程正兴著. 小波分析算法与应用. 西安交通大学出版社. 1998.53、 朱长青著. 小波分析理论与影像分析. 测绘出版社. 19984、 刘贵忠 邸双亮著. 小波分析及应用. 西安电子科技大学出版社. 19925、 冉启文著. 小波变换与分数傅里叶变换理论及应用. 哈尔滨工业大学出版社. 20016、 阮秋琦著. 数字图像处理. 14
