概率和频率教材

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1、1.2 概率和频率 (Probability and Frequency) 研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是事件的概率. 事件的概率 概率是随机事件 发生可能性大小 的度量 事件发生的可能性 越大，概率就 越大！ 事件发生的可能性 最大是百分之百，此时 概率为1. 0P(A)1 我们用P(A)表示事件A发生的概率，则 事件发生的可能性 最小是零，此时 概率为0. 可是，如何度量或者说如何计算一个事 件发生的概率大小呢？ 一、 频率(Frequency) 定义 1.2.1:设E为任一随机试验，A为其中 任一事件，在相同条件下，把E独立的

2、重复做n次，nA 表示事件A在这n次试验中出现的次数(称为频数)。比 值 称为事件A在这n次试验中出现的频率 (Frequency). 频率的性质 事件 A、B互斥，则 可推广到有限个两两互斥事件的和 事件即 非负性 规范性 可加性 稳定性 某一定数 q q q q q n = 4040， nH =2048，F( H ) = 0.5069 n = 12000，nH =6019，F( H ) = 0.5016 n = 24000，nH =12012，F( H ) = 0.5005 频率稳定性的实例 蒲丰( Buffon )投币 皮尔森( Pearson )投币 投一枚硬币观察正面向上的次数 例1

3、.2.1 Dewey G. 统计了约438023个英 语单词中各字母出现的频率，发现各字母出 现的频率不同： A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.

4、0202 Z: 0.0006 二、 概率的统计定义 (The statistic definition of probability) 定义 1.2.2 设有随机试验，若当试验的次数充 分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动， 则称数为事件的概率(Probability)，记为： 注：1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就 是说完全决定于事件本身的结果，是先于试验客 观存在的。 2 概率的统计定义只是描述性的。 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率 作为事件概率的近似值。 三、 概率的性质 (The property of probability) B-A A B (6) 有限可加性：

5、若AiAj= (ij) , 则 基本计数原理 四、 这里我们先简要复习一下计算古典概 率所要用到的 1. 加法原理 设完成一件事有m种方式， 第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法, ； 第m种方式有nm种方法, 无论通过哪种方法都可以 完成这件事， 则完成这件事总共 有n1 + n2 + + nm 种方法 . 例如，某人要从甲地到乙地去, 甲地 乙地 可以乘火车, 也可以乘轮船. 火车有两班 轮船有三班 乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法? 3 + 2 种方法回答是 基本计数原理 则完成这件事共有 种不同的方法 . 2. 乘法原理 设完成一件事有m个步骤， 第一个步骤有n1种方

6、法， 第二个步骤有n2种方法, ； 第m个步骤有nm种方法, 必须通过每一步骤, 才算完成这件事， 例如，若一个男人有三顶帽子和两件 背心，问他可以有多少种打扮？ 可以有 种打扮 排列、组合的几个简单公式 排列和组合的区别： 顺序不同是 不同的排列 3把不同的钥匙的6种排列 而组合不管 顺序 从3个元素取出2个 的排列总数有6种 从3个元素取出2个 的组合总数有3种 1、排列: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同排列总数为： k = n时称全排列 排列、组合的几个简单公式 A B D C 例如：n=4, k =3 第1次选取第2次选取第3次选取 B D C B C D B D C 从

7、n个不同元素取 k个（允许重复） （1 k n)的不同排列总数为： 例如：从装有4张卡片的盒中 有放回地摸取3张 3241 n=4,k =3 1 2 3 第1张 4 1 2 3 第2张 4 1 2 3 第3张 4 共有4.4.4=43种可能取法 2、组合: 从n个不同元素取 k个 （1 k n)的不同组合总数为： 常记作，称为组合系数。 组合系数 又常称为二项式系数，因为 它出现在下面的二项式展开的公式中： 3、组合系数与二项式展开的关系 令 a=-1,b=1 利用该公式，可得到许多有用的组合公式： 令 a=b=1,得 由 有 比较两边 xk 的系数，可得 运用二项式展开 4、n个不同元素分为

8、k组，各组元素数目 分别为r1,r2,rk的分法总数为 r1个 元素 r2个 元素 rk个 元素 n个元素 因为 2 34 7 9 10 8 6 1 5 例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为110 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球. 先来看下面这个例子。 因为抽取时这些球是 完全平等的，我们没有理 由认为10个球中的某一个 会比另一个更容易取得 . 也就是说，10个球中的任 一个被取出的机会是相等 的，均为1/10. 1324 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10 2 34 7 9 10 8 6 1 5 1.3 古典概型 (

9、Classical Probability) 一、 古典概型（等可能概型） “概型”是指某种概率模型。“古典概型”是一 种最简单、最直观的概率模型。如果做某个 随机试验时，只有有限个事件可能发生，且 事件满足下面三条： 1 发生的可能性相等(等可能性)； 2 在任意一次试验中至少有一个发生(完备性)； 3 在任意一次试验中至多有一个发生(互不相容). 具有上述特性的概型称为古典概型。 古典概型中概率的计算： 记 则 （1.3.1） 事实上，对上述的古典概型，它的样本空间 由概率的有限可加性知： 由等可能性 若则 有利场合数 例1.2.2 在 中不重复地任取4个数 ，求它们能排成首位非零的四位偶

