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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 第六节 一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 一、一元向量值函数及其导数 引例: 已知空间曲线 的参数方程: 的向量方程 对 上的动点M ,即 是 此方程确定映射,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 . 值函数. 要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向 量值函数的极限、连续和导数的概念. Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 定义: 给定数集 D R , 称映射
2、为一元向量 值函数（简称向量值函数）, 记为 定义域 自变量因变量 向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、 连续和导数密切相关, 进行讨论. 极限： 连续： 导数： 严格定义见P91 因此下面仅以 n = 3 的情形为代表 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则: (P91) 设是可导向量值函数, 是可导函数, 则 C 是常向量, c 是任一常数, Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 解： Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义 : 在 R3中, 设的终端曲线为 ,
3、 切线的生成 点击图中任意点动画开始或暂停 表示终端曲线在t0处的 切向量,其指向与t 的增长方 向一致. , 则设 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义: 设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 速度向量： 加速度向量： Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于 解: 的点处的单位切向量. 故所求单位切向量为 其方向与 t 的增长方向一致 另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为 = 6 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 一人悬挂在滑翔机上,
4、受快速上升气流影响作螺 求旋式上升, 其位置向量为 (1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量; (2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率; (3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻. 解: (1) (3) 由即 即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交. Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.置. 空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限位 给定光滑曲线 在 点法式可建立曲线的法平面方程 利用 点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的 法向量均为 点向式可建立曲线的切线方程 Da
5、te同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况 因此曲线 在点 M 处的 则 在点M 的导向量为 法平面方程 给定光滑曲线 为0, 切线方程 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求曲线在点 M (1, 1, 1) 处的切线 方程与法平面方程. 解：点(1, 1, 1) 对应于 故点M 处的切向量为 因此所求切线方程为 法平面方程为 即 思考: 光滑曲线 的切向量有何特点? 答: 切向量 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线为一般式的情况 光滑曲线 曲线上一点 , 且有 可表示为 处的切向量为 D
6、ate同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 则在点 切线方程 法平面方程 有 或 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 也可表为 法平面方程 (自己验证) Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求曲线在点 M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程 解法1 令则 即 切向量 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程 即 解法2 方程组两边对 x 求导, 得 曲线在点 M(1,2, 1) 处有: 切向量 解得 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程 即 法平面方程
7、 即 点 M (1,2, 1) 处的切向量 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 三、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 对应点 M, 切线方程为 不全为0 . 则 在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 下面证明: 此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 证:在 上, 得 令 由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在 . Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 曲面 在点 M 的法向量: 法
8、线方程 切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线. Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 曲面 时, 则在点 故当函数 法线方程 令特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程 法向量 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 法向量 用 将 法向量的方向余弦： 表示法向量的方向角, 并假定法向量方向 分别记为则 向上, 复习 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平
9、面方程 即 法线方程 法向量 即 (可见法线经过原点，即球心) Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 确定正数 使曲面 在点 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为 二曲面在点 M 相切, 故 又点 M 在球面上, 于是有 相切. 与球面 , 因此有 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程 法平面方程 1) 参数式情况.空间光滑曲线 切向量 内容小结 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 切线方程 法平面方程 空间光滑曲线 切向量 2) 一般式情况. Date同济版高等数学课件 目录 上页
10、下页 返回 结束 空间光滑曲面 曲面 在点 法线方程 1) 隐式情况 . 的法向量 切平面方程 2. 曲面的切平面与法线 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面 切平面方程 法线方程 2) 显式情况. 法线的方向余弦 法向量 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 作业 P99 2(1)，4，5, 6，8，10，12 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1. 如果平面与椭球面 相切, 提示: 设切点为 则 (二法向量平行) (切点在平面上) (切点在椭球面上) Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回
11、 结束 证明 曲面上任一点处的 切平面都通过原点. 提示: 在曲面上任意取一点则通过此 2. 设 f ( u ) 可微, 第七节 证明原点坐标满足上述方程 . 点的切平面为 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 1. 证明曲面 与定直线平行, 证: 曲面上任一点的法向量 取定直线的方向向量为 则 (定向量) 故结论成立 . 的所有切平面恒 Date同济版高等数学课件 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求曲线在点(1,1,1) 的切线 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为 因此切线的方向向量为 由此得切线: 法平面: 即 与法平面. Date同济版高等数学课件
