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1、國小教育學程數學科教材教法林宜臻老師平面圖形本質概念TKU92B487000258 (02)楊季芳487550989 (12)曾俊龍488070144 (21)林雅凰民國93年4月目錄壹、國小數學中的幾何教材內容.5貳、兒童幾何概念的發展.5參、數學結構.7肆、國小數學中的平面圖形.9一、線的垂直與平行.9二、線對稱和點對稱14三、三角形17四、四邊形21五、圓形24六、多邊形27七、面積31八、縮圖44九、比例尺47伍、平面圖形的教學.50陸、學生對平面圖形的迷思概念.62柒、結論與建議.66捌、參考資料70壹、國小數學中的幾何教材內容數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級
2、，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。國小數學課程幾何的教材領域，包括平面圖形與立體圖形兩部分，本報告重點在於平面圖形，立體圖形略為不談。其實，圖形並非實際存在的東西，只是能從實際的物體聯想到它，例如：我們在日常生活中所看到的一切器物、建築等乃是圖形的化身，亦即圖形具體化的東西，圖形是從實物中摒棄其無可避免的夾雜物如顏色、氣味、大小、材質、輕重、硬度、厚度、用途等性質，進而抽象後得到的概念。能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然因多數指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細
3、緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握。分年細目以三碼編排，其中第一碼表示年級，分別以1，9表示一至九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母n、s、a、d表示數與量、幾何、代數和統計與機率四個主題；第三碼則是分年細目的流水號，表示該細項下分年細目的序號。下表為平面圖形的相關分年細目：分年細目：階段一年級二年級三年級平面圖形1-S-01能認識直線與曲線。2-S-01能認識周遭物體上的角、直線與平面。3-S-01能認識平面圖形的內部、外部與其周界。1-S-02能辨認、描述與分類簡單平面圖形。2-S-02能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。3-S-02能認識周長，並實測周長
4、。1-S-03能描繪或仿製簡單平面圖形。2-S-03能使用直尺畫出指定長度的線段。3-S-03能使用圓規畫圓，認識圓的圓心、圓周、半徑與直徑。1-S-04能依給定圖示，將簡單形體作平面舖設。2-S-04能畫出兩點間的線段，並測量其長度。3-S-04（同3-n-17）能認識角，並比較角的大小。2-S-05（同2-n-17）能認識面積，並作直接比較。3-S-05（同3-n-18）能利用間接比較或以個別單位實測的方法比較不同面積的大小，並認識面積單位平方公分。2-S-06能由邊長關係，認識簡單平面圖形。3-S-06能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。階段四年級五年級六年級平面圖形4-S
5、-01能運用角與邊等構成要素，辨認簡單平面圖形。5-S-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度。6-S-01能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。4-S-02能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡單性質。5-S-02能透過操作，理解三角形任意兩邊和大於第三邊。6-S-02能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。4-S-03能認識平面圖形全等的意義。5-S-03能認識圓心角，理解180度、360度的意義，並認識扇形。6-S-03*能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（同6-n-11*）4-S-04（同4-n-14）能認識角度單位度，使用量角器實測
6、角度或畫出指定的角。5-S-04能認識線對稱，並理解簡單平面圖形的線對稱性質。6-S-04能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（同6-n-12）4-S-05能理解旋轉角的意義。5-S-05（同5-n-16）能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。4-S-06能理解平面上直角、垂直與平行的意義。5-S-08能認識面的平行與垂直。4-S-07能由直角、垂直與平行的概念，認識簡單平面圖形。4-S-08能利用三角板畫出直角與兩平行線段，並用來描繪平面圖形。4-S-09（同4-n-16）能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。從分年細目中可看出低年級階段以能辨認、描述、分類
7、、描繪簡單平面圖形，進一步認識周遭物體上的角、直線、平面、平行與垂直，並能使用直尺為主。中年級以認識角、角度、垂直、平行、長方形和正方形的面積和周長、透過製作活動瞭解各種形狀的構成要素、能使用簡單的工具繪圖（圓規）與測量（量角器）為主。高年級則透過操作與觀察，以瞭解圖形間的關係，包括三角形、平行四邊形、梯形、圓、扇形，並能做簡單的應用為主。貳、兒童的幾何概念發展近年來世界先進國家（如美國、俄國）大都以荷蘭數學教育家van Hiele夫婦的幾何學習發展理論為根據設計幾何方面的教材。 van Hiele夫婦認為一個人幾何概念思考模式可以分成五個發展層次，每個層次次有其發展特徵。本次實驗教材之設計亦