10、数的概率 解 设 A为“能排成首位非零的四位偶数” 四位偶数的末位为偶数，故有 种可能， 而前三位数有 种取法，由于首位为零的 四位数有 种取法，所以有利于A发生 的取法共有 种 基本事件总数 例1.2.3 （分房模型）设有 k 个不同的球, 每个 球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设每个盒 子容球数无限, 求下列事件的概率： (1) 某指定的 k 个盒子中各有一球； (2) 某指定的一个盒子恰有 m 个球( ) (3) 某指定的一个盒子没有球； (4) 恰有 k 个盒子中各有一球； (5) 至少有两个球在同一盒子中； (6) 每个盒子至多有一个球 解 设 (1) (6)的各事件分别为 则

11、 例1.2.4 “分房模型”的应用 数科院三年级有 n 个人，求至少有两人生 日相同（设为事件A ）的概率 解 本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子” 为 n 个人的生日均不相同，这相当于每个 盒子至多有一个球由例1.2.3(6) n102023304050 P(A)0.120.410.510.710.890.97 例1.2.5 袋中有a 只白球，b 只红球，从袋中 按不放回与放回两种方式取m个球（ )， 求其中恰有 k 个（ ）白球的概率 解 (1) 不放回情形 E：球编号，任取一球，记下颜色，放在一边， 重复 m 次 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 又解E1：球编号

12、，一次取 m 个球，记下颜色 记事件 A 为m个球中有k个白球，则 不放回地逐次取 m 个球，与一次任 取 m 个球算得的结果相同 因此称超几 何分布 (2) 放回情形 E2：球编号，任取一球，记下颜色，放回去， 重复 m 次 记 B 为取出的 m 个球中有 k 个白球，则 称二项分布 例1.2.6 （彩票问题）一种福利彩票称为幸福35选 7，即从 01，02，03， ，35个号码中不重复地 开出7个基本号码和一个特殊号码。中各等奖的规 则如下，试求各等奖的中奖概率。 中奖级别奖级别中奖规则奖规则 一等奖奖7个基本号码码全中 二等奖奖中6个基本号码码及特殊号码码 三等奖奖中6个基本号码码 四等

13、奖奖中5个基本号码码及特殊号码码 五等奖奖中5个基本号码码 六等奖奖中4个基本号码码及特殊号码码 七等奖奖中4个基本号码码 解： 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样 本空间含有样样本点的个数是 要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取： 第一类号码：7个基本号码； 第二类号码：1个特殊号码； 第三类号码：27个无用号码。 记 pi 为中第 i 等奖的概率（i=1,2,7），则可得 各等奖的中奖概率如下： 若记A为事件“中奖”，则 为事件“不中奖”，且 可得 P（中奖）= P（不中奖）= 例 1.2.7 甲乙二人掷均匀硬币，其中甲掷 n+1 次，乙掷 n 次，求“甲掷出正面的次数 大于乙掷出

14、正面的次数”这一事件的概率。 解：令 甲正= 甲掷出的正面次数 甲反= 甲掷出的反面次数 乙正=乙掷出的正面次数 乙反=乙掷出的反面次数 于是所求事件的概率为 P（甲正乙正） 另一方面显然有 （甲正乙正）=（甲正乙正）=（甲反乙反） 因为硬币是均匀的，由对称性知 P（甲正乙正）=P（甲反乙反） 由此即得 P（甲正乙正）= 例1.2.8 某人的表停了，他打开收音机听电 台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时 的时间短于十分钟的概率 9点10点 10分钟 几何概型（等可能概型的推广） （Geometric probability ） 几何概型 设样本空间为有限区域 , 若样本点落入 内任何区域

15、 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率为： 测度 长度 面积 体积 其他度量单位 例1.2.9两船欲停靠同一个码头，设两船到达 码头的时间各不相干，而且到达码头的时间在一 昼夜内是等可能的如果两船到达码头后需在码 头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼 夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率. 解 设船1到达码头的瞬时为 x， 船2到达码头的瞬时为 y ， 设事件 A 表示任一船到达码头时需要 等待空出码头 x y 24 24 y = x y = x + 1 y = x - 2 例1.2.10 蒲丰（Buffon）投针问题。 平面上画有等距离的平行线，平行线间

16、的 距离为 a (a0) ，向平面任意投掷一枚长为 l (la) 的针，试求针与平行线相交的概率。 解： 以 x 表示针的中点与最近一条平行线间的距离， 又以 表示针针与此直线间线间 的交角（见图见图 1.1） x l a 易知有 o 图11 图12 由上两式可以确定 x平面上的一个矩形 ，这时为这时为 了针针与平行线线相交，其充要条 件是 (见图1-2). 由等可能性知， 如果 l, a 为已知，则以值值代入上式即可 计计算得 P(A)之值值。反过过来，如果已知 P(A)的值值，正如前面所提到的，可以用频频 率去近似它。如果投针针 N 次，其中针针与平 行线线相交 n 次，则频则频 率为为 ，于是 历史上有一些学者曾亲自做过这个试验。下表记 录了他们的试验结果（把