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1、解题教学 例谈参数的分离技巧 文l曾益俊 求参数的取值范围问题是中学数学中常见的 问题，既是教学重点、难点，也是高考的热点。笔者 在教学实践中发现，把参数从方程或不等式中分 离出来，使问题转化为求函数最值或值域问题，或 者将方程或不等式中的未知变量与参数进行换位 思考，把问题看成以参数为未知变量的方程或不 等式，能够使问题简单。 一 、求方程中参数的取值范围 例1 已知关于 的方程 + +叶1=0有实 根，求实数a的取值范围。 分析：方程可化为：(2x) + +叶1：0，转化为 关于 的二次方程，则方程的判别式0，以及 有正实数根，从而建立不等式组求解。观察题目中 的参数a是一次，则尝试将分离
2、出来，变为f(a) 形式，也许会更好。 解：从原方程中分离。得，。=一 4 1 。 令 )=- 一( +1)+ ；2 一222N- 。 当2 +1- 2 ，即 =l。 (、v 一1)时取等号。 所以fix)的值域为(一，2-2、 ，故a的取 值范围是02-2、 。 例2 a取何值时，方程lg(x一1)+lg(3-x)=lg(a )有一解，两解，无解? 分析：原方程可化为：X2_5 +叶3=0(1O，yO，求使 + 恒成立的a的最小值。 分析：对 ，Y取一些值试试，看能否得出a取 值的大致范围。 当x=y=1，则0、 。实际上，当 =y0时， 。 。当 ：2,y=3时，。 _ 0， 0) 恒成立
3、，分离参数，得0 。 V 又因为(、l_+、 )2=x+y+2X0时，分离参数，得：Pl一(H )、 设，( )=l一( + )安使不等式在 0， 一 )恒成立，必须，Jr,x) 因为 +L2(当且 仅当x=l时取等号)，所以( ) =12=一l，P一1。 由(1)(2)可知：P一l 三、求不等式中参数的取值范围 例5对于满足()，4的所有实数P，不等 式 z 乱+fJ一3恒成 ，求 的取值范罔 分析：已知P10，4，如果能够建 一个关 于P为变量的一次函数火系式，则容易解决。 解题教学 解：把本题的不等式看作关于，J的不等式进行 变量转换，则问题转化为父于P的不等式：( 一1)p+ x- -
4、4x+30住0，J4时恒成立 令 t(p)=( J)，J+ 一4x+3，贝0 f l0 l f 一l0 l，(4)0， H- x一- 4x+。30或 。0 l 【 1 解得： 3或 一1。 故实数 的取值范围是XIX3。 综卜所述，当参数的指数是一次时，参数的分 离与转换是求解不等式或方程中参数取值范同的 好办法匕不仅运算简洁，思路清晰，而且对所讨 沦的问题结构明明白白，解题的关键是分离J参 数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问 题。这样处理，能加深学生对方程、不等式、函数之 问的父系的理解也能培养学生的创造性思维能 力 、 (作者单位：邵东县三巾) 湖南教育“潇湘数学组”栏目征稿启事 数
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