8、以此理念為根據，略述其特徵如下： 一、第O層次視覺期（Visualization） 此階段學童可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形。透過視覺觀察具體實物，以實物的整體輪廓來辨認圖形，視覺下差異不大的圖形，他們可以透過移動旋等方式辨識，可以使用非標準語言或標準數學術語描術物件的形狀，例如：兒童所知道的長方形是根據其以前所看到的長方形物體像門、盒子表面等的樣子。其描述方式常是：平平的、正正的、四四方方的、直直的、站著的、躺著的、長長的、；其所知道的正方形是由看到正正方方的實物表面的樣子，常以外面的線都是直直的，線都一樣等加以描述；圓形是像以前所吃過的餅乾或像錢幣圓圓的、的樣子，比較不成熟的非標準語言
9、來形容。雖然知道物件的形狀何者稱為正方形、三角形、圓形、長方形，但不能瞭解其真正定義。因此，這階段的學童宜多安排感官操作的活動，讓兒童透過視覺進行分類、造型、堆疊、描繪、著色等活動獲得概念。 二、第一層次分析期（Analysis） 此階段的學童可以從圖形的構成要素以及構成要素之間的關係分析圖形，並且可以利用實際操作（如折疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則。他們已具有豐富的視覺辨識經驗，能察覺到長方形有四個邊，四個直角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等；正方形是因為它有四個直角，有兩個長邊，有兩個短邊，有兩對邊平行但不能解釋性質間的關係，如知道菱形是四邊
10、相等，對角線互相垂直平分的四邊形，但卻不能理解兩者的推理過程。能描述圖形的定義，但不易精簡描述的過程。此階段的學童，宜安排一些製作及檢驗的活動，使從製作與檢驗中獲得圖形的性質。 三、第二層次關係期（Relation)或非形式演繹期(Informal Deduction)此階段的兒童能建立性質之間的關係以及圖形之間的關係，例如：兒童能了解長方形是一個具有直角的平行四邊形，正方形是長方形的一種，正三角形是等腰三角形的一種等之包含關係。他們能夠歸納出圖形的屬性，也能辨認圖形的分類，但這個階段的學生不能了解演繹的整體定義或公設的角色，具體獲得的結論往往先是經由技巧的猜測而來，再經由形式的證明，然而兒童
11、較看不到邏輯次序可被改變，也不能了解如何從一個不同的或不熟悉的情境中去建構或證明。四、第三層次形式演繹期（Formal Deduction） 達此階段者，能用演繹邏輯證明定理，並且建立相關定理的網路結構。他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且能夠證明，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法。可以理解一個定理的充分或必要條件之內在關係，發現正逆命題間的差異性。例如：能瞭解正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。 五、第四層次嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic） 達此階段的人，可以在不同的公理系統中建立定理，並且分析或比較這
12、些系統的特性。例如能區別幾裏德幾何與非歐幾何的差異，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。 根據van Hiele研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者需擁有前一層次的各項概念與策略，才能有效進行下一層次的教學活動。同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。國小低年級學童大都均在第O層次的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，始能秩序漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到第一層，高年級學童大約在第一層至第二層的過渡時期。參、數學結
13、構一、平面區域：(一) 和平面區域概念相關的生活經驗：一般的臥室或客廳的地板由牆腳圍住，形成一個確定的平面區域。運動場跑道以埋磚方式圍成，跑道內部亦形成一個平面區域。許多物體的表面是平直的，如方形紙盒，它的每個面也是一個平面區域。在這些例子中，都可以指出區域的周界及其內部。有些地面不避免會有些起伏，把它視為平面區域必須故意忽略這些起伏。假定牧場內皆栽植牧草，但房屋、水塘當然除外。在計算栽植牧草的量時，可以將牧草生長的地面視為一個平面區域。這樣看待的平面區域是有洞的，它的邊界是由幾個分離的封閉曲線所構成。小物體的表面是可移動的，如書本的表面，地面則是不可移動的。可移動的表面可以用疊合的方式，覆蓋在另一平面區域上，這是直接比較，或個別單位複製的運作依據。兩個不可移動的表面的比較，則需透過複製後才能疊合比較。在平面的幾何概念中，平面是空間中某些特殊的點的集合，但是用紙表徵面時，因為紙張都是兩面，所以容易造成錯誤概念。像牆壁的表面、地面，或書本表面都只有一面，雖然操作不如紙張容易，但是對形成平面區域的概念還是有必要的。就如同彎曲物的長要拉直後才能比較一樣，曲面的面積也必須攤平才能比較，像柱體或錐體的表面，都可以切開後攤平，在幾何上稱為可展平的曲面。但是像球體表面就不能攤平了，即可切開後也不行。它的面積一定要用極限方式來討論。(二
