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1、目录 上页 下页 返回 结束 习题课 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十二章 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 求和 展开 (在收敛域内进行) 基本问题：判别敛散；求收敛域； 求和函数；级数展开. 为傅里叶级数.为傅氏系数) 时 , 时为数项级数; 时为幂级数; Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 不满足 发 散 满足 比值审敛法 根值审敛法 收 敛发
2、 散 不定 比较审敛法 用它法判别 积分审敛法 部分和极限 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 3. 任意项级数审敛法 为收敛级数 Leibniz审敛法: 若 且 则交错级数收敛 , 概念: 且余项 若收敛 , 称 绝对收敛 若发散 , 称条件收敛 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 若级数 均收敛 , 且 证明级数收敛 . 证: 则由题设 收敛收敛 收敛 练习题: P320 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示: P320 题2. 判别下列级数的敛散性: 提示: (1) 据比
3、较审敛法的极限形式, 原级数发散 . Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 原级数发散 故原级数收敛 发散, 收敛, 用洛必达法则 , 原级数发散 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 时收敛 ; 时, 为 p 级数 时收敛; 时发散. 时发散 . Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320 题3. 设正项级数 和 也收敛 . 法1 由题设 根据比较审敛法的极限形式知结论正确. 都收敛, 证明级数 法2 因 故存在 N 0,当n N 时 从而 再利用比较法可得结论 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320
4、 题4. 设级数收敛 , 且 是否也收敛？说明理由. 但对任意项级数却不一定收敛 . 问级数 提示: 对正项级数,由比较判别法可知 级数收敛 , 收敛, 级数发散 . 例如, 取 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320 题5.讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 提示: (1) p 1 时, 绝对收敛 ; 0 p1 时, 条件收敛 ; p0 时, 发散 . (2) 故原级数绝对收敛. Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 因单调递减, 且 但对 所以原级数仅条件收敛 . 由Leibniz审敛法知级数收敛 ; Date同济版高等数学课件 目录 上
5、页 下页 返回 结束 因 所以原级数绝对收敛 . Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 二、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R : 再讨论 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . P320 题7. 求下列级数的敛散域: 练习: (自证) Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛域为 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因 故收敛域为 级数收敛; 一般项不趋于0, 级数发散; Date同济版高等数学课件 目
6、录 上页 下页 返回 结束 例2. 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 原级数 = 其收敛半径 注意: 此题 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 求部分和式极限 三、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分 对和函数求积或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） 数项级数 求和 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 求幂级数 法1 易求出级数的收敛域为 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 法2 先求出收
7、敛区间 则设和函数为 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x0 P320 题8. 求下列幂级数的和函数： 级数发散, Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 (4)x0 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 显然 x = 0 时, 级数收敛于0, 根据和函数的连续性 , 有 x = 1 时, 级数也收敛 . 即得 又 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 练习: 解: 原式= 的和 .P320 题9(2). 求级数 注: 本题也可利用例3间接
8、求和. 例3 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 四、函数的幂级数和傅式级数展开法 直接展开法 间接展开法 练习: 1) 将函数展开成 x 的幂级数. 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式 解: 1. 函数的幂级数展开法 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2) 设 , 将 f (x)展开成 x 的幂级数 ,的和. ( 2001考研 ) 解: 于是 并求级数 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的傅式级数展开法 系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法
9、 练习: 上的表达式为 将其展为傅氏级数 . P321 题11. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在 解答提示 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 如何利用本题结果求级数 根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示: Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 P320 6 (2); 7 (3); 8 (1), (3) ; 9(1) ; 10 (1) ; 12 作业 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 设幂级数 满足 解: 设 内收敛, 其和函数 (1) 证明 (2) 求 y(x) 的表达式. 则由 代入微分方程得 ( 2007考研 ) Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 分析 , 故得 (2) 由(1) 知 可见 Date同济版高等数学课件
